ТАБЛИЦА 2.1 (продолжение)

у=Ф i,x, о)

г/ = Фб(х,0) =

Х>Чо,

0 = г/, = kp,

- Яио < х< Яко, - Яо < - Яко.

0 = 4/1=0,

f - Ко < < Я о.

ко \ 0=г/, = -ftp,

JCl < -Ио-

о

л

i/ = Фе(х, 0) ==

л: > Яхо, Яко > > Ко,

0 = signx= I,

у,о^х< Ако,

0 = sign i = -I, - Ко<л;<Ко, - Яко < -к < - ><о.

0 = sign*:= 1,

- Яко < л: < - Ко. 0 = sign х = --\, x<-Xy,Q.

Уравнения релейных элементов с несимметричными характеристиками (см. рис. 1.43) могут быть получены простым преобразованием переменных и изменением одного из коэффициентов fep на р, ф kp. В общем случае уравнение релейного элемента с несимметричной характеристикой запишется в виде

У = Уо + Ф(х - Хо; а).

(2.90)

где уо и Хо характеризуют смещение характеристик, приведенных в табл. 2.1, вдоль осей ординат и абсцисс.

Характерная и существенная особенность релейного элемента состоит в том, что выходная величина его (управляющее воздействие) изменяется скачком всякий раз, когда входная величина (управляющий сигнал) проходит пороговые значения. Таким образом, выходная величина по абсолютному значению постоянна и равна ± kp (либо равна нулю) при симметричных характеристиках релейного элемента или изменяется от уо -f- kp до уо - р, (либо равна уо) при несимметричных характеристиках релейного Элемента.

Далее, говоря о релейных элементах, мы будем иметь в виду релейные элементы с симметричными характеристиками, если не оговорено противное.

Если ко входу релейного элемента приложена некоторая знакопеременная величина, превышающая в некоторые моменты времени пороговые значения, то выходная величина его представляет собой последовательность импульсов постоянной высоты kp, чередующейся полярности, различной длительности и интервала повторения, зависящих от характера входной величины и пороговых значений. Благодаря этим специфическим особенностям форма выходной величины релейного элемента, т. е. форма управляющего воздействия в релейных автоматических системах, заранее предопределена.

Далее нам понадобится уравнение релейного элемента относительно изображений. Оно, очевидно, согласно (2.89) будет иметь вид

L{y{t)} = L{0{x{t);o))

или ♦

У(р) = 1{Ф(х(0; а)}, (2.91)

где Ф [х; а) определяется выражениями, приведенными в табл. 2.1.

§ 2.4. Уравнения релейных систем

Для исследования релейных автоматических систем удобно привести их функциональную схему к простейшему виду (рис. 2.8). Здесь внешнее воздействие приложено ко входу релейного элемента. Это не является ограничением, так как, где бы

Ffp)

Рис. 2.8. Простейший вид структурной с.\е.чы релейной автоматической системы.

НИ были приложены внешние воздействия, их всегда можно привести к выходу линейной части системы, а значит, и ко входу релейного элемента.

Для простейшей схемы (см. рис. 2.8) уравнения составляющих ее элементов имеют вид

уравнение линейной части (2.31):

Z(p) = U7(p)K(p), (2.92)

уравнение релейного элемента (2.89): К(р) = 1{Ф(х(0; а)}.

и наконец, уравнение замыкания системы:

xit) = fit)~z{t), (2.93)

или, в изображениях:

Xip) = F{p)-Z{p). (2.94)

Уравнение (2.94) определяет изображение управляющего сигнала через изображения внешнего воздействия и выходной величины линейной части системы.

Исключая из уравнений величины Y(p) и Z{p), находим уравнение замкнутой релейной автоматической системы в виде

X{p) = Fip)-W{p)L{0{x(t);a)}, . (2.95)

или, в более однородной форме,

L [X (/)} = L[f (/)} -W{p)L {Ф {X if); а)}, (2.96)

где приняты обычные обозначения

X{p)L{x{f)}, F(p) = L[f{t)}. (2.97)

Если нас интересует не управляющий сигнал, а выходная величина линейной части системы z{t), то, воспользовавшись соотношениями (2.93) и (2.94) и уравнением (2.95), получим уравнение относительно изображений интересующей нас величины:

L [Z т ==W{p)L {Ф {f it) - z (t); a)]. (2.98)

Заметим, что, если определена тем или иным образом величина х{() или z{t), а значит, и y(t) =Ф(х(1); о), то не представляет труда на основании известных соотношений теории линейных цепей найти любую величину, характеризующую состояние линейной части системы.

Предположим теперь, что помимо внешнего воздействия f{t), к линейной части системы приложено некоторое дополнительное внешнее воздействие fi{t), изображение которого равно Fi{p) (рис. 2.9,а). Тогда, обозначая через Wf{p) передаточную функцию, связывающую изображение выходной величины линейной части системы и Fi{p), находим изображение внешнего воздействия, приведенного к выходу линейной части системы в виде (Р)Л(р)- Следовательно, эту систему с дополнительным внешним воздействием можно рассматривать как систему вида рис. 2.9, б, в которой изображение внешнего воздействия, приложенного ко входу релейного элемента, равно F{p) - Wj{p)Fi{p). Если бы F{p) было равно нулю, то изображением внешнего воздействия, приложенного ко входу релейного элемента, являлось бы W}ip)Fi{p),

Отметим, что прежняя искомая величина Z/(p) (см. рис. 2.9, а) находится простым прибавлением к Z{p) величины Wfip)Fap).

F(p) Х(р)

\F,(P)

Zf(p)

m=F(p]- Wf(p)F(p]-I(p!

Z(P) Wf(p)F,(p)

I(p)+Wf(p)F(p]

Рис. 2.9. Пересчет внешнего воздействия ко входу релейного элемента.

Наряду с уравнениями относительно изображений (2.95), (2.98) релейную автоматическую систему можно описывать уравнениями относительно оригиналов. Из (2.92) на основании теоремы свертывания имеем

z{t)= \w{t~x)y (г) dx. (2.99)

Учитывая еще уравнение релейного элемента (2.89) и уравнение замыкания системы (2.93), получаем (после исключения промежуточных переменных y{t) и z{t) или x{t)) уравнение относи-

тельно управляющего сигнала

x{t)-f (t) - w{t - x)(T) (х (т), а) dx.

(2.100)

о

или уравнение относительно выходной величины линейной части системы

z{t) = j w{t - x)0{f{x) - z{xy, a)dx.

(2.101)

Уравнения относительно изображений (2.95), (2.98) и уравнения относительно оригиналов (2.100), (2.101) являются общими уравнениями релейной автоматической системы. Эти уравнения не могут быть разрешены в явном виде относительно Х{р), Z{p),-либо x{t), z{t), поскольку эти последние функции входят в качестве аргументов нелинейной функции Ф(-). характеризующей

релейный элемент. Поэтому уравнения релейных автоматических систем являются нелинейными уравнениями.

Далее мы в основном будем оперировать с уравнениями релейных автоматических систем относительно изображений. Их просто составлять. На их основе удобно определять процессы в релейных автоматических системах. Уравнения же относительно оригиналов, представляющие собой нелинейные интегральные уравнения, мы используем при установлении критериев устойчивости в целом для релейных автоматических систем и при построении переходных процессов.

§ 2.5. Примеры

Настоящий параграф посвящен составлению уравнений некоторых конкретных релейных автоматических систем.

Далее предполагается, что уравнения отдельных типовых линейных или линеаризованных элементов, входящих в эти системы, а значит, и передаточные функции их читателю известны.

Все уравнения релейных автоматических систем составляются относительно отклонений от величин, определяющих некоторое равновесное состояние системы, как это принято в теории автоматического управления.

Благодаря этому мы можем далее рассматривать измерительное, сравнивающее и задающее устройства как один элемент, выходной величиной которого является упомянутое отклонение и который для краткости назовем измерительным.

1. Система автоматического регулирования температуры. Рассмотрим систему автоматического регулирования температуры с упругой внутренней связью, изображенную, например, на рис. 1.2, а.

fit) xit)

I----

Исп. устр.

flit)

H.ip)

Ktp)

Линейная часть

Рис. 2.10. Функциональная схема системы автоматического регулнровааня температуры.

Функциональная схема этой системы приведена на рис. 2.10. Линейная часть системы состоит из исполнительного двигателя, регулируемого объекта, измерительного и сравнивающего устройств и внутренней связи.

Уравнения элементов линейной части системы соответственно будут иметь такой вид:

уравнение исполнительного устройства

где jx(/) - координата сервомотора, y{t) - управляющее воздействие, Гс -время сервомотора;

уравнение регулируемого объекта

г„ё(о + е(0-1х(/),

где 6 (О - изменение температуры. Та - постоянная времени объекта.

При рассмотрении регулируемого объекта как элемента с распределенными параметрами эти уравнения заменяются уравнениями в частных производных, подобными тем, о которых П1ла речь в § 2.1.

Уравнение измерительного устройства:

Г„м(0 + (0 = М(0, ,

где u{t) -отклонение измеренной величины от заданного значения, Ти - постоянная времени, - коэффициент усиления. Уравнение упругой внутренней связи:

где т) (/) - отклонение величины внутренней связи, Гу - постоянная упругой внутренней связи, р - коэффициент упругой внутренней связи.

Входная величина релейного элемента равна

-x{t) = u{t) + nit).

Передаточные функции рассмотренных элементов будут соответственно равны:

исполнительного устройства

/С,(Р) = . . регулируемого объекта

а при рассмотрении объекта как элемента с распределенными постоянными в соответствии с (2.24):

измерительного устройства:

Кз{р)== упругой внутренней связи:

Передаточная функция линейной части системы, как это видно на рис. 2.10, будет равна

W (р) = Кг (Р) [К2 (Р) Кг (Р) + К, (Р)].

После подстановки значений передаточных функций элементов передаточную функцию линейной системы W{p) можно представить в виде

(2.102)

При рассмотрении регулируемого объекта как элемента с распределенными параметрами получим

ТуР+\\

(2.102)

Пусть внешнее воздействие f\(i) приложено ко входу регулируемого объекта; тогда, обозначая изображение его через Л(р), найдем изображение воздействия, приложенного ко входу релейного элемента:

Fip) = -К2(Р)KsiP)Fip) = - (Т^р+,пт.р + Ц -()

или при рассмотрении объекта как элемента с распределенными параметрами

Следовательно, уравнение релейной системы относительно изображения входной величины релейного элемента x{t) будет иметь вид

ГсР L (?-аР + 1) (Г„р +1) Гур + 1 J

L[0{x{t);a)} (2.103)

в первом случае, или

ТиР + 1

во втором случае.

В этих уравнениях характеристика релейного элемента Ф{х;о) определяется одной из строк табл. 2.1 в зависимости от конкретных условий.

Если в уравнениях (2.102) или (2.102) положить Ту - оо, го

слагаемое Y р + i заменяется постоянной величиной р, не зависящей от р, и полученные таким образом уравнения будут соответствовать системе автоматического регулирования температуры с жесткой внутренней связью (см. рис. 1.2,6).

Аналогичные уравнения (если Гу оо) мы получим для системы автоматического регулирования температуры пара (см. рис. 1.3). В э^ом случае функциональная схема будет отличаться лишь включением внутренней связи (пунктир на рис. 2.10). Уравнения и передаточные функции исполнительного устройства, регулируемого объекта и измерительного устройства по форме останутся прежними.

Уравнение же внутренней связи (теперь не упругой, а замедленной) будет иметь вид

7зТ1(0 + 11(0 = Рзг/(0-Ему соответствует передаточная функция

Передаточная функция линейной части системы (см. рис. 2.10), если принять во внимание включение внутренней связи, показанное пунктиром, теперь будет равна

W (Р) = /(, (Р) К2 (Р) Кз (Р) + К. (Р).

Подставляя значения передаточных функций К\{р), Kiip) Кз{р), приведенные ранее, и Кл{р) для замедленной внутренней связи, после очевидного преобразования получим

(ТгР + 1) (7 иР + 1) Т^Р+1

Сопоставляя это выражение с (2.102), заключаем, что они тождественны, если в (2.102) положить:

Гу-Гз и р = рз. (2.105)

Поэтому при указанном выооре параметров рассмотренной выше упругой внутренней связи она будет эквивалентна замедленной внутренней связи.

Далее мы это будем иметь в виду, рассматривая одну из этих схем систем автомагического регулирования.

2. Следящая система. Для релейной следящей системы (см. рис. 1.24) функциональная схема приведена на рис. 2.11. Линейная часть включает в себя двигатель, редуктор и безынерционное измерительное устройство.

z(t)

Рис. 2.11. Функциональная схема следящей сисгемы.

; Уравнение двигателя с редуктором можно представить в виде

ГяГмё (/) -f Гмё (/) -f ё (О = (0.

где 6(0-угол поворота отрабатывающей оси, y{i)-напряжение, питающее двигатель (управляющее воздействие y{t)), Тп - постоянная времени якорной цепи, Тщ. - электромеханическая постоянная времени, дв - коэффициент усиления двигателя и редуктора.

Передаточная функция двигателя будет равна

ТяТгр' +ТмР' + Р

Передаточная функция измерительного устройства равна постоянной величине

Передаточная функция линейной части системы равна произведению

W (р) = Кг (р) К2 (Р) = 741W7 (2-106) где = /гдв^и.

В рассматриваемом случае к следящей системе, как это видно из рис. 1.24 и рис. 2.11, приложено два во.здействия: задающее /i(0 и гармоническое воздействие /д(0, создающее линеаризацию релейной системы. Уравнение следящей системы относительно изображения входной величины релейного элемента x{t) запишется в виде

(Р) = Fr ip) + P. iP) - т,Т^р. + p (Ф <)) (2.107)

При учете запаздывания в срабатывании реле (которое иногда можно оценить, вводя в схему элемент запаздывания) уравнение (2.107) примет вид

X (р) = F, (р) + (р) - г„т р4Ъ^ + Р

3. Система автоматической стабилизации курса самолета.

Рассмотрим систему автоматической стабилизации курса самолета, подобную изображенной на рис. 1.32. Функциональная схема ее приведена на рис. 2.12.

Исп. утр.

jj.lt} -Г

J)-Самолет

fit)

Линейная часть

Рис. 2.12. Функциональная схема системы автоматической стабилизации курса самолета.

.Здесь измерительные устройства создают сигналы, пропорциональные углу отклонения самолета от курса, его первой и второй производной. Сумма этих сигналов поступает на реле, управляющее рулевой машиной, которая с постоянной скоростью перемещает руль самолета. Уравнения элементов системы будут иметь следующий вид:

уравнение рулевой машинки (электродвигателя) и редуктора

где \ji{t) - координата сервомотора - угол поворота руля, y{t) - управляющее воздействие релейного элемента; Тш - электромеханическая постоянная времени, k\ - коэффициент усиления;

уравнение нейтрального самолета

Ф(/) + УWф(/) = iVx(o.

где ср(0-отклонение от курса, М - коэффициент аэродинамического демпфирования. Л/ - коэффициент аэродинамической эффективности руля;

уравнение идеального измерительного (и суммирующесо) устройства

г(0 = Ф(0 + а1ф(0 + а2Ч'(0,