Применяя этот критерий к знамертателю Ф (г), получаем, что должно удовлетворять следующим неравенствам: *р<(1--d), kp<

<:2(1+d)/(l-fd-ai), =1 -е/2Г. Если Г/Го = 1 и 6 = Г, то ftp < 2.65.

Если выполняется условие (37), то ЦСАУ можно рассматривать как непрерывную. При этом цифровой регуля-р и фиксатор заменяются эквивалентным непрерывным регулятором. Пусть (г) определяется по уравнению (4). Такому дискретному регулятору соответствует непре-т)ывный ПИД-регулятор с передаточной функцией

f WiP)- + KITP + hTp), (47)

и структурная схема приобретает вид рис. 35, б. Синтез регулятора ЦСАУ при выполнении условия (37) можно, таким образом, провести путем нахождения (р) в структурной схеме 35, б, воспользовавшись известными методами синтеза линейных непрерывных систем, а затем определить [26]

Wip)=iTp/l-e-)W{p). (48)

Так как Wp (р) зависит от р и е , а (г) должна быть дробно-рациональной функцией только от z = е , то при-1еняются различные приближенные формулы [26] для оп-)еделения Wp (z).

. Квантование по уровню вносит дополнительные погрешности в работу ЦСАУ. Величина одной дискреты (одного кванта ) в рассматриваемой системе о = 1/(А,0) =

~ л^вых.макс/1Сч.

Дополнительные погрешности, вызываемые квантованием по уровню, приводят к ухудшению точности и появлению автоколебаний выходной координаты, так как необходимый для получения заданной величины Хшх уровень сигнала на выходе регулятора не всегда равен разрешенному.

Характеристики устройства квантования по уровню X* = па sign X при па <:\х\<: {п + I) а показаны на

рис. 36, а, а при (п - 0,5) о < л; < (п + 0,5) о - на рис. 36, б. Изменение входного сигнала квантователя при ± 0,50 не приводит к изменению выхода, т. е. ошибка составляет 0,5 о для характеристики рис. 36, б и о fljjjj рис. 36, а.

26----

-26- -S

26----

Т 2 -г

---\-26

2 2

Рис. 36. Характеристики устройства квантования по уровню

Приближенная оценка ошибки, вызванной квантованием по уровню, определяется по формуле

8,=е.<Ф(1)1о, (49)

где Ф (г) определяется выражением (40). Для приведенного выше примера в (/ = оо) < о.

Оценим ошибку, вызьшаемую квантованием по уровню, представив помехи квантования в виде дискретного белого шума, не коррелированного с квантуемым процессом и равномерно распределенного в диапазоне от -0,5 до -j- 0,5, т. е. имеющего дисперсию о^/12. Средний квадрат ошибки на выходе

D.u.~ § Ф(г)4-Ф(г-), (50)

где интеграл берется по окружности единичного радиуса. Формулы, облегчающие вычисление выражения (50), приведены в работе [41].

I Для расчета автоколебаний в ЦСАУ, вызванных кван-тованием по уровню, обычно используется метод гармони-ческой линеаризации, причем все возможные частоты автоколебаний известны, так как период автоколебаний может составить целое число периодов дискретизации Т. При этом коэффициент линеаризации зависит не только от амплитуды и частоты сигнала на выходе нелинейного элемента, но и от его фазы, что усложняет расчеты. Порядок расчетов описан в работе [36]. На основании этих расчетов можно сделать вывод о том, что если САУ без учета квантования по уровню хорошо демпфирована, то амплитуда автоколебаний не превышает о [15].

3. САУ С ЦИФРОВЫМ ИНТЕГРАТОРОМ

р. Если выполнено условие (37), то цифровой интегратор и цифровые устройства для введения ПИД-составляющих можно заменить непрерывными и структурные схемы рис. 2, г и д привести к схемам, изображенным на рис. 37, а, б. Здесь ftg = kjd, где d равно изменению выходного напряжения интегратора при изменении его состояния на единицу; - передаточная функция ЦИ с фильтром на выходе (без учета интегрирующих свойств ЦИ); и ks - коэффициенты усиления соответственно по пропорциональному и дифференцирующему каналам; W - учитывает дополнительные инерционности и запаздывания в этих каналах, Wa - передаточная функция регулятора без учета канала ЦИ. Коэффициенты и kg определяются схемами узлов, примененных для получения указанных составляющих. Если пропорциональная составляющая образуется с помощью схемы вычитания частот и преобразователя частота - напряжение, основанном на формировании постоянной вольт-секундной площади импульса ЕА, то fh =kfEA, а при использовании преобразователя, основанного на подсчете числа импульсов за время в, = /б^макс/х, Где Ммакс - напряжение на выходе преобразователя при максимальном заполнении счетчика емкостью Vj. При

этом W содержит, кроме фильтра, звено чистого запазду, вания на 0,5 0. Аналогично можно определить и коэффц. циент ftg.

Анализ и синтез структурных схем рис. 37, а, б могут быть выполнены известными методами непрерывных линейных систем. В частности, можно определить необходи-мую емкость счетчика интегратора. Для этой цели следует

1-- к,*Ь,р

о.р

ffWA

Рис. 37. Структурные схемы предельных САУ с цифровым интегратором

построить переходные процессы в системе при действии максимально возможных управляющих и возмущающих воздействий и оценить наибольшие значения сигналов Ии.макс, появляющихся На выходс интегрирующсго звена.

причем d определяется после выбора па-

Тогда F > -

раметров системы регулирования как kjki. Величина V

может быть выбрана меньше, чем Ыи.макс/. однако в этом случае при переходных процессах интегратор может выходить из зоны линейности, что приводит к затягиванию переходных процессов и может вызвать увеличение колебательности и даже неустойчивость. Минимально допустимая величина V должна быть такой, чтобы обеспечить компенсацию возмущений в статическом режиме.

ter-

Н2Ь

9- h

й>ж

Рис. 38. Структурная схема САУ с цифровым интегра- тором

В тех случаях, когда в САУ выходной сигнал изменяется в широких пределах, условие (37) трудно выполнить во всем диапазоне. При снижении частоты следования импульсов увеличиваются пульсации Хъы-и и погрешности воспроизведений различных законов регулирования [15], поэтому в этих режимах необходимо рассматривать САУ как дискретную.

Вид структурных схем рассматриваемых САУ зависит от типа устройств, примененных для формирования аналоговых составляющих. Если в схеме рис. 2, д аналоговые сигналы формируются с помощью ПЧН со стабильной вольт-секундной площадью, то необходимо учитывать импульсный характер этих сигналов. Если же для получения сигналов используются аналоговые датчики, как в цифровых регуляторах скорости, то следует учесть импульсный характер сигналов только на входе интегратора. Так как будем

анализировать режим работы САУ, при котором сигналы на ее выходе меньше максимальных, то можно принять что импульсы аппроксимируются дельта-функциями (пе! риод следования импульсов во много раз больше их длительности).

Рассмотрим САУ с использованием аналоговых датчиков структурная схема которой изображена на рис. 38 (считая что отнесено к Wo.p, или пренебрегая WJ. Тогда

W (Р) = (1 + W,W .pr Го.р (1Г,Хе. -f U). (51)

Предположим, что ЦИ выполнен по схеме, изображенной на рис. 19. Пусть.Квых = Xj\dxbJuf = Xi+i; i = T7n; n =

= ni -f Пг, где Пх - порядок Wo.p (р) и - порядок Wa (р). Предположим, что момент т = О совпадает с приходом импульса частот /вх или /вых и известны начальные значения Xt (0). Так как система линейная, то (51)

Хг (т) = h (t, xQ).....х, (0)) + h (t) Хв, -f hu (0+). (52)

При т = О * после прихода очередного импульса и (f) скачком изменяется на ± d и до прихода следующего импульса не меняется. Функции /г и fs являются обратными преобразованиями Лапласа от

(р) Wo.p (р)/[1 + (р) Wo.p (р)] р,

Wo.Ap)/[i + w,(p)Wo.Ap)]p- (53)

функция Д является решением однородного дифференциального уравнения системы с заданными начальными условиями. Она может быть найдена, например, преобразованием Лапласа. Это дифференциальное уравнение в операторной форме можно записать в виде (М^Мо.р -f NgNo.p) X X Хвых = О, где М^, Мо.р, Л^а' о.р - полиномы относительно р, соответствующие числителям и знаменателям

и Wo.p. Функция /i линейна по Xi (0), поэтому

Повторным дифференцированием (т) по т вычислим х^т). введем вектор л: (т), имеющий компоненты л: (т) и матрицу/, элементы которой fij (т) равны коэффициентам при Xj (0) в формуле для Xi (т). Аналогично введем векторы Ь (т) и с (т), компоненты которых равны коэффициентам при лГвх и и (0 ) в формулах для Xi (т) (т. е. bi (т) = д^~ /g/dt . Ci (т) = df-Jdr ). Тогда можно записать следующее век-торно-матричное равенство:

x(r) = F{x)x{0) + b{x)Xsx +с{х)и(0+). (54)

Будем рассматривать импульсные последовательности /вх и /вых как общую последовательность, причем текущий (-й) период этой последовательности обозначим Tft. Предположим, что сразу же после прихода -го импульса (т. е. в момент Tft = 0 ) X = Xk, и = u,i, причем Xft является начальным условием для изменения х (т) при т > 0. На основании выражения (54) можно записать

Xk+i = F (П) Xk + b (Т,) д^вх + с (Г,) щ, (55)

= ,-d(-l)+i, (56)

1,е / = 1, если (к -f 1)-й импульс является импульсом /вх, I = 2 если {k -f 1)-й импульс является импульсом /вых-Для построения переходного процесса необходимо определить Tk. При этом нужно учитывать, что в переходных процессах несколько импульсов одной частоты (/вх или / вых) могут поступать подряд. Будем рассматривать только интегральную частотную модуляцию 2-го рода, когда /г-й период выходной частоты определяется из уравнения

Хпых (т) dx = l/kf. (57)

леш Т^ = мин(Г1к,Т2к). Если при /=4 был импульс одной частоты (4 i = 1), то Tik = Т'вх, а Тгк является

решением уравнения

[ Хвьт (т, Xk) dr = l/kf - £ \ д:вых (т, Xk-) dr, (58)

где суммирование проводится от (A - 1)-го {q - 1) до (k - - /)-го шага, когда последний раз был импульс /вых- При этом, если Tk = Тех, то 4 = 1, если 7 = Тгк, то 4 = 2. При расчетах по формуле (58) интегралы в правой ее части

зависят от известных величин.

Если же при / = 4

был импульс /вых (4-1 =

= 2), то

(59)

где T2k определяется как решение уравнения

j Хвых (t, Xft) dx == \lkf.

<0

>о

л

Г

Т

(60)

В формуле (59) k -

Рис. 39. Структурная схема алгоритма -j номер шага, когда определения и 4 последний раз был им-

пульс /вх, при ЭТОМ, если Т^ = Tife, то 4 = 1. если Т^ = = T2k, то 4 = 2.

С помощью полученного соотношения можно построить переходный процесс отработки входного сигнала. Значения фазовых координат находятся только в моменты прихода импульсов. На рис. 39 показана структурная схема алго-горитма для определения Т^ и 4. причем

т

J (7 =а:вых(т,Лй)с[т.

с помощью приведенных уравнений можно вычислить установившиеся значения координат. В установившемся режиме импульсы входной и выходной частот чередуются, а и принимает значения + d и Ыц. Учитывая, что Tk+i = Тех - Tk, Xk+2 - x,i, И принимая, ЧТО первый импульс является импульсом выходной частоты, получаем

Xk+i = F (Tft) X, + b {Tk) хвх + с (П) щ;

Xk+2 = = F (Г,х - Tk) [F (Tk) Ч + Ь (П) х^ +

+ с (П) Щ] + b (Тех - Tft) ЛГвх + с (Гвх - Т^) (Мо + Ф. (61)

Таким образом, для определения п + 2 неизвестных о. ft) имеем п уравнений (61), а также уравненг еязывающее Гвых и % в виде

Xi(r,Xk)dr+ J Xi{r,Xk+i)dx=l/kf. (62j

Учтя свойства переходной матрицы F (Т) и вектора b (Г), согласно выражению (61), можно записать

Xk = F (Гвх) Xft.+ b (Гвх) Д^вх + с (Гвх) о + с (Гвх - Tft) d. (63)

Недостающая зависимость, необходимая для однозначного определения фазовых координат и в установившемся режиме, получается из ограничивающих условий: О < < Tft < Гвх, U(,/d - целое число.

Пример 2. Пусть W = k/(Tp + 1), Wa = h- В соответствии с выражением (51)

*вых (Р) = hxJ(TsP + 1) + М iXaP + 1), = W( 1 + kk\ n = m+kkd, (64)

*вь,х (т) = х^е + /3 (1 - вх + *Г'*з (1 - е~п и„. (64а)

Найдем установившееся значение л;, из соотношения (63)

+ ;Г'з(1-е ~=~ )Й. (65)

Г^/Гз = 1п [е^з +(/вх/з 1) klX + о - Мвых/*з)/й]. (66) Из условия 7 ft > о и выражения (66) следует, что

о > Vbhx/*3 - Vbx - (67)

а из условия < Г^, и выражения (66) вытекает, что

Ио<Лых/*з-Vbx. (68)

откуда ujd равно целой части числа

Подставим л;вы?!( а) вь,х(> /s+i)> определенные по формуле (64а), в выражение (62); в результате получим

ХйГз (1 - е~* в) + К (л^вх + *=Г' о) [Tft - Гв (1 -е~)] + + д:+,Гз (1 - е~ +) + йз (л: +

+ кт\ + fefrf) [Tft+l - 73 (1 - е~*+)] = (70)

Подставим в выражение (70) значение которое получается если в уравнении (64а) принять т = Tft, Tij= Т^-Т), а также исключая с помощью формулы (66) {х^ - Xk). В результате получим

Tk = TJd (kx + + d) kjkjifd. (71)

Для определения 7 , xj и Uq можно поступить следующим образом. Задаваясь рядом значений кратных d, по формуле (71) находим соответствующие значения Tj, а по формуле (66) - *вых- установившиеся значения принимаем х. и д, удовлетворяющие выражениям (67) и (68).

Пользуясь этими уравнениями, можно построить переходный процесс, а также решить вопрос об устойчивости