полосы на уровне - 3 дБ также равна 1 рад/с. Фильтр имеет характеристику Баттерворта (максимально плоскую). Следовательно, частота его максимального усиления совпадает со средней частотой 1 рад/с. Графики чувствительности 5 I по отношению к изменению различных элементов приведены на рис. 3.2-5. Наличие нулевой чувствительности на средней частоте хорошо видно из графиков. Следует заметить, однако, что как только полоса пропускания такого фильтра сужается, чувствительность модуля становится выше.

-0.S

-.о

Рис. 3.2-5. Графики чувствительности s- для цепи на рис. 3.2-4

Рассмотрим, например, фильтр, аналогичный рассмотренному выше, но с другими значениями номиналов элементов: Ь2 = С^= = 10/2 и C3=L5= f/2/lO. Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра приведена на рис. 3.2-6. Средняя частота также равна 1 рад/с, но фильтр теперь стал узкополосным с шириной полосы, равной 0,1 рад/с. Графики чувствительности SI по отношению к различным элементам, показаны на рис. 3.2-7. Сравнивая эти графики с предыдущими, приведенными на рис.

(J, рад/с

Рис. 3.2-6. Амплитудно-частотная характеристика узкополосного ПФ

Рис. 3.2-7. Графики

чувствительности 5< >для узкопо-полосного ПФ

\т а

3,2 5, заметим, что масштаб по оси ординат у них различный. Из

графиков можно видеть, что, несмотря на увеличение максимального значения чувствительности на краях полосы пропускания, чувствительность на резонансной частоте осталась равной нулю.

3.3. Чувствительность коэффициентов

Б общем случае для любой активной или пассивной цепи с сосредоточенными элементами

где коэффициенты щ и bi - вещественные и зависят от элементов цепи х . Таким образом, для любого произвольного элемента цепи X можно определить чувствительности, которые по форме являются относительными и называются чувствительностями коэффициентов, например

Sli = lJL, s=. (2)

дх ai дх bi

Известно, что по форме зависимость функции цепи от любого из элементов является билинейной зависимостью. Следовательно, N{s), представленную в (1), можно записать в виде

N{s)A (s)/B (s) = lE{s)-{-xF (s)-{-xD (s)], (3)

гДе C(s), D{s), E{s) и F{s) -полиномы с вещественными коэффициентами, которые не являются функциями элемента цепи х. Это так, вне зависимости от того, что понимается под х, пассивное сопротивление или емкость, коэффициент усиления какого-то усилителя или управляемого источника и т. д.. Например, для цепи, показанной на рис. 3.2-1, используя указанные номинальные значения, можно записать

Y(s) =----- -f-

Заметим, что для того, чтобы быть уверенным в однозначности представления, мы уже использовали в некоторых таких случаях элементы, имеющие обратное значение, такие как 1/С или для переменной х. На основании свойства 3 табл. 3.1-1 это приводит лишь к изменению знака полученной в итоге чувствительности на минус.

Из-за наличия билинейной зависимости, указанной выше, существуют только два вида зависимости, связывающие коэффициент Ui (или Ьг) с элементом х. Первая из них - зависимость вида ai~:kx; в этом случае на основании свойства 2 табл. 3.1-1

,. Дсжазательство этого приведено в [13].

В случае взаимной индуктивности или постоянной гирации гиратора х фактически может быть квадратом значения данного элемента.

5я°1=1. Как пример этого, для цепи на рис. 6.2-1 из выражения (7), § 3.2 находим чувствительности, показанные в. табл. 3.3.1. Заметим, что эти значения не единственны. Например, если умножить числитель и знаменатель функции цепи на LC, то получим отличный от приведенного набор чувствительностей коэффициентов. Таким образом, для достижения единственности будем полагать, что коэффициент при старшем члене полинома в знаменателе нормируется так, чтобы быть равным единице.

Таблица 3.3-1 Чувствительность коэффициентов для функции (7), § 3.2

Вторая возможная зависимость для коэффициента Oj (или bi) - ai = ko+k\X. В этом случае S,fli = kixl {к^+к^х). В этом последнем варианте можно рассмотреть два случая: если знаки членов ко и к\Х одинаковы, то максимум чувствительности меньше, чем единица, если же они различны и их величины близки, то чувствительность может быть больше (и много больше) единицы.

Пример 3.3--1. Чувствительность коэффициентов активных RC-фильтров. Рассмотрим цепь, показанную иа рис. 3.3-1 (треугольником на ней обозначен идеальный ИНУН с коэффициентом усиления К). Передаточная функция по на-

у Рис. 3.3-1. Схема активного RC-

2 фильтра, анализируемого в примере

- З.З-1. Значения элементов даны в

~° омах, фарадах

даряжению для этой цепи (в которой в качестве переменной рассматривается тгольжо к, а Ri=Ci=l)

(s)/Fi (s) = K/ls + (S-K) s+\]. (5)

Из (1) и (2) найдем, что

s5j=-i/(3-iC); S°°=l. (6)

Чувствительность всех других коэффициентов по отношению к iC,.равна нулю. Из выражения (6) видно, что если то Sikoo. ♦

- Следует заметить, что в случае, аналогичном рассмотренному в предыдущем примере, бесконечная чувствительность не означает бесконечно большого изменения значения данного коэффициента. Скорее это результат деления на нуль (т. е. то значение коэффициента, которое он принимает, когда К-О). В указанном случае имело бы больший смысл использовать в качестве меры изменения ненормированную чувствительность коэффициентов^

дх/х

используя которую можно вычислить изменение данного коэффициента как dOiUSxt . Для приведенного выше примера

1/5 к=-К. Все случаи вычисления чувствительности коэффициентов, описанные выше, собраны в табл. 3.3-2.

Чувствительность коэффициентов, определенную в этом параграфе, легко сопоставить с функциональной чувствительностью, введенной в предыдущем параграфе, путем подстановки выражений (1), (2) в выражение (3), § 3.2. В результате получаем

> = ( 2 АIА (S)-( 2..S6, / В {S). (7)

. , \t=0 \i=0 /I

Таблица 3.3-2

Соотношения для чувствительности коэффициентов

Используя, например, выражение (7), § 3.2, получаем соотношение

,у ,s) - 1(1/Z.) s

(-1)(1/LC)-K-l)(i?/L)5

которое после упрощений согласуется с результатом, приведенным в (8), § 3.2. Часто оказывается легче получить таким способом классическую чувствительность, особенно, если есть встроенные функции алгоритмического языка программирования.

Этот (ВИЯ выражения чувствительности именуется полуотноснтельиой чувствительностью.

3.4. Ненормированная чувствительность корней

Одрн из наиболее значимых критериев, используемых для определения того, как свойства цепи изменяются при изменении некоторых элементов - определение изменений положения нулей и полюсов функций цепи, т. е. изменений корней полиномов числи-. теля и знаменателя, вызванных изменением номиналов элементов. Можно определить ненормированную (полуотносительную) чувствительность корней следующим образом:

dxjx dxlx

где Pi VI Zi - полюсы и нули заданной функции цепи. Так как оба эти типа чувствительности относятся к корням полиномов, можно более подробно остановиться только на чувствительности полюсов. Анализ чувствительности нулей аналогичен.

Пусть B{s) -полином знаменателя функции цепи iV(s). Учитывая наличие билинейной зависимости, рассмотренной в § 3.3, можно представить зависимость этого полинома от любого параметра в виде

B{s) = C{s) + xD{s), (2)

где C(s) и D(s)-полиномы с вещественными коэффициентами, которые не зависят от х. Проводя оценку (2) в любом полюсе Pi функции N(s), получаем

B(p,) = C{pd+xD(pi)Q. (3)

Чтобы определить влияние приращения л: на рг в этом равенстве, можно заменить х на х+х, а pi на рг+Арг- Используя разложение в ряд и ограничиваясь при этом членами первого порядка, можно заметить, что C(s-fAs) = С{s) + AsC{s), где C(s) = =dC(s)lds. Аналогично, D(s+ks)=D(s)+AsD(s). Подставляя этот результат в (3), получаем

C(Pi) + A Pi С {рд + (х -f Д X) [D (/7i) + ApiD {pt)\ = 0. (4)

Учитывая только члены первого порядка, это выражение можно представить в виде

Ap,/Ax=-D{Pi)/B(pi). (5)

Устремляя X к нулю, в пределе будем иметь

дх/х В'(Pi)

что и является основным соотношением для определения ненормированной чувствительности полюса. Рассмотрим пример.

При.ме.р 3.4-1. Ненормированная чувствительность полюсов активного RC-фильтра. В качестве иримера вычисления такой чувствительности рассмотрим функцию цепи, приведенную в (5), § 3.3. Полюсы этой функции

Pi = Р2 = (К- -3)/2 + j У ! - (3 -iqV4. - (7).

Из выражения (I) или (6) находим

USPt = К/2 + j [К (3 - iC)/4]/VI-(3-Ю^/4= (f/SP);

где чувствительности комплексно-сояряжеиные, так как и полюсы комплексно-сопряжённые. Далее, если номинальное значение К равно 2, то pi,z=-0,5± -tj 0,866 и f/Si>ji:= (f/Si2k)*=H-j 0,577. Используя это значение чувствительности, можно сделать вывод, что Ш%-ные изменения К (т. е. К фактически может принимать значение до 2.2) приводят к Api=0,l-bj 0,0577; т. е. полюсы сдвигаются вверх и вправо, причем изменение вещественной части почти в 2 раза больше, чем изменение мнимой части. Окончательное значение pi, полученное на основе расчета чувствительности, равно -0,4-fj 0,924. Точное значение pi легко найти, и оно равно -0,44-j 0,9165. Чем меньше изменения К, тем более точно С01впадают результаты.

Нормированная чувствительность корня эффективно определяет траекторию изменения положения корня относительно заданной его позиции в зависимости от значения конкретного элемента. Для функции цепи второго порядка такая траектория всегда будет окружностью или прямой линией. Некоторые типичные траектории для различных элементов цепи, рассмотренной в примере 3.3-1, приведены на рис. 3.4-1 (показана только верхняя половина комплексной плоскости).

R = 0

i = oe

Рис. 3.4-1. Траектория изменения положения полюсов цепи при изменении ее

тараметров:

а-i? на рис. 3.2-1; б - L на рис. 3.2-1; в -С иа рис. 3.2-1; г - К на

рис. 3.3-1.

Ненормированную чувствительность корня легко сопоставить с чувствительностью коэффициентов, введенной в § 3.3. Чтобы показать это, определим полиномы в (2) следующим образом: .

C(s) = Co + CiS-f CgS-f

D(s) = do + diS + 4s + - . (9)

Тогда полином B{s) в (2) можно записать в виде

fi = bo + &iS + &2S+... = (Co + :do) + (Ci + A:4)s + (C2 + xd2)s2-f ...

(10)

Другой формой для D{s), как легко видеть, будет

0(s) = 4

S/s + ...

(11)

Полином B{s) также легко найти, он имеет вид

В' {s) = bi + 2bs + 3bss+... (12>

Подставляя (И) и (12) в (6), получаем

п

USi =--

(13>

Определение чувствительности, данное в (6), применимо только к простым корням Б (s), так как если рг является кратным корнем, то В'{рг)=0, и, следовательно, чувствительность будет бесконечно велика. Это не означает, конечно, что следствием изменений элемента х явятся бесконечно большие изменения полюсов. Что это означает фактически, можно увидеть, если рассмотреть функцию цепи N(s) с полиномом в знаменателе вида (2), заменив X на х+Ах. После этого, решая уравнение (14), находим новые корни

C(s)-b(x + Ax)D(s) = 0. (14>

Чтобы сделать это, определим вначале функцию

G{s)xD(s)/B{s). (15>

Используя эту функцию, можно переписать (14) в виде

\+{Ax/x)Gis) = 0. (16)

Очевидно, что полюсы G(s) те же самые, что и для N{s). Следовательно, полагая, что полюсы простые, можно записать для G(s) разложение на простые дроби вида

G(s):=2]-(17)

где верхний индекс используется для того, чтобы показать, что вычет относится к полюсу, и где член /Со имеется только тогда, когда порядок D(s) тот же что и порядок B(s). Для значений s в окрестности полюса Pi доминирующим в разложении является i-й член. Таким образом, из (17) находим

l+G(s)l-=l+-=l+A- = 0, (18>

s-pi X pl

где вместо (s-pt) подставлено Api. Устремляя Ax к нулю во втором члене последнего преобразованного выражения (18), получаем

dxjx

Таким образом, вычеты G(s) равны чувствительности в полк>-сах, взятой с обратным знаком.

Рассмотрим теперь случаи, когда в точке, соответствующей pi, расположен полюс кратности k. Второй член последнего преобразованного выражения (18) примет теперь вид

...+

(A Pi)*

= 0.

И может быть далее переписан в виде

(20)

(21)

Решение этого уравнения -го порядка дает значение Api, т. е. корень кратности k расщепляется на k простых корней. Для малых значений Api находим

Др1 =

(22)

Таким образом, новые простые корни (для малых изменений х) располагаются на окружности вокруг pi на равном угловом расстоянии. Ниже приведен соответствующий пример.

Пример 3.4-2. Активный iRC-фильтр с двукратным полюсом. Как пример преобразований при наличии кратного корня, рассмотрим функцию цепи, заданную в (б), § 3.3. Для номинального значения /С=1, используя обозначения (2), имеем B(s)=s+2s+i, C(s) =s2+3s4-1 и D{s)=-s. Таким образом, существует двукратный полкх; pi=-1. Из (17) получаем

G (S) = -S/(s-f 1)2 =-1/(5-1- 1) -f 1/(S+ 1)2.

(23)

Следовательно, /C(p)i2=1 и Api=]/-Л/С. Для Д/С=0,01 получаем корни -I±j0,l, тогща как для Д/С=-0,01 корни смещаются в -0,9 и -1,1. Эти приближенные положения полюсов показаны на рис. 3.4-2. yfr

Рассуждения, аналогичные тем, что были приведены выше, справедливы и для нулей функции fjf- цепи N{s)=A{s)./B{s) с полино-11

Рис. 3.4-2. Изменение положения двукратного полюса (см. пример 3.4-2)

мом в числителе A(s)=E{s)+xF{s). Если представить (в случае простого нуля)

1=1 S-Zi

(24)

(где верхний индекс (г) используется для того, чтобы показать, что вычеты относятся к нулям), то выражение для чувствительности нулей примет вид

USli±Ii- = -K?K (25)

dxlx

Аналогично, для нуля в точке Zi кратности k получаем (для малого Дх)

V X I

где K\k - коэффициент при старшем члене в разложении для г, в H(s).

Функции G(s) и H{s), определенные выше, могут быть использованы для того, чтобы сопоставить ненормированную чувствительность корней, рассмотренную в этом параграфе, с функциональной чувствительностью, определенной в § 3.2. Используя для функции цепи общую билинейную форму, получаем

N{s) = A{s)lB{s) [E(s) + xF(s)]/[C(s)-ЬxD(s)], (26)

a используя (3), § 3.2, находим

xF{s)lA {s)-xD {s)lB {s) = Я (.)-G (s). (27)

Подставляя G(s) и H{s) из приведенных выше равенств, получаем (для простых корней)

S,>= S --1 -/СГ+ /СГ. (28)

Таким образом, мы установили, что классическую чувствительность можно представить взвешенной суммой ненормированных чувствительностей корней.

3.5. Чувствительность Q, п и нормированная чувствительность корней

При рассмотрении характеристик цепи в установившемся состоянии при гармоническом воздействии оказывается, что функции чувствительности, определенные в (4), § 3.2, слишком громоздки для широкого использования, так как они определяют характеристики цепи во всем диапазоне частот. Это действительно так в случае ПФ, когда более целесообразно использовать критерий, учитывающий резонансную, т. е. частотно-избирательную нрироду таких функций. Такими критериями являются, прежде всего, частота резонанса со , на которой располагается пик АЧХ, и относительная острота, или коэффициент качества этого пика (добротность). Последняя величина определяется как

Q<ojBW, (1)

где BW - ширина полосы, определенная как разность между частотами, на которых амплитуда функции цепи уменьшается на три децибела по отношению к ее максимальному значению на частоте сй . Для часто встречающегося случая цепей второго порядка эти две величины можно использовать для определения обобщенной полосовой функции цепи

jVM-W Hs Hs

B(s) s2--6iS + 6o s2+s(co /Q) + co2

где HQ/tOn - усиление на частоте резонанса (s=jcun). Величины, приведенные выше в выражении (2), связаны с положением полюса ро и другими величинами с помощью соотношений

2Q 2Q *

Q=pol/2cTol=Wn/2cTol=lV&i; (i>n = VK- .

Используя эти величины, можно определить чувствительности Q и (Оя:

дх/х дх/х

Очевидно, что они являются относительными. Для звеньев, второго порядка приведенные чувствительности легко оценить, используя их выражения через чувствительности коэффициентов в соответствии с (3) и формулами преобразований, приведенными в табл. 3.1.-1. В результате получаем

S = 572-5*; S>Sb2. (5>

Тогда для случая ПФ второго порядка вещественную часть функциональной чувствительности, рассмотренной в § 3.2, которая определяет чувствительность модуля функции цепи, можно-выразить через чувствительности Q и соп, причем имеют место два важных случая [14]. Первый из них соответствует резонансу ((o=tun), для которого можно показать, что

S\f (J n) 1 = Re С n) = S-S> . (6>

Второй случай соответствует частотам на уровне спада - ЗдБ здБ, которые определяют полосу пропускания:

S\f (i <-здБ) I = Re здБ)да -<3S> + (S -S> )/2. (7>

Пример 3.5.-1. Чувствительности Q к ш„ для RLC-цепи. В качестве примера -определеяня чувствительности Q и Юп с помощью табл. 3.3-1 дл