Применяя метод ОРБ, отметим, что если с выбрано так, чтобы один из коэффициентов at был равен иулю, то это будет означать отсутствие одного из резисторов в цепи обратной связи. Например, если с=Ьп-\/п, то из (15) следует: а\ = 0, а следователь-ео, сопротивление Ri будет равно бесконечно большой величине, что эквивалентно разрыву цепи. Вероятно, было бы лучше не уда-.лять таким способом резистор из цепи обратной связи, так как это означало бы исключение возможности управлять одним мз состояний системы. В любом случае нет смысла добиваться того, чтобы йп было равно нулю, чтобы не потерять обратной связи с выхода ОРБ. С другой стороны, из (16) видно, что сопротивления резисторов обратной связи не зависят от коэффициента усиления и средней частоты фильтра и определяются исключительно коэффициентами ФНЧ-прототипа. Коэффициент усиления Н определяется сопротивлением входного резистора Ro, которое, в соответствии с (2) и (14), определяется как

R, = R,lHbo. (18)

Для схемы на рис. 6.4-1 мы предположили, что реализации ПФ второго порядка являются неинвертирующими. Если используются инвeptиpyющиe реализации, то дополнительно требуются инверторы. Примером этого служит схема на рис. 6.4-2. Наконец, постоянная с соответствует ограничению (17). Это означает, что нормально с меньше единицы, что в соответствии с (13) приводит к тому, что Qp будет большой даже для умеренных значений Q. Если выбрать с=Ьп-\1п, то

Q = fc iQp/n, (19)

что дает минимально возможное значение Qp для определенного Q.

<LI = 60007t

dp-1,654

ZB,0S5

Puc. 6.4-2. Схема полосового фильтра восьмого порядка с ОРБ, реализованного в примере 6.4-1. Сопротивления даны в килоомах

Пример 6.4-1. Полосовой ОРБ-фильтр восьмого порядка с .тксималь-мо плоской АЧХ. Требуется реализовать ПФ восьмого порядка с максимально ПЛОСКОЙ АЧХ, средней частотой 3000 Гц, шириной полосы 600 Гц на уровне -3 дБ и шириной ПОЛОСЫ не более 1500 Гц на уровне -30 дБ. Коэффи-циеит усиления па средней частоте должен быть равен единице.

Начнем-с того, что определим.. Qp, .взяв за основу; (19).,Из технического, задания на фильтр видно, что Q=5, а <oo=.6000jt рад/с. Из табл.- 2.1-За для-/г==4 .получаем- -- - .

V2(s)/Fi(s)= l/(s + 2,613126s3 + 3,414214s2 + 2,613126s-f 1). (20>

Следовательно, из (3) находим Ьо=1, б1 = Ьз=2,613126 и i&2=3,414214. Если c=bn-iln, то с=6з/4=0,6532815, поэтому

Qp=Q/c= 5/0,6532815 = 7,654; (21а)

Яо = 1 /с = 1,5307; (Ор = 6000 л рад/с, (216), (21в>

где сОр - недемпфированная собственная частота (7). Из (15) имеем

Ci = 0; (22а>

оз = ( 3 ) (з1) е.-с^- =0,3838; (22в>

= бо с -2 Ci = 0,2036. ф (22г>

Из (2) можно выбрать Rf и решить его для различных Ro Если i?/==10 кОм, то /?1 = оо, i?2= 11,718 кОм, J?3=26,055 кОм и i?4=49,116 кОм. Полученная в результате синтеза схема, где ПФ второго порядка являются инвертирующими (на схеме они выделены в блоки), представлена на рис. 6.4-2.

Ряд других конфигураций фильтров, включающих функциональные узлы, второго порядка, с различными сочетаниями обратной связи, приведены в [70-74]. Хотя был реализован ряд прекрасных схем, многие из них крайне трудно синтезировать так как при этом требуется применение ЭВМ. Процедуры, приведенные здесь и в предыдущем параграфе, дают пример хорошего-компромисса между характеристиками фильтра и простотой синтеза.

6.5. Параллельно-каскадный метод

В этом параграфе представим еще один (последний) непосредственный метод реализации функций цепи высокого порядка. Он позволяет проводить реализацию всех типов аппроксимаций фильтра, как при наличии, так и при отсутствии конечных нулей на оси jco. Он дает также возможность реализации комплексно-сопряженных нулей в любом месте комплексной плоскости или простых нулей в любой точке вещественной оси. Этот метод использует КОИ, описанный в (4), § 6.1, (его схема показана на рис. 6.1-2,а). Постоянная КОИ D{s) (см. (4), § 6.1) определяется так;

Метод был предложен Антонью [75]; его особенность - очень гибкая схема реализации.

Параллельно-каскадный метод использует в качестве исходной передаточную функцию по напряжению для четырехполюсника, описываемого -параметрами f/tj(s). Эту передаточную функцию обозначим T{s) и выразим следующим образом:

Т (S) = {s)/[\ (s) = - is) - (Oe + % s + +... + G s )/

iba-{-b,s + b2S+... + br,s-)-(jats Vfl; bs

(.2)

где Ьг>0 и bi\ai\. Коэффициенты числителя могут быть положительными, отрицательными и нулевыми. Если их модули таковы, что последнее HepaiBCHCTBO нарушается для некото-рых из них, то числитель в целом Vg можно умножить на достаточно малую постоянную. Из (2) видно, что

Рис. 6.5-1. Разделение ис- (s) == V s ; /,2(4= У' &i S . ходной цепи на две парал- ~~

лельно соединенные лод-

Рассмотрим теперь разделение исходной цепи на две параллельные подцепи, обозначенные iVi и N2 на рис. 6.5-1. Если обозначить через y-hjis) и г/<гi(s) параметры полной проводимости цепей i и 2 соответственно, то

Т (s)- {~УЦ (S)-yf) (4)/(у<(S) + у<> (S)) =

\£=0 \i=0

Для наших целей удобно разложить числитель и знаменатель {4) следующим образом:

- = 0 + -1 s; yi (s) = fee + fcis;

-f4s)-y; a,.; ygijbiS.

t=2 i=2

(5a), (56) (5в),(5г)

Таким образом, передаточные функции по напряжению разомкнутых цепей 1 и 2 имеют вид

Тг (S) = - УЦ mil) (S) = ( о + 1 s)/(6o + 61S);

П (S) - - yiV (s)iyiP (s) = С S а, s У ( S 1 ) (66)

\i=2 \i=2 J

Рассмотрим сначала Ti{s). Ее можно реализовать с помощью схемы на рис. 6.5-2,а (для i-\), передаточная функция которой

Vzi (sWii (s) - is Сц + C?u)/[s (C + Q,> + (G + G,i)]. (7)

Приравнивая отнощение (5a) и (56) к выражению (7), получаем в результате следующие расчетные соотношения для элементов цепи:

(8>

Рис. 6.5--2. Схема подцепи ;Vi (см. рис. 6.5-1)

Если ОДИН или оба коэффициента щ и щ отрицательны, то инвертирующий усилитель с единичным коэффициентом усиления может быть включен последовательно с цепью, как показано на рис. 6.5-2,6. Если ао отрицательно, то Сц подсоединяется к зажиму со знаком минус. Аналогично, если tZi отрицательно, то Сц подсоединяется к зажиму со знако,м минус.

Рассмотрим теперь реализацию T2{s). Если можно сделать так, чтобы -<*2i(s) и y->22(s) стали аналогичны исходным; -21 (s) и 22(s) (но меньшего порядка), то можно выделить другую цепь типа /. Схема на рис. 6.5-3 дает способ осуществления этих замыслов. Чтобы убедиться в этом, используем (4) из § 6.1, откуда получаем

/2з(5) = 12з( ); (9а)

hAs)-f\ff-Iis).

Z2 is) Zi (s)

(9б>

~1

i2Z -о

Цепь Z

Рис. 6.5-3. Подцепи Щ (рис. 6.5-1)

Если Zi{s)=Ru Z2(s) = l/sC2, Z3(s)-i?3 и Zisyl/sCd, то {96) примет вид - - -

/22 (s) = i?i Q Rs C4 /23 (s) = /Cl /23 (s), (10)

где Ki=RiC2R3Ci. Параметры проводимости цепи 3 можно записать так:

/13 (S) = yiV (S) 13 (S) + (4 V23 (s); (11а)

/23(s) = i/?>(s)Vi3(s)-fi/<>(s)F23(s). (116)

Из рис. 6.5-3 и 6.5-1, однако, видно, что Vi3{s) = Vi2{s) и 13(8) =/12(5). Более того, (9а) и (10) связывают /23(5) и У2з(5) с i!22{s) и V22{s). Следовательно, (И) можно использовать для лолучения параметров полной проводимости цепи 2:

/12 (S) - y\V (s) 112 (s) + y{V (s) 22 (s) = y\V (s) i2 (s)+УЦ (s) V22 (s);

(12a)

(s) = Ki y<V (s) 2 (s) + Ki уШ> (s) V (s) =

= (s) 112 (s) + yg> (s) V22 (s). (126)

Из (12) следует:

!/<f)(s) = i/(2)(5)/s/Ci; i/()(s) = i/g)(s)/s/Ci. (13a), (136) Подставляя (5в) и (5г) в (13), получаем в результате

* 1 1=2 1 1=2

i/L (S) S = S (146)

S Аг 1=2 1

Передаточная функция по напряжению разомкнутой цепи. 5 будет теперь иметь вид

\l=2

Эта форма практически совпадает с формой (2), но имеет более низкий порядок, так что теперь процесс реализации можно продолжить. К этому моменту процесс реализации цепи соответствует рис. 6.5-4. Обобщенная схема при параллельно-каскадной реализации после ряда циклов показана на рис. 6.5-5. Заметим, что значение постоянной Кг Для КОИТ не является множителем в процессе синтеза и может выбираться произвольно. Обычно оно выбирается так, чтобы минимизировать величины Гц, С2г, Гз1 И С4г И оптимизировать ВОЗМОЖНОСТЬ манипулировать напряжением. Обычно гц = Гзг=Гг и С2г = сц=Сг. Чтобы показать.

как выбирается оптимум, рассмотрим схему КОИТ иа рис. 6.5-6 где указаны амплитуды напряжений на элементах. Заметим, что разность Vo2-Vol равна /(/3 + l/j(i)C2), где / - ток, текущий через С2 и Гз. Максимальное значение Уо2-Vd ограничивается пределами выходного напряжения усилителя. Если либо Гз, либо d выбраны так, что они соответственно слишком велики или малы.

Рис. 6.5-4. Параллельно соединенные подцепи, схемы которых представлены

на рис. 6.5-2 и рис. 6.5-3

о

гц сц -,

сгг

п-четное

Рис. 6.5-5. Обобщенная схема при параллельно-каскадной реализации

то величина V02-Voi быстро достигает указанных пределов. Ра--зумно выбрать Гз=1/ас2, где сосйс - частота среза, и выбрать Гз в диапазоне 1 ... 10 кОм.

Элементы пассивной цепи первого порядка, показанные на рис. 6.5-2,а, можно выразить в общем виде следующим образом:

= ai-i, Czi-i - bi-i-(hi-1у

(16)

где i - номер итерации. В каждой итерации процедуры синтеза формируется такая пассивная цепь, а также КОИТ (исключая случай t=l, когда формируется только пассивная цепь). Если п- четно, то в итерации номер (1+п/2)

G1,1+71/2 =Ti; 2,1+n/2 = -; Cl,1+/2 = 0; C2,1+71/2 = 0,

(17a) (176)

так как согласно (3) нет (п-ь1)-х коэффициентов. Если п-нечетно, то в итерации номер (п+1)/2

G 1.(71+1)/2 0171-1; С2,(п+1)/2= &71-

п-1 >

Cl, (71+1)/2 - <п', С2, ( +1)/2 = Ьп-а„.

(18а) (186)

Поэтому для четного п последняя пассивная цепь не содержит емкостей, тогда как для нечетного п она содержит как сопротивления, так и емкости. Для каждой подцепи с отрицательными коэффициентами числителя это соответствует одному инвертирующему усилителю с единичным усилением. Последним шагом в данной реализации будет замена всех этих усилителей одним, как показано на рис. 6.5-5.

Пример 6.5-1. Эллиптический параллельно-каскадный фильтр нижних частот третьего порядка. Требуется, используя па-.Рис. 6.5-6. Амплитуды напряжений КОИТ, Раллельно.каокадный метод, полуиспользованного в параллельно-каскадном чить реализацию эллиптического методе ФНЧ с частотой среза 2зх-10

рад/с, удовлетворяющую нормч-рованньш техническим требованиям, данным в шримере 2.3-1. Нормированная передаточная функция по нaпpяжemю

Vjs) 0,105891 (s-f 5,153209)

T(s) =

Vl (s) (s -f 0,539958) (s -f 0,434067 s + 1,010594)

(19)

Преобразуя (19) так, чтобы сформировать коэффициенты лолиномов, получаем

0,545678 + 0,105891 s2

0,545678 + 1,244972 s + 0,974025 +

0 + 2

(20)

Из (16) находим: Первая итерация:

Gil = о =0,545678; Gji = - = 0; Сц = 1 = 0; = fc, - = 1,244972. Вторая итерация:

Gi2 = 02= 0,105891; Gja = fca -0,868134; Q2=a3 = 0; Cz2=bs- 3= 1,0.

Полученная в результате реализация показана на рис. 6.5-7. Денормируя по частоте и используя денормирование по полному сопротивлению на уровне 1000 Ом, получаем следующие номиналы элементов реализации: /?ii=l/Gii = = 1,833 Ом, С2г= 1,981-10-7 Ф, fii2=l/Gi2=9,444 кОм, С22=1,592-10 Ф, 122= = 1/G22=1,152 кОм. Сопротивления КОИТ выбирают такими: rii=/-3i = l кОм, емкости С21=С41 = 1,59-10г^ Ф. Постоянная КОИТ /Ci=2,528-;10-.

Рис. 6.5-7. Схема параллельно-каскадного ФНЧ третьего порядка, реализованного в примере 6.5-il

Можно отметить несколько интересных свойств параллельно-каскадного метода. Одно из них - удобство получения полосовых реализаций, имеющих нули на оси jco. Другое - возможность синтеза НЧ и ВЧ реализаций с помощью одной и той же схемы в каждом конкретном случае. Например, для НЧ реализации, \ie имеющей конечных нулей на оси jco (см. рис. 6.5-2), имеем: Си- = 0 для i¥=l и Gh = 0 для всех i. Выходной сигнал снят с или Сщ, в зависимости от того, будет ли п соответственно четно или нечетно. Для реализаций, где коэффициенты знаменателя симметричны, т. е. Ol -Отг-г, как для фильтров Баттерворта, можно получить эквивалентную АЧХ типа ФВЧ, подавая входной сигнал последовательно с С^п (или с dn) схемы ФНЧ и снимая

выходной сигнал с Си, который при этом заземляется. Метод реализации передаточной функции второго порядка, использующий одну и ту же схему и для функций НЧ, ВЧ и П, приведен в литературе (см., например, [76]).

В целом параллельно-каскадный метод обладает наибольшей общностью и простой процедурой синтеза. Кроме этого, он обычно требует относительно небольшого числа высокоточных конденсаторов. Например, для параллельно-каскадного фильтра Баттерворта восьмого порядка требуются только двенадцать конденсаторов. Из них, однако, восемь используются для определения произвольно выбираемых постоянных КОИ, следовательно, только для четырех емкостей номиналы должны быть заданы точно. С другой стороны, для структурно-перекрытой реализации требуются точно заданные емкости восьми конденсаторов для реализации того же фильтра. Чувствительность схем, реализованных параллельно-каскадным методом, сравнима с чувствительностью схем, получаемых другими методами синтеза, представленными в этой главе.

. 6.6. Чувствительность

В этой главе были даны методы моделирования пассивных цепей путем использования активных /?С-подцепей. Теперь обсудим различные аспекты проблемы чувствительности применительно к этк.м методам. Здесь подход будет существенно отличаться от использованного в предыдущих главах, так как при применении методов моделирования пассивных цепей порядок реализованной цепи значительно отличается от порядка цепей, полученных другими методами и обычно много больше второго. В результате этого наиболее естественным было бы рассматривать A/(s)-функцию фильтрации цепи. В общем случае она имеет вид

В is) b, + biS+bs+ + bns

где nm. Для такой функции можно найти соотношения, которые показывают зависимости АЧХ и ФЧХ от некоторого параметра X, путем определения чувствительности функции цепи Sx- в соответствии с § 3.2. Чтобы найти их, заметим сначала, что в методах моделирования пассивной цепи некоторые пассивные элементы заменяются их активными /?С-эквивалентами. Пусть замененное полное сопротивление обозначается как Fs, где / - положительное или отрицательное целое. Например, если /=0, то полное сопротивление является активным и Г=к. Аналогично, если /=-1, то Г=1/С, если /=1, то Г=Ь и т. д. На следующем этапе вычисляются чувствительности коэффициентов S r и Sbjj. в соответствии с § 3.3. Используя (7) из § 3.3 можно выразить чувствительность функции цепи через чувствительность коэффициентов. Наконец, так как Г является функцией не-

которого параметра х, то может быть вычислена чувствительность Г по X, т. е. х- Объединяя приведенные выше этапы, видим, что чувствительность передаточной функции для функции A/(s), определенной в (1), можно записать в виде

5(s) = (S (Sr5)a,s/ у Б(5). (2)

Так как S не зависит от индекса суммирования, то (2) можно переписать в виде

{f Srа,Л\A(s)-[j\ Srh]lB{s)]. (3)

J=0 Jl \i=0 Jl

Рассмотрим теперь вычисление чувствительностей S°t р и i р, которые используются в приведенных выше выражениях. Такое вычисление облегчается, если предположить, что указанная цепь имеет лестничную структуру, показанную на рис. 6.6-1. В этой структуре последовательные элементы представлены как полные

Рис. 6.6-1. Обобщенная лестничная структура

а

Ye Vz

сопротивления, а шунтирующие элементы - как полные проводимости. Полагая для простоты, что лестничная структура нагружается элементом Уе, можно выразить передаточную функцию по напряжению через полиномы A{s) и B{s), определенные в (1), а именно:

B{s)=:\ + ZY + ZY + ZiY, + Z,Y, + Z,Y, + Z У, Z, Y -f

-f Zi Z3 Ke+Zi Y ZY,+ZY Z Y,+Z,YZ,Y,+Z Y ZY Z, Y,.{46)

Это выражение легко используется для менее сложных структур, так как некоторые из членов Yi и Zi оказываются равными нулю. Аналогичные выражения можно найти для лестничных схем с дополнительными элементами. Теперь процедуру нахождения Sx можно описать следующим образом.

1. Начиная с реализации пассивной цепи-прототипа, показанной на рис. 6.6-1, проводим любые необходимые преобразования, такие как RLC-С/?1)-преобразования (см. табл. 6.3-I).

2. Подставляем значения полных сопротивлений и проводимостеи в (4), находим выражение для рациональной функции, имеющей форму (1).

3. Вычисляем 5° г и Stj- для любого желаемого полного сопротивления TsL

4. Вычисляем где х - некоторый параметр /?С-подцепи, использованной для реализации полного сопротивления TsK