зультатами, подставляя в них фиксированные значения соо и у, найденные из условий существования периодического режима. Этот же способ построения вынужденного режима остается справедливым и для построения субгармонических колебаний, если в упомянутых выше результатах, выражающих периодиче-

Сйн

ский режим, полагать а о=- и у, наиденные из условий существования субгармонического режима. Возможны способы вычисления симметричного периодического режима z(О,использующие в качестве исходных данных частотную характеристику либо переходную характеристику, либо передаточную функцию линейной части системы.

§ 11.2. Определение формы периодического режима по частотной и переходной характеристикам

В периодическом режиме, как было показано в § 5.2, выходная величина линейной части релейной системы с зоной нечувствительности равна

Xcos[(2m-l)(u(/ -(2m-l)YY + e((2m-l)(Oo)]. (11.3)

где coo и у - параметры периодического режима, определяемые описанными выше способами.

Для релейной системы без зоны нечувствительности у = 1, и из (11.3) получаем

4п Wn\(2m - l)cunl = 2/n-l sin[(2m-l)coo+e((2m-l)(0o)]. (11.4)

Как видно из (11.3) и (11.4), определение формы периодического режима сводится к суммированию гармонических составляющих частот Шо, Зюо, 5шо, .... кратных частоте периодического режима, амплитуды и фазы которых определяются по частотной характеристике линейной части системы W{ia) = = 1Го(ш) e-etoi.

Отмечая на частотной характеристике и^(/ш) (рис. 11.2) точки (2т-1)шо, т= 1, 2, 3, находим геометрически значения модулей 1Го1(2т -1)шо] и фаз е((2т-1)шо). Умножая

эти модули на ml при у = 1 на 1/2т - 1, находим амплитуды гармоник.

Вычитая из e((2m -1)(Во) величину (2т -1) у у или при у = 1 величину (2т -находим фазы гармоник.

Суммируя найденные таким образом гармоники, определяем форму периодического режима.

Суммирование гармоник может производиться различными приемами, описанными в литературе*).

Если нас интересует не выходная величина линейной части системы, а какая-либо промежуточная величина, то нужно лишь указанным выше образом воспользоваться частотной характеристикой соответствующего участка линейной части системы.

Так как обычно с ростом со модуль частотной характеристики линейной части системы IFo(co) уменьшается, то число гармоник, которые нужно суммировать, практически конечно.

Для определения периодического режима по переходной характеристике линейной части системы воспользуемся выражениями (5.16) и (5.17) § 5.2:

, (11.5)

Рис. 11.2. К определению г (*) по частотной' характеристике линейной части.

z{t) = kAh{t) + Yi-\t,h[t + {k-y) )

Сй

nt) = kpY{-\f,h[t + {k-y)-, Y<<1. (11.6)

ft=0

где, напомним,

Здесь СОо и у - параметры периодического режима.

Выражения (11.5) и (11.6) таким образом определяют форму периодического режима при изменении t в интервалах

О^у - и у-соответственно.

Щ Щ СОо

*) См., например, А. М. 3 а е з д н ы й [1].

Построение периодического режима сводится, как это было показано на рис. 5.5, к суммированию реакций линейной системы на импульсы высоты (-1)р и длительность Y . т. е.

суммированию функций (-1)*ЛрЛуЛ (/ -f (/г - v)-).

Этот способ удобен, если А^/г < -f - у)j при оо стремится к нулю, т. е. когда линейная часть системы устойчива. В общем случае он мало эффективен, поэтому мы подробнее на нем останавливаться не будем.

§ 11.3. Определение формы периодического режима по передаточной функции

Предположим, что передаточная функция системы равна

W(p)

Р(Р)

(11.8)

Q(p)

и известны полюсы ее pv, т. е. корни уравнения

Q(p) = 0. (11.9)

Тогда в общем случае нулевых и кратных корней переходная характеристика h{t) будет равна

S Гу-1

(11.10)

v=o м,=о °-Р^

где г^ц определяется формулой (2.46) § 2.2.

Подставляя это значение h(i) в (11.7), находим

v=0 ti=0 Pv

(11.11)

Если теперь в выражениях (11.5) и (11.6) заменить h{t) и Ayh[t-j-(k - y)- их значениями из (11.10) и (П.11) и поменять местами последовательность суммирования, то получим

= 1; S 1ГГХ

v=0 ц=0

v=0 n=0

ft=0

. (11.13)

Используя формулу суммы геометрической прогрессии, получим после элементарных преобразований выражения для z(t) в окончательной форме:

v=0 ц=0

I +е

L 1 +е

. (11.14)

0<i<Y

v=0 ц=0

, Y-. (11.15)

Это - общие выражения, определяющие форму периодического режима в релейной системе с зоной нечувствительности. Рассмотрим частные случаи.

1. Пусть W{p) не имеет кратных и нулевых полюсов. Тогда, полагая в (11.14) и (11.15) го = П = ==/ п = 1 и, значит, S = п, получим при р == 0:

...(1-V)-

СОо

№=0

1 +е

. 0<f<Y- (11.16)

й

л л

2(0- i .V=. V. (11.17)

COo COq

1 +e

где согласно (2.48) § 2.2

2. Пусть W(p) имеет один полюс, равный нулю, а- остальные - 1) полюсы простые, т. е.

Q (Р) Qi (р) р

(11.18)

Тогда Го = 2, г, ==Г2 = ... = Гп 1 = 1 и из (11.14) и (11.15) после определения производных получаем

0<<y

1 +e

(11.19)

1 -e

2(Oo Y

где согласно (2.50)

P(P)

.gPv

(11.20)

Qi (p) Jp=o

P{0)

Q,(0)

P (Pv)

Q(Pv)Pv

3. Наконец, предположим, что передаточная функция линейной части системы W{p) имеет двойной нулевой полюс, а все остальные полюсы простые, т. е.

Q(P) Q2(P)P

, (11.21)

Тогда Го = 3 и Г1 - Г2== =г„ 2=1 и из (11.14) и (11.15)

получим:

1 +e 0<<y

(11.22)

о

1 -е

<<. (11.23)

где

1 d2

Р(0) Q2(0)

Q2 (р)

Q2(P)

Q2 (Pv)

Коэффициенты Соц можно вычислить также по рекуррентным соотношениям, приведенным в § 4.4.

Для релейной системы без зоны нечувствительности в полученных формулах нужно взять у = I.

В общем случае из (11.14), полагая у= 1, находим

с d

.gPv

L I +е

(11.24)

В частных случаях z{t) можно найти по формулам: а) при простых полюсах

m=kp

vO

.gPv*

0<f<; (11.25)

6) при одном нулевом полюсе

1+е

(11.26)

в) при двух нулевых полюсах

1+е

Эти формулы позволяют найти форму периодического режима, если полюсы передаточной функции определены.

В том случае, когда нас интересует какая-либо промежуточная величина линейной части системы, в приведенных формулах коэффициенты Cvn следует определять по передаточной функции соответствующего участка линейной части системы.

Выше были рассмотрены способы вычисления формы периодического режима z{t) в предположении, что линейная часть системы не содержит постоянного запаздывания. При наличии постоянного запаздывания передаточная функция становится равной

W{p)e~P (11.28)

и для известных величин соо и у или ао, Л и ф периодический режим будет отличаться смещением по времени на величину, равную времени запаздывания т. В более сложных случаях, когда передаточная функция равна

WAp)-]-WAp)e-, (11.29)

периодический режим z{t) получается суммированием Zi{t) и zz{t~x).

Если полюсы W{p) определяются просто, что соответствует несложным линейным частям системы с сосредоточенными параметрами, удобно использовать для построения формы периодического режима приведенные выше формулы.

Если же линейная часть сложна, содержит внутренние связи, элементы с распределенными параметрами, то применение этих формул практически исключено, и в этом случае следует применять способ, основанный на частотной характеристике линейной части системы.

Отметим, что в главах V-VHI приведенные выше выражения z(t) использовались при дискретных значениях t, а именно,

СОо СОо

Аналогично можно найти выражения для несимметричных и сложных периодических режимов. Наибольшее значение искомой величины z{t) находится обычными способами определения максимума функции z{t). В ряде случаев в качестве первого приближения можно воспользоваться для этой цели первой гармоникой разложения в ряд Фурье.

§ 11.4. Реакция линейной части на периодическое воздействие

Рассмотрим еще вопрос об определении реакции линейной, части системы на периодическое воздействие произвольной фор-Ь! fi(t). Определение этой величины необходимо производить

при пересчете внешнего периодического воздействия ко входу релейного элемента.

Если внешнее воздействие гармоническое, то этот пересчет элементарен и производится по частотной характеристике.

Этот прием можно, как было указано выше, применить для определения установившейся реакции линейной части системы на периодическое воздействие, если его представить предварительно в виде ряда Фурье.

В некоторых случаях можно воспользоваться замкнутой формой выражения, определяющей установившуюся реакцию линейной части на произвольное воздействие, которая находится следующим образом.

Установившееся значение выходной величины линейной части системы при периодическом воздействии на основании теоремы свертывания можно представить в виде *)

f{t)=jw{e)fx(t - e)de (11.30)

* о

или

< < +)

f(f) = 5; j w{e)f,{t-e)de. (11.31)

m=0 я m -

Производя В каждом из интегралов (11.31) подстановку

8 = 8 - т-- и учитывая периодичность fi (t)

я о

f(t)= г H{E)~fAt-e)dB, (11.32)

получим

где

Н{г) = {-1Гш[ё-]-т-). (11.33)

Теперь остается обычным способом получить Я(е) в замкнутой форме.

*) Здесь предположено, что /i(0)= 0.

Дифференцируя (11.10) пополучаем

Подставляя это выражение в (11.33) и изменяя порядок суммирования, найдем

г -1

Я(в)=21;

v=0 й=0

На основании формулы суммы геометрической прогрессии

- г.-I

ц=0 v J Pv 0),

Подставляя это выражение в (11.32), получаем

. г -1

(11.34)

v=0 ц=0 V J g-v ш„ б

Pv-TT

ev7,(f e)de

(11.35)

или в иной форме, если вместо ё ввести переменную e = t - ё:

, t

v=0 ц=0

Pvfi

£ 7,(6)6

(11.36)

Эти формулы решают поставленную задачу*.).

Распространение описанных способов на случаи сложных и несимметричных режимов не представляет труда. В этих случаях следует применить соответствующие выражения z(t), приведенные в § 5.4.

§ 11.5. Примеры

В качестве примеров найдем форму вынужденных колебаний Выходной величины 2{t) линейной части релейной следящей системы при периодическом воздействии, приложенном ко входу релейного элемента и электропривода при учете сухого трения.

*) Их частные случаи и разнообразные варианты имеются в литературе: 6 книге А. И. Лурье [4], в работах Т. А. Т а т у р [1] и В. Ф. Т а б а ч и Н' ского [I].

1. Следящая система. Передаточная функция линейной части, как показано в § 2.5, имеет вид (если пренебречь постоянной времени якорной цепи):

Запаздывание т сказывается лишь на смещении z{t) по времени на величину т и не влияет на форму z{t), если частота автоколебаний определена. Поэтому при определении формы z{t) можно считать т = 0. Тогда

Полюсы передаточной функции равны ро = О, р\ = -1/Гм. Вычислим Соо, Сои Сю:

00 = л^м, Coi = k , Cjo = kj,T.

Подставляя эти значения в формулу (11.26), получаем

z{t)ko rpfi.ko - kpkj,Tu.

+ ( 7-м 2(ОоГ„ ) +

2е

1+е

(11.38)

Зависимость

при (ОоГм = <Оо=1 2, построенная по формуле (11.38), изображена на рис. 11.3 (кривая 1) для интервала значений О < < - == 2,62.

Найдем теперь форму z{t) при помощи ряда Фурье. Полагая в (11.37) р = /со, находим частотную характеристику в виде

1Г(/ш) =

Ю 1/ю2 + 1

-/(l-barctgco)

где Сй = сйГм, k - kj.

По формуле (11.4) получаем

zit)

Xsin[(2m- l)cooi - -arctg(2m- 1)соо1. (11.39)

где = -