где ai, 2 -коэффициенты, характеризующие интенсивность сигналов .от производных, z(t) - выходная величина.

Линейная часть системы состоит из рулевой машинки, самолета, измерительных и сравнивающего устройств, передаточные функции которых соответственно равны

Передаточная функция линейной части системы, как видно из рис. 2.12, равна произведению передаточных функций отдельных звеньев

{р)==КЛр)Ыр)Кз{р) или, в раскрытом виде,

W (р) - Кл jrp2 + р) (р2 + - ч.-, [Т^р^-\-{Х^М + \)р + М]р^

(2.109)

Пусть автомат курса снабжен жесткой внутренней связью (пунктир на рис. 2.12), и передаточная функция этого элемента обратной связи

клр)=т,

где i - так называемое передаточное число. В этом случае передаточная функция линейной части системы будет равна

\{р) = КЛр)Шр}Кз{р)-{-КЛР)]-

В раскрытой форме

После приведения к общему знаменателю получим где обозначено

aic = a,a2c = a2-f-yj. (2.111)

По внешней форме (2.110) совпадает с передаточной функцией (2.109). Однако теперь коэффициенты а\с и гр зависят еще и От t, М, N.

Предположим, что момент m(t), приложенный к самолету во- Руг вертикальной оси и отнесенный к моменту инерции, равен 0 (см. рис. 2.12) (отщ - постоянная величина). Изображение

его будет равно

. Изображение этого внешнего воздей-

ствия, приведенного ко входу релейного элемента, будет равно

КЛр)Ыр).

уравнение рассматриваемой системы относительно управляющего сигнала будет иметь вид

(2.112)

4. Система регулирования числа оборотов. Рассмотрим систему регулирования числа оборотов двигателя без самовыравнивания регулятором непрямого действия с сервомотором постоянной скорости*). Это обычно имеет место, если высота окон золотника весьма мала и перемещение его уже при небольших отклонениях регулируемой величины от заданного значения полностью открывает окна.

Линейная часть

Рис. 2.13. функциональная схема системы регулирования числа оборотов двигателя.

Уравнения этой системы (функциональная схема которой приведена на рис. 2.13) в безразмерных величинах имеют, как известно, вид:

уравнение регулируемого двигателя

Гаф(0 = [(0,

уравнение измерительного устройства

г,()=,

*) См., например, М. Холле [1].

уравнение золотника уравнение сервомотора

Здесь ф(0-относительное отклонение регулируемой величины, д.(/ относительное смещение золотника (управляющий сигнал), у{)-управляющее воздействие, р.(/)-относительное смещение сервомотора - регулирующего органа. Га - время разгона двигателя, б - коэффициент неравномерности измерительного устройства. Тс - время разгона сервомотора. Передаточные функции элементов системы соответственно равны: сервомотора

двигателя

/С2(р) = у^. измерительного устройства

элемента обратной связи : -

/С4(р)=1.

Передаточная функция линейной части сисгемы будет равна

W (Р) = Ki (р) [К2 (р) Кг (р) + Ki (р)].

После постановки значений передаточных функций отдельных звеньев получим

(p) = Vt + 1 (2.113)

1 -f бГаР

Предположим, что в начальный момент = О произошло изменение нагрузки, так что р, = -цо при / = О (см. рис. 2.13).

Изображение этой величины равно (р) = -

Р

Изображение внешнего воздействия, приведенного ко входу релейного элемента, будет иметь вид

- Fi ip) К2 (р) Кг (р) = . (2.114)

и, Следовательно, уравнение относительно входной величины зо- отника (управляющего сигнала x{i)), будет иметь вид

Х{Р)= + L {ф (X it); о)}. (2.115)

Во всех этих примерах характеристика 0{x{t);a) релейного элемента имеет одну из форм, приведенных в табл. 2.1.

5. Вибрационный регулятор напряжения. Найдем уравнение простейшего вибрационного регулятора напряжения (см. рис. 1.5). Функциональная схема этой системы приведена на рис. 2.14.

Уравнения отдельных элементов будут:

уравнение генератора

TMt) + u{t) = k,y{t).

где u{t)-напряжение генератора, г/( - управляющее воздействие, 7V - постоянная времени, kj. - коэффициент усиления.

z(tl

Ki(p) K,ip)

Линейная часть

Рис. 2.14. Функциональная схема вибрационного регулятора напрягиения

Управляющее воздействие y{t) представляет собой проводимость обмотки возбуждения генератора, которая изменяется

скачком в зависимости от перемещения х подвижной механической системы. Зависимость у от X показана на рис. 2.15. Уравнение соленоида измерителя

Утп

+ i{t)k,u,{t).

Рнс. 2.15. Зависимость управляющего воздействия (проводимости) От перемещения подвижной механической системы.

где i - ток в цепи соленоида, о(0-на-пряжение на обмотках соленоида, равное напряжению генератора; Ги - постоянная времени, К - коэффициент усиления Уравнение подвижной механической системы

z{t)2bz{t) + alz{t) = kj{t).

где z{t) - смещение подвижной системы, б - коэффициент затухания, (Оо - собственная частота, ku - коэффициент усиления; уравнение релейного элемента

/(/) = Ф(х(/);а) + /о.

Характеристика релейного элемента в этом случае несимме трична (см. рис. 2.15).

Величина уо, очевидно, равна

Уо - --2-

где f/max И Упап - максимальная и минимальная величины проводимости.

Передаточные функции элементов линейной части системы, состоящей из генератора, соленоида и подвижной системы, будут соответственно равны

Передаточная функция линейной части системы равна произведению передаточной функции ее элементов:

или б развернутой форме:

W{p) =--V---~г, (2.116)

Пусть внешним воздействием f{t) является настройка регулятора, т. е. внешнее воздействие приложено ко входу релейного элемента. Обозначая изображение f(t) через F{p), запишем уравнение системы относительно x(t) в виде

X{p) = F{p)---51{Ф(л:(0; о)}, (2.117)

(Г,р+1)(Г„р+1)(р2+2бр + со2о)

или относительно изображения величины z(t) =f{t) -x(t)

Z (P) =--2v - (Ф (f (0 - 2 (ty, a)}. (2.118)

(V+I)(r p+l)(p + 2 6p + (o2)

Выше мы рассмотрели несколько типовых релейных автоматических систем и составили уравнения, описывающие процессы, которые протекают в них.

6. Электрический привод. В ряде случаев уравнения (2.89), (2.91) описывают процессы в системах, в которых релейный элемент как таковой отсутствует, но характеристика, подобная характеристике релейно'го элемента, создается, например, из-за Наличия сухого трения. При некоторых условиях, обеспечивающих отсутствие движений с остановками, развиваемая далее теория охватывает широкий класс динамических систем с сухим . Рением, так как уравнения этих последних приводятся к

уравнениям релейных систем. Эти условия сводятся к тому, что бы при прохождении скорости через нуль движущий момент был больше момента сухого трения по абсолютной величине*).

Рассмотрим электрический привод, движущий момент которого изменяется по некоторому закону fi (t) при наличии сухого трения.

Уравнение движения электрического привода при учете сухого трения имеет вид

/Иf(0 + /Of(0 + Ф(cOf(0) = fl(0.

где £0/(0 - угловая скорость, fi(t) - движущий момент, / - приведенный момент инерции, г - коэффициент вязкого демпфирования, Ф(£0/) - момент сухого трения.

Характеристика, определяющая зависимость момента сухого трения от угловой скорости ю/, при ai имеет тот же вид, что и характеристика релейного элемента без зоны нечувствительно- сти и гистерезиса (характеристика 1 табл. 2.1), т.е.

Ф ((Of) = тр sign COf при (Of =7 0.

При (О/ = О возможны два случая, соответствующих

Ш)\<К, (2. И 9)

lf.(Ol>V (2-120)

В первом случае (2.119) будет иметь место остановка движения электрического привода (со/ = 0), во время которой момент трения изменяется в интервале (- тр, + тр). Эта остановка будет продолжаться до тех пор, пока движущий момент не превзойдет величины тр- Такое движение называется движением с ограниченной подвижностью. Этот тип движения является, спе цифичным для систем с сухим трением.

Во втором случае (2.120) скорость электрического привода со/ пройдет нулевое значение, и движение его будет продолжаться без остановки, как и в релейной системе.

Именно этот случай далее всегда и рассматривается.

Вводя электромеханическую постоянную времени двигателя Ти - Ui и обозначая дв - 1/г, перепишем уравнение электропривода в виде

7>f (О+fi)f (О=it) ~ Ф (cof т-

Это уравнение можно рассматривать как уравнение некоторой релейной автоматической системы, схема которой изобра-

*) См., например, Р. Фрезер, В. Дункан, А. Коллар (1].

жена на рис. 2.16, а. Линейная часть этой системы имеет передаточную функцию

(2.121)

соответствующую электрическому приводу без сухого трения. Ко входу этой системы (рис. 2.16, а) приложено внешнее воздейст-

вие fi(0. изображение которого равно Fi (р).

Переходя к изображениям, получаем искомое уравнение

(2.122)

F,lp)Wfp)

Пересчитав \\(t) ко ВХО- Рис. 2.i6. схемы релейной системы, эквива-ДУ релейного элемента, мы ентные электричес мупр.шоду при наличии

получим схему рис. 2.16,6.

Изображение внешнего воздействия, приведенного ко входу релейного элемента, равно

Р {Р) = 1фт = (0}. (2.123)

Уравнение относительно Q(p) (см. рис. 2.16,6) примет вид

iP)= rj+i {Ф(fit)-com. (2.124)

Очевидно, что

Qf{p) = F(p)-Q{p); C0f(0 = f(0- )(0. (2.125)

Как следует из изложенного, составление уравнения релейной системы сводится в конечном итоге к определению передаточной функции линейной части системы и пересчету внешнего воздействия ко входу релейного элемента.

Глава Ш

ПРОЦЕССЫ В РЕЛЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ

СИСТЕМАХ

§ 3.1. Особенности релейных систем

Как уже было установлено выше, из-за специфической ocov бенности релейного элемента линейная часть системы подвержена воздействию прямоугольных импульсов постоянной высоты, знак, длительность и относительное расположение которых зависят как от внешнего воздействия, так и от состояния линейной части системы.

Благодаря этому исследование релейной автоматической системы в конечном итоге сводится к исследованию поведения линейной части системы при воздействии на нее указанных импульсов.

С этой точки зрения релейные системы являются наиболее просты.м классом нелинейных систем.

В общем случае параметры импульсов зависят от управляющего сигнала и пороговых значений релейного элемента.

Управляющее воздействие, приложенное к линейной части системы, можно представить в виде суммы воздействий простейшего вида.

На основании принципа наложения реакция линейной части системы на любое число воздействий найдется простым суммированием реакций системы на каждое воздействие порознь. Принцип наложения является основой методов построения как переходных, так и установившихся процессов.

В переходном процессе линейная часть системы подвержена воздействию вида импульсов или скачков в последовательные моменты времени, определяемые управляющим сигналом и пороговыми значениями. Следовательно, переходный процесс может быть найден путем надлежащего суммирования реакций линейной части системы на эти простейшие воздействия*).

В установившемся периодическом процессе как управляющий сигнал, так и управляющее воздействие будут периодическими функциями времени, которые можно представить либо в виде периодически повторяющейся последовательности йм-

*) См. А. М. Э ф р о с [1]. Д. К а н [1].

пульсов, либо в виде суммы гармонических составляющих, т.е. ряда Фурье.

Следовательно, установившийся периодический процесс можно найти путем суммирования реакции линейной части системы на эти простейшие составляющие (при выполнении некоторых дополнительных условий).

Это простое соображение сводит рассмотрение существенно нелинейной системы, каковой является релейная автоматическая система, к рассмотрению внешнего импульсного воздействия на линейную часть системы.

Как переходные, так и установившиеся процессы в релейных системах описываются уравнением, которое, как было показано в гл. II (2.98), может быть записано в виде

Z (р) = Г (р) L {Ф (/ (О - Z (0; or)}. (3.1)

Здесь Ф(-)-характеристика релейного элемента (см. табл.2.1).

В настоящей главе излагаются методы построения переходных процессов в релейных системах и выясняются режимы их работы.

Далее для определенности будем всегда предполагать, что управляющий сигнал x{t) -f{t) -z{t) проходит впервые пороговое значение (например, при t = ti), уменьшаясь, т.е.

(/,)<0.

Это предположение нисколько не ограничивает общности рассмотрения. Оно связано с выбором знака неравенства так называемого условия надлежащего направления переключения. Если управляющий сигнал x{t) =f{t) -z{t) проходит впервые пороговое значение (например, при t = ti), увеличиваясь, т.е. л:(0>0, то нужно лишь в указанных ниже условиях заменить знак неравенства на обратный.

§ 3.2 Переходные процессы в релейных системах

Рассмотрим вначале релейную автоматическую систему без Зоны нечувствительности и без гистерезиса.

Процессы в ней описываются уравнением (3.1), где характеристика релейного элемента Ф (х; о) имеет вид, приведенный на рис. 3.1, а. Пороговые значения в этом случае равны нулю.

Если управляющий сигнал

x{t)=-f{t)-z{t) (3.2)

является функцией времени, то управляющее воздействие y{t) = = Ф(х(0) представит собой последовательность прямоугольных импульсов, знак которых изменяется при прохождении x{t)

через пороговые значения, т. е. при изменении знака x(t) (рис. 3.1,6).

Обозначим через ti, t2, h, ... пока еще неизвестные моменты времени, в которые управляющий сигнал проходит через

пороговые значения, т. е. в данном случае меняет знак (рис. 3.1,6).

Эти моменты времени 4, которые мы будем называть моментами переключения, являются корнями уравнения

x{tk)==G, (3.3) к

или, на основании (3.2),- корнями уравнения

f(tk) = z{h). (3.4).

Кроме того, как видно из рис. 3.1,6, моменты пере-

Рис. 3.1. Характеристика релейного элемента без зоны нечувствительности и гистерезис {а), управляющий сигнал х {t) и управляющее воздействие у {t) (б).

ключения должны еще удовлетворять условию

i ( (-!)> о

или, на основании (3.2),- условию

i{tk){-\f>z(h){-\f.

(3.5)

(3.6)

При переходе от предыдущего момента переключения к последующему знак неравенств изменяется на противоположный. Если k четное, то в (3.5) и (3.6) (- l) можно сократить. При k нечетном знак неравенства при сокращении на (- l) меняется на обратный.

Условия (3.3) и (3.5) зависят как от вида внешнего воздействия, так и от состояния системы, и предполагают, что x(t\)<. 0.

Назовем условие (3.3), определяющее моменты переключения, условием надлежащих моментов переключений, а условие (3.5) - условием надлежащих направлений переключений.

Между двумя соседними моментами переключения tu, tk+i управляющее воздействие постоянно (см. рис. 3.1,6).

Изображение импульса высоты (-l)fep длительности tk+1 - tk и начинающегося в момент 4, как известно, равно*)

( 1)=(,-Р'. ,-Р'.Н-.).

*) См. Приложение 1, теорема 4.