рередаточные функции от входа Vi{s) к выходам Foi(s) и Fo2(s), &)ни .имеют вид . .

Voi(s)/Vi(syl + ZA/ZAs); -{7а)

{s)fVi(s) = 1 -(s)Z,(s)/Z3(s)Zg(s). . . (76)

.. Используя выражения, для полных сопротивлений, данные выше, (7) можно записать как

Voi{s)/l\{s)=l+RJRs, (8а)

V,2{s)/Vi {s)=-{s-RjR2RCs)/{Rs/R2R4C3). (86)

Если .использовать в (86) определение о)о, данное в (6), то

шолучим

о2(s)/Fi(S) = -is-щVRbRsCi/R,RiCs)/aoVRTRTcJRRIc;. (9)

График асимптот модуля передаточной функции (9) (диаграмма Боде) приведен на рис. 6.2-3. Этот график и выражение (9) 1Могут использоваться для определения характеристик ЧЗОС. Так, например, если выберем С1 = Сз = 0,01 мкФ и R2 = Ri = R5=Rs = = 10 кОм, то D в (1) будет равно lOi ф-с. а о)о=10* рад/с.

Рис. 6.2-3. Диаграмма Боде для модуля лередатонной функции, определенной iB выражении (9)

10 10

01, padjc

Рис. 6.2-4. Диаграмма Боде для модуля передаточной функции, определенной в выражении (11)

В качестве другой реализации ЧЗОС выберем полные сопротивления на рис. 6.1-2 следующим образом: Zi(s) = l/sCi, Z2(s) = =i?2, Z3(s)=i?3, Z4{s)=R4, Z5{s) = l/sCs. В этом случае (реализация 2)

aoVRs/RsRRCiCs. (10)

Передаточные функции по напряжению от входа Vi (s) к выходам Vol (s) и Vo2 {s) примут теперь вид

Voiis)

VAs)

= l+sRC=r

s + (u yRsR2Ci/RRiC

Vo2{s) Viis)

(11a) (116)

(OoVRsRCi/RsRiC, s-WoyRsRaCj/RRjCj

WoVRTRCjRRCr Любое из этих двух выражений можно использовать для определения характеристик реализации 2., Например, если Ci = Cs-

1С- Ф и ;?2=/?3=-R4=i?5=10* Ом, то D= 10-12 ф.с, а о)о = = 10* рад/с, причем модули (11) идентичны и имеют вид, показанный на рис. 6.2-4.

Чтобы применить ЧЗОС для синтеза фильтров, необходимо вначале осуществить преобразование, предложенное Брутоном [63]. Это преобразование называется RLC-CRD-преобразова-нием. Оно имеет форму нормирования полного сопротивления, приведенную IB (4), § 1.4, но при этом нормирующая постоянная является функцией s. В частности, 2; =l/s. Таким образом, можно написать

Z(s) = 2 Z (s) = Z,(s)/s; Y(s) = YAs) = sYAs). (12)

Рассмотрим в качестве примера полную проводимость ветви JLC-цепи общего вида:

Yi,Lc{s) = G+\lsL + sC. (13)

Такая ветвь состоит, очевидно, из параллельно соединенных резисторов, катушки индуктивности и конденсатора, имеюшдах со>-противление 1/G ом, индуктивность L генри и емкость С фарад соответственно. Применяя RLC - CiD-преобразование к такой ветви, получаем

Ycrd{=sG + sC+IIL. (14)

Преобразованная цепь состоит из параллельного соединения конденсатора, ЧЗОС и резистора, параметры которых равны С фарад, C( = D) фарад-секунд и L ом соответственно. Коэффициент усиления ИНУН, так как он безразмерен, не оказывает влияния на такое преобразование. Аналогично, если RLC - CRD-преобразование применяется к четырехполюснику, который характеризуется обобщенными параметрами, определенными в (2) § 6.1, то так как A{s) и D{s) - безразмерны, они не будут изменяться под действием данного преобразования, тогда как параметры B(s) и C(s), так как они имеют размерность полного сопротивления и полной проводимости соответственно, будут умножаться на 1/s и S соответственно. Эти результаты сведены в табл. 6.2-1.

Так как ЧЗОС является активным элементом, то важно с точки зрения удобства питания такого элемента, чтобы один конец его всегда был заземлен. Это эквивалентно требованию, чтобы все конденсаторы цепи-прототипа, к которой применяется RLC - С7?0-преобразование, также были заземлены. В общем случае такое требование всегда удовлетворяется в реализациях ФНЧ. Следовательно, использование ЧЗОС особенно удобно при реализации таких фильтров. В общих чертах процедуру синтеза можно описать так.

1. Синтезировать нормированную iLC-цепь-прототип нижних, частот, используя таблицы в приложении А.

RLC-цепь

R,Om

L.Th

13-о I-о

ю о--е

с-о г-о

0-1-1-(

А В С В

L,Om

i-о I-

)-о-1-

KVg в

с-.

УО QsGMo

G--о-I-О

А B/s

SC II

торой приведена на рис. 6.2-5,6. Выбираем которой Zi(s) = l/sC, Z2(s)=Z3(s)=i/?, Zi{s) получаем D = Ci. Выбрав С= i Ф, получим имеют одинаковые значения. Сопротивление R так как в выражении (2) сопротивления Ri сокращаются. Следовательно, можно выбрать ментом, используемым для настройки ЧЗОС.

2. Преобразовать RLC-цепь в нормированную CRD-цепь, используя данные табл. 6.2-1.

3. Синтезировать ЧЗОС, используя нормированные значения сопротивлений и емкостей.

4. Обеспечить пути прохождения постоянного тока между входными зажимами всех усилителей и землей, если их до этого не существовало. Так как сопротивления источника и нагрузки были преобразованы в емкости, необходимо шунтировать одну из них или обе сопротивлениями, выбрав их так, чтобы они не оказывали существенного влияния на реализацию.

5. Денормировать все сопротивления и емкости данной реализации.

Пример 6.2-1. Фильтр Баттерворта пятого порядка нижних частот на основе ЧЗОС. Требуется реализовать, используя ЧЗОС, двусторонне нагруженный фильтр нижних частот Баттерворта пятого порадка, имеющий частоту среза 10 рад/с. Требуемые значения сопротивлений источника и нагрузки составляют 1000 Ом. Используя прилож.ен1И€ А, получаем иормированную цепь-прото-тио нижиих частот, схема которой показана на рис. 6.2-5,0-Применяя RLC-CRD-npeotpSiao-вание, формируем цепь, схема ко-реализацию 2 на основе ЧЗОС, в --Ri и Z4s)=MsC. Из (1) и (2) реализацию, в которой все е.мкости может (Принимать любое значение, и Rs, которые одинаковы с ним, R=l Ом. Резистор 4 будет эле-

Результаты применения преобразований RLC-CRD к различным элементам цепи

Исходя из требований, что D= 1,618 с, получаем, что номинальное значение Ri равно 1,618 Ом. Нормированная реализация фильтра показана на рис. 6.2-5,е; Ra и Rb добавлены для того, чтобы обеспечить связь по постоянному току между положительными зажимами усилителей Ли и А21 землей. Сопротивления Ra и Rb определяем следующим образом. Для постоянного тока V2 (0)/Vi (0) = Ri,/(R + Ri, +3,236). (15)

Величина 3,236 представляет собой сумму сопротивлений, последовательно включенных между Ra и Rb. Если (15) равно RlI{Rs+\Rl), то схема на

0,6i8

. 0,618 f,6№Y xZ

Рис. 6.2-5. Схема ФНЧ пятого порядка, реализованного а примере 6.2-1. Значения элементов даны в омах, генри, фарадах и фарад-секундах

рис. 6.2-5,е будет иметь ту же характеристику по постоянному току, что и прототип на рис. 6.2-5,а. Это дает одно соотношение для определения Ra и Rb. Другое соотношение можно найти, если принять, что Ra илн /?b>/?l или Rs. Это необходимо для того, чтобы при нормированной частоте среза I рад/с Ra и Rb не нагружали бы Cs к Сь соответственно. Поэтому, приравнивая (15) к 0,5 и выбирая Ка -100 Ом, получаем i/?b = 103,24 Ом, как показано на рис. 6.2-5,е. Результирующую цепь находим путем умножения жаждой емкости на 10-, а каждого сопротивления на 10.

На практике при проектировании фильтра, описанного в при--мере, каждое ЧЗОС должно быть настроено, как показано на рис. 6.2-6, путем подстройки R4 так, чтобы частота излома была равна 6180 рад/с. Это значение находят подстановкой идеальных значений пассивных компонентов ЧЗОС в (10) и (11). После подстройки каждого ЧЗОС можно спроектировать цепь, изображенную на рис. 6.2-5,в. После этого можно собрать схему, причем Можно допустить лишь небольшие подстройки, учитывая сложную

связь между изменением значения отдельного элемента и поведением всей схемы в целом. Характеристика фильтра, однако, достаточно чувствительна к изменению сопротивления резистора R4 в ЧЗОС и емкостей Cs и Сь. Следовательно, небольшие изменения характеристики фильтра можно осуществить тщательной подстройкой этих компонентов.

Рис. 6.2-6. Схема настраиваемого ЧЗОС

Рис. 6.2-7. Смещение по постоянному току в двух типах ЧЗОС

Резисторы Ra и Rb в схеме предыдущего примера можно исключить, используя измененную схему ЧЗОС. Чтобы показать, это, рассмотрим рис. 6.2-7,а, на котором показаны различные возможные пути протекания постоянного тока от входа каждого из усилителей, использованных в ЧЗОС в предыдущем примере (реализация 2). Здесь возникает проблема прохождения постоянного тока смещения к положительному зажиму усилителя Аи Следовательно, как показано выше, пока Zi{s) является конденсатором, необходимым условием протекания постоянного тока является наличие резисторов Ra и Rb. Рассмотрим теперь схему ЧЗОС (реализация 3), показанную на рис. 6.2-7,6, в которой Zsis) и Z5{s) выбраны как емкости. В этом случае путь протекания постоянного тока на землю существует для входных зажимов каждого из усилителей, и дополнительные резисторы не требуются. Очевидно, что если нет никаких других соображений, то эта схема предпочтительней всех остальных'. Другой способ подачи смещения состоит в использовании операционных усилителей, в которых требования к постоянному току смещения значительно снижены^.

К сожалению, реализации, построенные на осноне микросхемы ATF-431, которая упоминалась выше, не позволяют реализовать Zsls) емкостью.

К таким усилителям относятся усилители серии LMI55-I57 фирМЬВ Нейшнл Семикондактор .

в предыдущих параграфах было описано иейоль!зование ЧЗОС для реализации функции цепи ФНЧ. Некоторые дополнительные соображения, связанные с такими реализациями, будут даны в гл. 7.

Рассмотрим теперь применение ЧЗОС в реализациях ПФ. На рис. 6.2-8,а показана схема внутреннего звена пассивной ФНЧ-структуры. Если применить к вему ФНЧ-ПФ-преобразование

Рис. 6.2-8. Использование ЧЗОС для реализации ПФ

(8), § 2.4, то получим схему, приведенную на рис. 6.2-8,6. Если же применить RLC-С/?£)-преобразование, то получим схему, показанную на рис. 6.2-8,е. Эта схема содержит два незаземлен-яых ЧЗОС, одно заземленное ЧЗОС и резистор. Чтобы избежать необходимости непосредственно реализовать незаземленные ЧЗОС (которые с неизбежностью потребуют незаземленных источников питания), используем схему на рис. 6.2-9, где показано каскадное соединение двух КОИ с пассивной цепью. Обобщенные параметры первого КОИ

1 О

КОИ1 -

о

Z2{s)Zi{s)

(16)

1<0И1

ПастВнай цель

Рис. 6.2-9. Каскадное соединение двух КОИ с пассивной

щепью

т =

Обобщенные параметры пассивной цепи

A{s) Bis) С is) D{s) Обобщенные параметры второго КОИ

1 О

кои 2 -

о

(18)

Zi(s)Zs is) Z2(s)ZAs) 1

В результате каскадного соединения этих трех цепей получим обобщенные параметры всей схемы

Zi (S) Zs (s)

КОИ 1 пас.ц КОИ 2 -

С is)

А is)

Z2 (S) (S)

Bis)

Zs (s) Z4 (s) Dis)

(19)

Z,(s)Z3(s)

Следовательно, схема на рис. 6.2-9 эквивалентна соответствующей пассивной цепи, элементы которой нормированы по полному сопротивлению на величину Zi (s)Z3(s)/Z2(s)Z4(s). Если Zi(s), Z2(s), Z3(s) и Ziis) выбраны так, что

Zi (s) Z3 is)/Z is) Z4 is) = 1 /s (20)

TO элементы пассивной цепи подвергаются преобразованию, которое соответствует двум RLC - С/?1)-преобразованиям. Следовательно, рис. 6.2-9 можно использовать для реализации схемы рис. 6.2-8,е путем введения предварительно преобразованной

Пассивная цепь

Рис. 6.2-10. Реализация звена фильтра, сх€ма .которого дана на

рис. 6.2-8е

цепи, в которой ЧЗОС заменяется резисторами, а резисторы заменяются элементами, полное сопроти'вление которых пропорционально s. В результате структуру рис. 6.2-8,в

Рис. 6.2-11. Реализация элемента с полным сопротивле- ием, пропорциональиьгм

1ЙОЖИО реализовать с помощью двух КОИ и одного элемента, входное полное сопротивление которого sRlu как показано на рис. 6.2-10*. Последний элемент можно реализовать на основе ЦОИ, как показано на рис. 6.2-11. Концепцию, представленную на рис. 6.2-8 - 6.2-11, можно использовать для реализации ФВЧ на основе КОИ и ЧЗОС.

CuJD J

Puc. 6.2-12. Схема полосового фильтра четырнадцатого порядка, реализованного в примере 6.2-2. Элементы схемы г даиы в омах и фарадах

Размерность такого *ле.мента принимают равной генри-секунда.

. .Пример .6.22. Полосовой фильтр ЧеШишва. четырнадцатого порядка на основе ЧЗОС. Методика, описанная выше, будет использована для синтеза полосового фильтра Чебышева четырнадцатого шорядка с амплитудой пульсаций 0,5 1дБ в полосе пропускания, fo=I50 Гц и шириной полосы 150 Гц; сопротивления источника и нагрузки равны 1000 Ом. Из приложения А находим, что Li= 1,7373, С2= 1,2582, 1з=2,6383, С4= 1,3443, 1б=2,6383, Сб=1,2582, 1?= 1,7373 (размерность - генри и фарады). Схема цепн показана на рис. 6.2-12,а. Используя ФНЧ-ПФ-.преобразование (9), § 2.4, получим реализацию на рис 6.2-12,6. Приведенные на ней значения .получены на основе приведенных выше данных с помощью соответствий вида Cj=l/£i (i нечетное) и Li = \ICi (s четное). Следующий шаг состоит в том, чтобр осуществить iLC-CRD-преоб-разование, приводящее к схеме на рис. 6.2-12,е. Как описано вьппе, для pea лизацин комбинации Всг,. Пев, Ли и Dot можно использовать схему на рис 6.2-10. На входе цепи можно одновременно реализовать .как Ces, так н Оси полагая, что элемент 5(5) КОИ соответствует Rs+l/sd. Поэтому входное полное сопротивление КОИ (при условии, что Zi(s) = I/s и Z2(s)=iZ3(s) = =Z4(s)=l примет вид

Zb(s)=\IsCi + RJs (21)

и реализуется с помощью последовательной комбинации Crs и Dqi. Аналогичную процедуру, -можно использовать для реализации Crl и Dc? на выходе цепи. В целом нормированная реализация показана на рис. 6.2-12,г. Окончательные реализации КОИ показаны пунктиром и обозначены буквами от А до G иа рис 6.2-12,6 и г. Для лучшего понимания структуры операционные усилители на рис. 6.2-12,г опущены. Полные сопротивления Zi(s)-Zt(s) или Zb{s) показаны для каждого КОИ в .порядке сверху вниз. Заметим, что в КОИ, использованном для реализации Dc? и Crl, один конец нагрузочного сопротивления заземлен. Последний шаг состоит в том, чтобы денормировать цепь, используя г„ = 1000 и й„=942,48.

6.3. Методы структурно-перекрытой реализации

В предыдущих параграфах этой главы были обсуждены два подхода, применяемых при непосредственном методе синтеза фильтров а именно: использование искусственной индуктивности и ЧЗОС. Оба эти метода являются примером моделирования элементов пассивной цепи с помощью активных /?С-элементов. В этом параграфе обсудим подход, отличный от методов моделирования, но также относящийся к методам непосредственного синтеза. Он известен как метод структурно-перекрытой реализации [64]; в нем используется отрицательная обратная связь для моделирования соотнощений напряжения - ток пассивных лестничных iLC-цепей. Он приводит к полезным и устойчивым реализациям, одним из преимуществ которых является повторное использование почти идентичных узлов схемы, которые играют роль конструктивных элементов для всей реализации.

Метод структурно-перекрытой реализации основан на использовании активной RC-схемы, в которой напряжения на различных

В некоторых работах, см., напр., [2*], такой тип реализации назван каскадной структурой с дополнительными обратными связями . - Прим. пер.

участках цепи являются аналогами напряжении шунтирующих ветвей и токов последовательных ветвей моделируемой пассивной /?/.С-цепи-прототипа. Чтобы показать это, рассмотрим пассивную лестничную цепь, схема которой показана на рис. 6.3-1. Соотношения для токов и напряжений ветвей этой цепи можно записать в вид*

I, = {V,~V,)Yi, V, = {h-I,)Z,; (la), (16)

/з = (П-/4)П; 14-(/3-/5) 24-, (iB), (1г)

h-iVi-Ve)y., (1Д)

где для удобства опущен знак функциональной зависимости от (s). Структурная схема связанной с ней цепи, которая моделирует такую систему урав- / / / нений, показана на рис. -I*. 6.3-2. Эта цепь содержит инвертирующие усилители с единичным усиле-

Рис. 6.3-1. Схема пассивной лестничной цепи

нием, представленные в виде треугольников, сумматоры представлены кружками, а передаточные функции по напряжению со своими значениями Уь Zs, У3, Z4, У5 и т. д. представлены квадра-

Рис. 6.3-2. Структурная схема для моделирования цеш па рис. 6.3-1

тиками. Напряжение на выходе каждого такого квадратика можно записать в виде

У1з-{У'.-У^)Уъ, У^-{Угз~У1ь),

У1ь-{У^-У,)У

(2а), (26) (2в), (2г) (2Д)

Уравнения (2) являются аналогами уравнений (1). В частности, если представить /(, /3, h и т. д. на рис. 6.3-1 в виде напряжений Iii, Угъ^ Угъ и т. д. на рис. 6.3-2, то уравнения станут

Заметим, что ери таком представлении эти величины будут безразмерными, так как они являются передаточными функциями ло напряжению, хотя для удобства за ними оставлены обозначения У н Z.