чувствительности коэффициентов, рассмотрим цепь, схема которой приведена да рис. 3.2-1. Используя соотношения (5), находим

Q={l/R)yLjC; S%=-1; S£=l/2; Sg= l/2; а) = 1/У£С;

S = 0; S =-1/2; S =-1/2. (8)

Аналогично, используя результаты примера 3.3-il для цепи, показанной та рис. 3.3-(1, получаем

(2=1/(3-ТС); со =1; SQ=iC/(3-Ю; S = 0. ♦ (9)

Заметим, что в этом последнем примере Q и чуствительность возрастают при возрастании К{К<3), причем при /С->3 обе указанные величины стремятся к бесконечности.

Другим типом чувствительности, который часто используется для оценки характеристик функций цепи, особенно в случае вы-Соких значений Q, является нормированная чувствительность корней. Он отличается от вида выражения относительной чувствительности тем, что вещественные и мнимые части нормируются отдельно. Таким образом, для полюса рг=<У1+](йг будем опреде-.лять нормированную чувствительность корня как

Msi =J+j.i=s2.- (10)

дх/х дх/х

где чувствительности а и <0г относительны по форме, а норми--рованная чувствительность корня - нет. В результате нетрудно получить

NSi = Re NSi + j Im NSi - - Re US/ + j- Im USi. (11)

Для звена второго порядка, определенного выражениями (2) (3), нормированная чувствительность корня определяется через чувствительности Q и соп с помощью соотношений

(12)

Re = - S> -S2 -S ; Im да = S5?° = sr,n+ S?/(4Q2-1) S ,

где приближенные равенства соответствуют случаю высоких значений Q.

Методику использованную выше, легко распространить на случай звена третьего порядка. В этом случае полином в знаменателе имеет вид

D{s) + d, + ds + do. (13)

Он может быть разложен на два множителя - первого и вто-iporo порядков. Тогда, используя обозначения (2), можно записать

D{s) = {s+g){s+(Or,s/Q + col). (14)

Таким образом, для случая звена третьего порядка можно определить три функции чувствительности Sx] S и Sxn. Более

удобно, однако, вычислять их через чувствительности коэффициентов Sxi. Необходимые соотношения легко найти, если представить (14) в виде

On \

\ Q J

(15)

Приравнивая соответствующие коэффициенты в (13) и (15), получаем соотношения

Вычисляя частные производные этих выражений, находим 2 О 1

Юп g

(17>

Qd2 Qd 2

Решая систему, уравнений, получаем [15]

(2(u,(3-f<3-(0 )4 {<lQ-2<i>r.g()d, (Qg-2(o (32)co2d,

2coQdo/g

-2(o(?di

2(oQgrd,

где A = 2cu2[Q((o-fg)-cu ].

(18> (19)

Как пример использования этого соотношения, рассмотрим нормированную функцию Баттерворта третьего порядка. Из табл. 2.1-3 имеем

D (s) = 3 + 25* -Ь 2s + I = (s -f 1) (s -f S -Ь 1), (20>

т. e. в данном случае do = 1. 1 = 2,2 = 2, g=\, g) = 1 и Q = \. Подставляем эти значения в (18), тогда

Например, чувствительность добротности в этом случае оп-)еделяется выражением вида

SSi°-Si~Si\ (22)

Пример 3.5-2. Функции чувствительности активного RC-фильтра третьего порядка. Схема активной /?С-цепи нижних частот третьего порядка показана на рис. 3.5-1. Передаточная функция по напряжению для этой цепи мет вид

V2 (S) JVi (s) = do/ (s8 + 4 s2 + S -j- rfe) , где rfg = Gi Ga Gg Si S3 ;

di = G2 G3 S2 S3 + G2 Gs Si Sa + (G.2 G3 Si S3 -f Gi G3 Si S3) (1

-l-GiG3SiS2 + GiG2SiS2;

d2 = Gi Si + G3 S2-f Ga S2 + G2 Si + G3 S3 (1 -/С)

(23)

(24)

t i .где для удобства вычисления частных цроизводных нспользовались актив-аая провоиимость Gi=lfRi и реактивная (емкостная) проводимость Si=lCi. Решение для функции Баттерворта вида (20) определяется значения.ми К= =2, i?i = 1,565, i?2= 1,469, J?3=0,435, а все емкости равны единице [16] . Чувствительности коэффициентов полинома к изменению коэффициента усиления К преобразуются достаточно легко:

S = О ; S = - Л- (Ga G3 Si S3 -{- Gi G3 Sj Ss)/di = -3,0338 ;

S = -KGaSs/d -2,2989.

Из (22) видно, что

(25)

=0-f 3,0338 + 2,2988 = 5.3327.

(26)

Рис. 3.5-1. Схема активной /?С-цепи нижяик частот третьего поряд-.ка, используемая в при-.мере 3.5-2

Часто в выражении для функции цепи более удобно принимать равным единице не коэффициент у старшего члена, а свободный член. В этом случае полином в знаменателе будет иметь вид

D{s) = c-c + CiS\. (27)

Соотношения между чувствительностями коэффициентов такой -формы знаменателя и .формы, данной в (13), приводится ниже:

X --X -<->д; , Од; -Oj; ,

X - >->x ->->x , ->x - x - ->X I X - -->K t ->x -x ->x

Используя эти выражения, легко модифицировать выражения! для чувствительностей Q, и g, приведенные в (18), где они выражены через чувствительности коэффициентов di. Например для функции Баттерворта третьего порядка соотношения (21) принимают вид

1 -1 о'

-1 -1 1

-2 2 -1

(29)

В этом случае чувствительность добротности

S9,= -S,-S, + S,\ (30)

Выражения для чувствительности третьего порядка, полученные выше, находят еще одно применение в случае, когда в цепи, реализующей функцию цепи второго порядка, используются три реактивных элемента. Функция цепи в этом случае имеет в знаменателе полином третьего порядка и, кроме того, полином первого порядка в числителе. Тогда функция цепи нижних частот приобретает вид

N{s)A {s)/D (s) = H{s + g)/{s + 4 + s + do),

(31)

где коэффициенты Н, g и di зависят от значений элементов. В результате процедуры синтеза для таких цепей определяются, как обычно, значения элементов, но множитель в числителе (s-bg) появится в том же виде и в знаменателе. В результате этого произойдет сокращение, и указанная цепь фактически будет цепью второго порядка.

Пример 3.5-3. Активный ЛС-фильтр второго порядка с тремя реактивными элементами. Схема ПФ с тремя независимыми емкостями показана на рис. 3.5-2 [17]. Если вы!брать К=-(4Q-1), то в результате передаточная функция цепи по напряжению

VAs) -{4Q-l)s{s+l)/2Q (4Q -l)s/2Q

Vi(s) (S-f l)[si-f S(l/Q)-f 1] s2+s(l/Q) + l

(32>

Сраонивая это выражение с выражением, приведенным в (14), видим, что o) =g=l, откуда находим, что do=l и di=d2=l + l/Q. Чувствительность ко-

Рис. 3.5-2. Схема активного 7?С-фильтра второго порядка, рассмотренного в примере 3.5-3

9-С

эффициентов по отношению к коэффициенту усиления К примет тогда следующие значения: Sok=0, Sik=S2k=-(4Q-l)/4Q(Q+l). Подставляя эти значения в (18), получаем S<2x=l-1/4Q. Таким образом, чувствительность очень мала, хотя требуемый коэффициент усиления велик.

3.6. Многопараметрическая статистическая чувствительность

В предыдущем параграфе этой главы были введены различные типы чувствительности. Их можно обобщенно охарактеризовать следующим образом: все они связывают изменения, которые произошли в характеристике цепи в целом с изменением какого-то конкретного элемента цепи. В этом параграфе введем отличный от рассмотренных тип чувствительности. Это многопараметрическая чувствительность, которая формирует единственную (скалярную) меру, определяющую свойства чувствительности за-.данной цепи [18]. Она учитывает не только допуски для любого заданного элемента, но также и то, как изменения одного элемента связаны с- изменениями других элементов. Такая чувствительность носит название статистической чувствительности.

Хотя фактическое определение меры статистической чувствительности достаточно сложно, ее использование имеет ряд преимуществ. Одно из них состоит в том, что многопараметрическая чувствительность, будучи скаляром, может непосредственно использоваться в качестве критерия сходимости, если для минимизации чувствительности применяется техника машинной оптимизации. Кроме того, существует возможность реально учесть случайную природу изменения значений элементов, а также то, как допуски на различные элементы связаны между собой в результате конкретной технологии их производства. Примером этого может служить зависимость изменений номиналов сопротивлений резисторов и емкостей конденсаторов, обусловленная тем, что и те и другие элементы изготавливаются на одной и той же подложке в процессе интегральной реализации фильтра.

Прежде чем начать изучение статистической чувствительности, обозначим через ТЦа, х) обобщенную передаточную функцию цепи, где X-вектор-столбец элементов цепи Xi{i=l, 2, 3, k); кроме того, пусть Ах будет вектором-столбцом изменений номиналов цепи Ахг. Предполагается, что эти изменения являются случайными величинами с нулевым средним и известным законом распределения. Изменения функции цепи, вызванные такой вариацией номиналов элементов, можно определить как

AT = T(jco, x + Ax)-T(jco, X). (1)

При лроведении яоследующего анализа предполагаются известными элементарные сведения из теории вероятностей и математической статистики. См., например, гл. 2 и 3 в работе [19].

Используя эти величины, можно определить меру статистической чувствительности для заданной полосы частот ©i<oicog следующим образом:

М{х) = Е j

где Е - математическое ожидание. Прежде чем применить этот результат более детально к элементам цепи, определим вначале градиент Т{]а>, х) по х:

(3>

Если ограничиться при обсуждении только эффектами первого

порядка, то отношение ДГ/Г можно переписать в виде

AI = [v,rf Ах.

(4).

В общем случае более предпочтительно рассмотреть нормированные отклонения номиналов элементов, а не их абсолютные значения, как это сделано в (4). Для этого определим вектор-столбец нормированных отклонений элементов Ах и матрицу D номинальных значений элементов. Тогда

где

Axi/i

Ax = DAx,

и D =

Используя D и VxT, определим вектор столбец d как

d = Dv,T/T. (7>

Заметим, что отдельные элементы этого вектора di можно сразу классифицировать как элементы чувствительности функции цепи, введенной в § 3.2, а именно:

XI дТ

Т dxi

Подставляя (5) в (4) и используя (7), находим Т Т

Используя полученный результат в (2), имеем

М(х) = Е

J (d-f Ax)*Axddco

(10)

Этот результат можно упростить, если заметить, что Ах*=Ах, и определить

Р = £[АхАх].

(11)

Здесь Р - ковариационная матрица допусков используемых элементов размера kxk. Она предполагается известной либо на основе выборочной статистики, либо из зада-нного закона распределения. Объединяя (10) и (11), имеем

М (х) = ] (d)*Pddco.

(12)

В этой связи заметим, что если нет взаимно-корреляционных членов, то матрица ковариации диагональна, а следовательно, можно записать:

d-*Pd=2 15 \ul , (13)

где o\f

дисперсия значений элемента Xi, т. е. с2 EliAxt/Xif].

(14)

Если все дисперсии принимаются равными единице, то (13) определяет многопараметрическую чувствительность, так как она была определена Скеффлером [27, § 3.2]

На практике определение статистической чувствительности М{х), приведенное в (2), будет более целесообразным, если представить обобщенную передаточную функцию Г (jco) как

. D(s)

(15)

S=j03

s=i CO + n-i s - + ... + ais + a.

Если положить, что матрицы коэффициентов а и b имеют вид а = [а„ 1, о„ 2, ..., Й1, ОоУ; b = б^, ЬдУ, (16)

то величины di, определенные в (8), запишутся так:

s=J(o Т дТ дав

дТ дЬп , ,дТ дЬо Г Г

дТ доп-л

дао дхс.

дЬп дх{ дЬо дх{

аа 1 дхс

+ ...+

(17)

s=j(a

где

VaT = ldТ/да-г. - . дТ/дaV; щТ = [дТ/д6 ,...,дТ/дЬу.

(18а),(18б)

Для заданной передаточной функции элементы этих матриц не зависят от формы реализации или значений элементов. Если

определить далее матрицу Ci размером kx{n) и матрицу Сг размера kx (n+l), т. е.

(19)

то, используя (18) и (19), можно записать основную меру чувствительности:

M(x)=j

qPCj )dco+] 2Re х

X (JcrPc,()]*+;(JqPc,(aJ)*. ,20)

Это определение статистической многопараметрической чувствительности можно непосредственно применить к заданной реализации цепи.

Как пример использования соотношения (20) рассмотрим цепь на рис. 3.3-1. Общее выражение для передаточной функции по напряжению этой цепи имеет вид

T(s)-

KG1S1G2S2

. V2 is)

Vi is) + s [Gi Si + G2 Si + G2 S2 (l-K)] + GiSi GaS

(21)

где Gi=\IRi и Si=l/Ci (i=l, 2). Полагая, что резонансная частота нормирована и равна 1 рад/с, найдем общую форму передаточной функции цепи-

Т (S) = Fa (s)/Vi (s) = Яао/[8 -f- Oi s + Oel = /[s + (1 /Q) s +1 ]. (22)

Сравнивая (21) и (22), видим, что

GiS + GiS + GiS(l-K)=l/Q; GiSGSl. (23)

Чтобы упростить пример, рассмотрим только первый член в (20). Определяя параметры вектора х так, что x=/[Gi, G2, Si, S2K], можно записать матрицу (19) следующим образом:

G,S,

G,S, + G,S,{l-K)

GSl-K) - KG2 S2

GiSiGgSa

GSjGS

G1S1G2S2

Gi Si 022

Если теперь принять, что a=GiSi, то используя (23), можно переписать матрицу С в (24) в виде

а Г

1/Q-а 1

l/Q + (/C-l)/ 1

{1-Ю/а ~ 1

-Kja 0.

(25)

Предположим далее, что для синтеза схемы требуется Q=10 и что интересующий нас частотный диапазон определяется соотношениями

coi=l-l/Q,co2=l + l/Q- (26)

Кроме этого предположим, что нормированные вариации номиналов сопротивлений и емкостей, т. е. (AR/R) и {АС/С), а также значения коэффициента усиления {А{К/К), считаются однородно распределенными с дисперсией Ю-*. Для случая, когда вариации некоррелированы, ковариационная матрица

0 0 0 0 10 0 0

1 о

ООО

о о

0 0 0 0

10- .

(27)

Используя конструктивные значения а=0,7 и /С=1,5, находим из (20), чтоМ(х)=0,012.

В приведенном примере показано, как понятие статистической многопараметрической чувствительности, определенное в (20), можно применить к цепи, в которой допуски на значение элементов некоррелированы. Рассмотрим теперь случай, когда имеется корреляция. Такая ситуация встречается в большинстве реализаций интегральных схем активных фильтров. Одна из причин этого состоит в том, что в таких схемах температурные коэффициенты сопротивлений и емкостей обратно пропорциональны друг другу. Эти свойства уменьшают влияние допусков интеграль-ныг компонентов на произведение RC. Так как все коэффициенты функций цепи являются алгебраическими комбинациями таких iRC-произведений, то чувствительность коэффициентов, а следовательно и чувствительность функции цепи, уменьшается. Если допуски на сопротивления и емкости резисторов и конденсаторов предполагаются случайными, то в результате противоположного изменения значений этих элементов, корреляция между ними отрицательна, тогда как корреляция между элементами одного и того же типа положительна.

Как пример учета таких эффектов для реализации фильтра на рис. 3.3-1 предположим, что коэффициент корреляции допус-

ков на сопротивление и емкость равен -0,7, т. е.

где

Аналогично предположим, что коэффициент пусков как на сопротивления резисторов, так и денсаторов равен 0,7, т. е. для 1ф]

(ARilRi ДR}IR}\

= 0,7; Е

Д CjlCi А CjICj

Если считать, что дисперсия равна Ю * как сутствия корреляции, приведенного выше, и что ду допусками пассивных элементов отсутствует, риационную матрицу вида

1 0,7 -0,7 -0,7 О

0,7 1 -0,7 -0,7 О

-0,7 -0,7 1 0,7 О

-0,7 -0,7 0,7 1 О

0 0 0 0 1

можно записать (28)

(29)

корреляции дона емкость кон-

= 0,7. (30а), (306)

и для случая от-корреляция меж-то получим кова-

10-.

(31)

Для тех же расчетных параметров, что использовались в случае отсутствия корреляции, найдем, что М(х) =0,0072, т. е. произошло уменьшение чувствительности. Таким образом, видим, что статистическая многопараметрическая чувствительность учитывает много аспектов производства схем, которые нельзя было учесть, используя функции чувствительности, рассмотренные в предыдущих параграфах этой главы.

3,7. Машинный расчет чувствительности с помощью метода присоединенных цепей

На практике вычисление функции чувствительности любого типа, определенного в § 3.2-3:5, с помощью метода, предназначенного для ручного счета, может привести к трудно разрешимым вычислительным проблемам для любой цепи, кроме самой простой,- цепи второго порядка. Даже для таких цепей нахождение функций цепи с элементами, заданными в буквенном виде, является занятием утомительным, часто приводящим к ошибкам, причем трудности резко возрастают с ростом числа элементов. Нахождение частных производных создает дополнительные трудности, а вероятность ошибок еще более возрастает. Таким образом, в общем случае применение вычислительных машин дает большие преимущества. Самый простой способ осуществить это