где п = ll(fmuTiih) выбирается в зависимости от требуемого быстродействия и допустимой величины перерегулирования. Например, при часто практикующейся настройке по так называемому симметричному оптимуму [34] п = == 4, а/п = 0,125. Зная п, находим

d = o.c.hom/V/hom7H, (92)

являющуюся конструктивным параметром ЦИ.

Определим необходимую емкость счетчика цифрового интегратора Уци- Будем ее выбирать из того условия, чтобы при максимально возможном толчковом изменении нагрузки Шмакс счетчик ЦИ не переполнялся. Составим операторное выражение относительно

= (S -Ы) тмакс/{[па-18 (S -f 1) -f ns -f 1] s}, (93) no этому выражению построим переходный процесс и найдем максимальное значение макс кривой и (t). Тогда

Уци > о.с.ном макс/(й^) = макс/номТц. (94)

Из выражения (93) получаем, что и (оо) = тмакс'. обозначим максМмакс = А- Следоватсльно,

ця >т„аксП/ном7цА. (95)

Максимально допустимая величина Уци - тмакс^/номТц. Для указанной выше настройки на симметричный оптимум (а = 0,5, п = 4) А == 1,34.

Пример 5. Пусть = 0.02 с; Г„ = 0,05 с; = 400 В; = = 2кГц, = 10 В; 1 gj = 60 В. На основании уравнения (92) dkk = 6,0625. Далее т^ =0,12, откуда Ущ = 0,12 4 2000 X X 0,02 1,34 = 25,8. Примем = 31, т. е. 5 двоичных разрядов.

Перейдем теперь к уточненному рассмотрению системы с учетом дискретности. Вначале определим установившиеся значения координат, воспользовавшись соотношением, ана-клогичным соотношению (63). В нашем случае это соотно-

шение запишем в виде

Xk+2 Xk=P (Твх) Xk + 6(Ybx) (л;в.ч + o) +

+ b (Ybx - Yfe) /I + с (Ybx) Ш. (96)

При записи выражения (96) учтено, что Хвх и и приложены к одной точке схемы, и, кроме того, введено слагаемое, учитывающее влияние момента сопротивления.

Определим элементы матрицы F и векторов бис, приняв в качестве компонент вектора х х^я х^. Дифференциальные уравнения системы имеют вид йхйт = а (Xg - m); dxJUT + х^ = Хвх -\- и - Xi. Решая их при начальных условиях Xi (0) == Xik, (0) = X2k, находим закон изменения координат х^ (т) и Xg (т), откуда следуют формулы для F (т), b {%), с (т). Окончательно получим

hi = е- - (cos Рт -f Vg Р sin рт), = е-- sin- рт; /2i = -/i2/ ; f = fn + hi, 6i=Cg=l-/ii; (97)

Перейдем от координат Xj и Xg к отклонениям Zj = Xj - - Хвх - щ -\- т, Zg = Xg - m. Тогда выражение (96) с учетом соотношения (97) запишем в виде

Zft+2 = Zk = F (Ybx) Zk + b (Yft+i) /г. (98)

Решая систему уравнений (98) относительно z, находим установившиеся значения отклонений координат zycT в момент прихода импульса частоты /вых- Значения установившихся отклонений координат в момент прихода импульса частоты /вх определяются из равенства

Zft+i = F (ybx - Yft+i) Zft. (99)

Для нахождения ys (или ya+i) нужно полученное описанным выше способом выражение для Xj (т) подставить в уравнение (62) н учесть связь Z;,+, и Z/ согласно формуле (99). Учитывая выражение (90), после выполнения интегри-

рования и-соответствующих преобразовании получаем

Ya+i/Ybx == {т.- йоУН, О < ya+i/Ybx < 1. (100)

Таким образом, необходимо вначале, зная Ybx и возмущение т, определить Uq и y+i по уравнению (100) {u/h - целое число и равно целой части числа m/h), а затем вычислить Zft и Zfe+i по уравнениям (98) и (99).

Таблица 4

Важным показателем цифровой САУ является размах колебаний координат и Zg. Непосредственное использование величин Zft и Zft+i невозможно, так как максимальные отклонения могут происходить между моментами поступления импульсов. Поэтому нужно сначала, зная Zi, Z2u, найти моменты времени xi, Тг, когда отклонения максимальны, а затем вычислить это отклонение. Из условия (xi) == О находим tg Рх* = Z2k (2zifc -f г2кГ- Из условия dx (т*)/йт= F= О находим tg Рт2 = 1 -f Z2ft/zift, причем, если тг > > 0,5 Ybx, то максимальное отклонение Zg происходит при Х2*= 0,5ybx. Подставляя xI, тг в формулы для Zj (т), Zg (т), определяем максимальное отклонение координат, причем размах колебаний координат Af = 2 [zj (т*)- 0,5]; А^2 = 2z5j (т*). В табл. 4 приведены зависимости величин AFJh и AFJh от Ybx при настройке пропорциональной части регулятора частоты вращения по модульному оптимуму {а = 0,5).

Пусть в рассмотренном выше примере допустимая по условиям точности величина Af шакс = 0,25 10~. Находим А^1шкс г = 0,25 . 10-/0,0625 = 0,04, т. е. Ybx.m h = 1,8; Твхмекс = 1,8 0,02 = 0,036; /вх.мин = 28 Гц. Таким образом.

колебания частоты вращения достигнут допустимой величины при снижении ее в диапазоне 1 : 70. При этом колебания тока якоря (при у = 0,1) А'я = Ту:л^АР1у = 0,05 х X 25 0,41 . 0,0625/0,1 10 = 0,031.

Рассчитаем устойчивость. Для этой цели воспользуемся формулой (93), записав ее в виде

= f (Твыхй) Ч-6 (Yfc+i)/г. (101)

Уравнение (73) сводится к виду

Ук+\ = УвыхЛ - Ybx -f Y*-!- (102)

Для получения соотношения, связывающего увых* с х, (или Zj,)h Yft-i, поступим следующим образом. На основании выражений (62) и (90)

Vft VBbixft-Vfe

J (>вх + Ио - + Zi(t, zu))dT+ J (Хвх + ио - т-\-

+ Zi (T, Zxk+x)) dT = 1/(/ о„Тц) = XbxYbx. (103)

Подставляя в соотношение (103) выражение для Zj (т), выполняя интегрирование и учитывая связьгцсгцц.!, Z2ft-H в виде (99), получаем неявное уравнение

(л;вх + Щ - т) YBbixfe + hyk+\ + (h/a) q (ya+i) - ZikC (увыхл) X

X аГ + Z2fcC2 (YBbixft)- л;вхУвх = Ф (увыхь Yft-ь Zifo Z2fe) = 0. (104) Для расчета устойчивости необходимо вычислить элементы tij матрицы R, причем в данном случае i, / = 1, 2, 3; rij является производной г-й строки системы (101), (102) по у-му аргументу (первый аргумент Zik, второй - Z2fe, третий - Y*-i)- Эти производные должны вычисляться с учетом зависимости увыхл от этих аргументов в соответствии с выражением (104). После взятия производных необходимо в полученные выражения подставить координаты исследуемой точки (Хвх, Твыхь = Ybx). Тэк как рассматривастся устойчивость симметричных колебаний, то принимаем т = щ + 4-0,5/г. В качестве Zik, Z2k принимаются установившиеся

значения координат по выражению (98) Например, гц = = /и (Ybx) + [5/u (Увыхк)/дувьгхкг1к + dfi2 (Увыхк)/дувыхкг2к + +dbi {yk+i)/dykih] {-дфгхк) (бф/аувыхл) ; ri=dy,xkldzik-= = - (dtp/dzik) (д(р/дуыхк)~\ 33 = 1 + дуыхк/дук-\ = 1 - - {d(pfdyk-i) (д(р/дуеь,у.к)~\ причем производные вычисляются при увых/г = Ybx, Yfc+1 = 0,5увх, zft = ZkycT Таким образом, элементы матрицы R определяются Ybx, л^вх, h, причем

Таблица 6

л^вхТвх/ иомТц = 1. Далее применяем критерии: собственные числа R по модулю меньше единицы. Вычислим коэффициенты характеристического полинома

Для этого нужно диагональные элементы п,- заменить на Гц-у, а затем раскрыть определитель матрицы. Для устойчивости должны бьяь одновременно выполнены условия [36] Во + 1 + 2 + 3> 0; Во - 1 + 2 - Вз> 0;

Во (Во - Bg) - Bg (Bg - В,) > 0.

В связи с громоздкостью получаемых выражений расчеты проводились с помощью ЦВМ. При расчетах, когда заданы Vbx, л;вх, коэффициент h изменялся от нуля до величины, при которой нарушается одно из приведенных неравенств. В результате найдено, что устойчивость определяется величинами п и Ybx; значения п ~ и Ybx, .соотвстствующие границе устойчивости, приведены в табл. 5. Для предельной непрерывной системы п^ркт - 1. Для п - 4 ( симметричный оптимум ) устойчивость нарушается при Ybx = 4. На рис. 43, в показаны кривые переходных процессов при набросе нагрузки т, построенные в функции номера им-

пульса k, для различных параметров системы регулирования, рассчитанные по алгоритму, описанному в четвертой главе. При этом у^х = Ю. При = 0,25 > п^рт возникают устойчивые колебания, при которых два импульса одной и той же частоты следуют подряд, а не чередуются, как при <С 1фит, например при == 0,15 (показано штриховой линией).

Предположим теперь, что ЦИ выполнен по схеме рис. 20. Размах колебаний, вызванных квантованием по уровню ЦИ, определяется приведенными выше соотношениями, однако период колебаний зависит от параметров системы. Для структурной схемы рис. 43, б уравнение периодов запишем в виде /номГц 0,5/ш (6) = 0,5, где и (0) - реакция системы с передаточной функцией .a{s + s + а)~ на прямоугольные колебания единичной амплитуды, или с учетом выражения (91) и (0) = п. В выражении для передаточной функции разомкнутой системы a[s (s -f l)~ пренебрежем сомножителем (s -f 1). Тогда и (0) соответствует передаточной функции (s/c-f 1)~.

Использовав результаты примера 4 и приняв 0,5 kT = = па, получим, что при настройке на симметричный оптимум {п = 4, а = 0,5) Y = 2, Z = 3, т. е. 0 = 3 2 Г = = 12. При использовании точной формулы для и (0) результат отличается на несколько процентов.

2. ЦИФРОВАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ СКОРОСТНЫМИ РЕЖИМАМИ РЕДУКЦИОННОГО СТАНА

Редукционный стан трубопрокатного агрегата предназначен для окончательной доводки размеров труб до требуемого сортамента. При производстве тонкостенных труб редуцирование производится с натяжением. Толщина стенок труб зависит от большого количества различных парамет-

tpoB, но в значительной степени определяется натяжением. Иатяжение, в свою очередь, определяется соотношением окружных скоростей валков соседних клетей стана. ) Основной задачей системы управления скоростными режимами наряду с разгоном (торможением), точным заданием и' регулированием эталонной скорости является также задание и регулирование соотношения окружных скоростей валков клетей стана.

В установившемся режиме, когда труба заполняет весь стан, соотношение этих скоростей должно поддерживаться в строгом соответствии с заданием. В переходном режиме, т. е. при прохождении переднего и заднего концов трубы по клетям стана, соотношение окружных скоростей валков группы клетей стана регулируется специальной системой по типу бегущей волны . По мере продвижения трубы по стану в переходный режим включаются последующие клети и выключаются предыдущие. При этом окружные

скорости валков клетей, по которым проходит передний конец трубы, повышаются, а для клетей, в которых находится задний конец трубы, снижаются. Это позволяет в переходном режиме поддерживать натяжение равным (или большим) натяжению в установившемся режиме, при этом повышается качество прокатки.

Упрощенная структурная схема цифровой системы управления скоростными режимами редукционного стана показана на рис. 44.

Рис. 44. Структурная схема цифровой системы управления скоростными режимами редукционного стана

Эта система состоит из главного задающего устройства ЗУ, обеспечивающего разгон (торможение), точное задание и регулирование эталонной скорости (см. вторую главу); системы регулирования соотношения скоростей, состоящей из решающих устройств РУ1, РУ2...РУп по числу клетей стана, обеспечивающих цифровое задание скорости для каждой клети в соответствии с приведенным ниже алгорит-

Рис. 45. Функциональная схема формирования вко-рости i = й клети

т

mom; системы последовательного изменения соотношения скоростей в переходном режиме, т. е. воздействия выходного сигнала бегущей волны ± АД на решающие устройства РУ2, РУп; собственно цифроаналоговых систем регулирования частот вращения двигателей каждой клети стана PCI, РС2...РСп, аналогичных САУ, описанной в параграфе 1 этой главы.

\ Главное цифровое- задающее устройство формирует эталонный сигнал задания скорости в виде последовательности импульсов с частотой, пропорциональной окружной скорости валков первой клети. Этот сигнал поступает на решающие устройства всех клетей РУ1, РУ2, ...РУп, которые формируют сигналы задания для клетей стана в соответствии с формулой

fi = f{\-\-kkN-\ (105)

обеспечивающей требуемое соотношение скоростей, где - частота, соответствующая скорости /-й клети; /эт - эталонная частота задания - скорость первой клети; к - = 1...4 - общий коэффициент вытяжки в стане; ki = 0... ...1 - коэффициент, определяющий соотношение скоростей г-й и (г - 1)-й клетей стана; = 1...2,45 - коэффициент, зависящий от соотношения передаточных чисел редукторов первой и г-й клети, или Л^ = N7 = 0,41...1.

Вычисление fi по формуле (105) осуществляется с помощью частотно-импульсных множительно-делительных (k, Ni, k{ 6.е) и суммирующих Е1, Е2 устройств. Функциональная схема формирования скорости г'-й клети показана на рис. 45. Формулу (105) удобно реализовать в виде

= /эД- + kk,fjlt, (106)

где первое слагаемое пропорционально окружной скорости валков первой клети; второе - увеличению окружной скорости валков последующих клетей.

Частотно-импульсные делители частоты строятся по принципу выборки определенного числа импульсов (соответствующего коду задания) из входной последовательности, т. е. они являются собственно умножителями на коэффициенты k = 0...1.

С помощью функциональной схемы декады такого делителя (умножителя на коэффициент меньше 1), показанной на рис. 15, можно выбирать из 10 импульсов входной после-

довательности любое число от единицы до девяти (код 5- 2-1-1). С помощью трех таких декад можно получить выходную частоту /вых = (0,001...0,999) /вх. 1

Коэффициент в выражении (105) больше единицы. Для унификации элементов системы мы принимаем Ni < 1, т. е. вместо деления, например на 2,45, умнол<аем на 0,41.

Коэффициент вытяжки k = 1...4, поэтому входная частота выбрана с учетом акс = 4. Кроме того, на выходе частотно-импульсных делителей частоты включаются буферные делители БД, уменьшающие неравномерность выходной последовательности импульсов. Коэффициент буферного делителя частоты йб.д также учитывается при формировании эталонной частоты.

Таким образом, на входе первого делителя частоты k (рис. 45) получаем /эт = fiKsKch-A- Этот делитель имеет два выхода- первый выход при k = \, второй выход - с учетом заданного значения k. Первый выход соединен с делителем Л^, на выходе которого формируется первое слагаемое согласно формуле (106).

Второй выход k подается на вход делителя Л^ далее последовательно включается делитель ki, учитывающий соотношение скоростей соседних клетей стана. На выходе образуется второе слагаемое согласно формуле (106).

Выходы делителей Nl и ki суммируются в первом сумматоре * Ъ1, с выхода которого поступает на вход системы бегущая волна (на рис. 45 - делитель е.в/, а на рис. 46 - делители fe 2, з2, з, -..) и на вход второго сумматора 22. На второй вход 22 поступает сигнал изменения скорости ± Aft в переходном режиме. С выхода 22 сигнал задания скорости через буферный делитель частоты б.д поступает на вход системы регулирования частоты вращения

* Здесь под сумматором понимается устройство, формирующее последовательность импульсов, частота которых равна сумме частот входных сигналов.