где а, b, с, k - постоянные величины, определяемые параметрами элемента, z{t) -его выходная величина, f{t) -внешнее воздействие, приложенное ко входу элемента. Для полного описания состояния элемента (2.1) нужно учесть начальные условия, т.е. значения z{t) м z{t) в начальный момент времени t = Q, г именно, 2(0) = го и 2(0) = го.

Согласно теории преобразования Лапласа *) величины

L{z{t)}==\ e~ptz{t)dt, L[l{t)}= \ e-Ptf{t)dt (2.2) о 6

называются изображениями соответствующих функций - оригиналов z{t) и f(0-

Эти изображения являются функциями параметра преобразования р. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, изображение часто обозначают следующим образом:

Z{p) = L{z{t)}, F{p) = L{f{t)}.

На основании теоремы о дифференцировании оригиналов **) нетрудно найти изображения первой и второй производных z{t):

L{zit)}= e~P*z{t)dt = pZ{p)-z{Q),

L {z {t)} = e-Pz{t)dt = p4{p) - pz(<d) - 2(0).

(2.3)

Если умножить обе части уравнения (2.1) на е- и проинтегрировать по в пределах от О до сю, то на основании соотношений (2.2) и (2.3) мы перейдем от уравнения относительно оригиналов z(t) и f{t) к уравнению относительно изображений

{ар- + bp + c}Z (р) = kF (р) + йр2о + а2о + bz.

Это линейное алгебраическое уравнение позволяет найти в явной форме изображение Z{p) в виде

2 [Р) = -ар + ьр + с { (Р) + i (Р^о + о) + bz,]}. (2.4) Введем обозначения:

ар + 6р + с

(2.5)

{р) = X (pzn + го) -f bz\.

(2.6)

*) Необходимые сведения из теории преобразования Лапласа приведены Е помещенном в конце книги Приложении 1. **) См. Приложение 1 (теорема 2).

Тогда уравнение элемента относительно изображений (2.4) можно записать в такой форме:

Zip) = K{p){F{p) + FAp)}. (2.7)

В том частном, но наиболее распространенном случае, когда начальные условия равны нулю, т. е. Zo = Zo = О, из (2.6) следует, что Fu{p) = 0 и уравнение (2.7) приводится к более простому виду:

Zip) = K{p)Fip). (2.8)

Величина К{р), зависящая исключительно от параметров рассматриваемого элемента, называется передаточной функцией.

Уравнения (2.7) и (2.8) в силу линейности элемента справедливы как для полных значений внешнего воздействия и выходной величины, так и для отклонений этих величин от некоторых из установившихся значений *).

В теории управления чаще всего наибольший интерес представляют именно эти отклонения.

Как следует из уравнений (2.7) и (2.8), передаточная функция может быть определена как отношение изображений выходной величины Z{p) к изображению внешних воздействий F{p) + 4-/н(р) или F{p), где F{p)-изображение входной величины, а Fji(p) учитывает начальные условия.

Запись Fh(p) в указанной форме (2.6) позволяет рассматривать начальные условия в виде эквивалентного импульсивного воздействия fuit), приложенного ко входу элемента вместе cf{t).

Действительно, так как изображению 1 соответствует импульсивная функция 6(0, а изображению р - производная от импульсивной функции b{t) или, как еще говорят, импульсивная функция первого порядка **), то эквивалентное воздействие /н(0 можно представить при помощи этих импульсивных функций или, как их называют, дельта-функций, в виде

t б() + б(0. (2.9)

Следует, однако, подчеркнуть, что в то время как изображение F{p) внешнего воздействия f{t) не зависит от параметров Здемента, изображение н(р) воздействия fn{t), связанного с начальными условиями, как это видно из (2.6) и (2.9), существенно зависит от параметров элемента.

*) Если же элемент нелинеен и имеет непрерывную нелинейную характеристику, .то подобные уравнения могут быть составлены лишь относительно достаточно малых отклонений.

**) Об импульсивных функциях см. Приложение 3.

в соответствии с уравнениями (2.7) и (2.8) будем изображать элемент, характеризующийся передаточной функцией К{р), условно, как показано на рис. 2.1, а, б. Стрелки указывают направление'прохождения воздействия, а символ ® - алгебраическое суммирование воздей-

Zip)

lip)

Рис. 2.1. Обозначение элемента лниеииой части: с) -при одном воздействии, б) -при двух воздействиях.

Зачерненный сектор в этом символе означает, что приложенное к этому сектору воздействие вычитается из воздействий, приложенных к незачер-ненным секторам.

Формально передаточную функцию элемента можно найти по уравнению элемента, заменив в нем символ дифференцирования соответствующей степенью р и разделив образовавшийся таким образом многочлен в правой части уравнения на многочлен -в левой части.

Если элемент содержит только сосредоточенные параметры и, значит, описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением, то, как мы уже видели выше, передаточная функция представляет собой отношение многочленов от р. Если же элемент содержит запаздывание или распределенные параметры, т. е. описывается дифференциально-разностным уравнением или уравнением в частных производных, то в этом случае передаточная функция представит собой трансцендентную функцию от р.

В качестве примера рассмотрим схему электрической линии с распределенными параметрами: сопротивлением R, индуктивностью L, емкостью С и проводимостью G на едини-

Рис. 2.2. Схема электрической линии (к выводу передаточной функции элемента с распределенными параметрами).

цу длины (рис. 2.2). Она может служить моделью многих объектов с распределенными параметрами.

Уравнения этой линии, как следует из рис. 2.2, могут быть представлены в виде

-f;?/(x,) + L = o,

(2.10)

Здесь X - длина, отсчитываемая от начала линии, u{x,t) - Напряжение, i{x,t)-ток в линии; последние зависят от двух

переменных: времени t и пространственной координаты х. Придавая нулевые значения R, L, С, G в уравнениях (2.10)можно получить различные частные случаи. Например, если = G = О, то уравнения (2.10) приводятся к волновому уравнению:

д^и (х, t) J дЧ (х, t) /9 1 п

Если же L = G = О, то уравнения (2.10) приводятся к уравнению теплопроводности:

duljdu (2.12)

и т. д.

Обозначим через U(x,p) и 1{х,р) изображения напряжения и {х, t) и тока i (х, t) соответственно.

Для простоты предположим, что начальные значения i и и равны нулю, т. е. i{x,Qi) = u{x,Qi) = Отметим, что учет ненуле- вых начальных значений не представил бы труда.

Тогда, применяя к уравнениям (2.10) преобразование Лапласа, получим

l- + {R + Lp)I{x, p)==G, (2.13)

ilS + {G-Cp)U{x, р) = 0. (2.14)

Дифференцируя уравнение (2.13) по л; и подставляя в него из уравнения (2.14), получим уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно изображения напряжения в произвольной точке х:

ai - + + Р) Р' - 0. (2.15)

Уравнение относительно изображения тока имеет точно такой же вид.

Решение уравнения (2.15) может быть представлено в форме

и {х, р) а, (р) е-- + 2 {р) е'\ (2.16)

Здесь

r=]/(/? + Lp)(G + Cp) (2.17)

- так называемый коэффициент распространения, а а\{р) и aip)-величины, определяемые на основании граничных условий.

Пусть в начале линии (см. рис. 2.2) включен источник напряжения e{t), изображение которого равно Е{р). Обозначим через 2н(р) передаточную функцию нагрузки, включенной последова-

тельно с источником напряжения в.начале линии, а через гк(р) - передаточную функцию нагрузки, включенной в конце линии*). Тогда, принимая во внимание граничные условия

X = О, f/ (О, р) = £ (р) - /.(О, р) г„ (р), х = /, U{l,p)I{l,p)zAp),

нетрудно, воспользовавшись уравнениями (2.13) и (2.16), найти выражение для lJ{x,p) в виде

[. (р) + ... (р)] [в^ - (р) (р) е-] -

где

+ Lp

+ Ср

/ ч г„(р)-г(р)

2к(р)+2(р)-

(2.19)

z{p) при р == /ш обычно называется характеристическим сопротивлением, [Хн(р) и [Хк(р) называются коэффициентами отражения.

Из выражения (2.18) находим передаточную функцию рассматриваемой линии как отношение изображения U(x,p) в точке л: к £(р), т. е.

. (р) + 2(р) /-.Лp)к(p)e-

Рассмотрим частные случаи этой передаточной функции. Пусть 2н(р)0, т. е. источник напряжения непосредственно включен на вход линии. В этом случае из (2.19) видно, что Ин(р) = - 1, и из (2.20) следует:

-г {Х-1} , ( \рГ {х-1)

Для бесконечно длинной линии (/ = с ) из выражений (2.21) и (2.17) будем иметь

к; (р) = е- = е-->(?адТс+од (2.22)

В частном случае при R = G - О из (2.22) находим передаточную функцию

К{р) = е-р^ (2.23)

*) Эти передаточные функции определяются отношением изображений апряжения на нагрузке к току. При р = /ш они представляют собой полые сопротивления нагрузок z {j(o), 2н(/ш).

соответствующую волновому уравнению (2.11). При L = G = О из (2.22) получаем передаточную функцию

/C(p) = e-iW, (2.24)

соответствующую уравнению теплопроводности (2.12).

При других граничных условиях передаточные функции находятся из общего выражения (2.20).

Зная передаточную функцию отдельных элементов, составляющих линейную часть системы, и предполагая, как это обычно

F{p)

Z,(P)

KziP)

H,lp)Hi(p)

Uphliip) F(p)

l,(phli(p)

Z,(pl l,lp)

Z,(p)

Ftp)

K,(pJ

*HM(pl

Рис. 2.3. Соединения элементов: a)-последовательное, б)-параллельное, в)-обратной

связью.

имеет место, что эти элементы обладают свойством однонаправленности*), можно по определенным правилам найти передаточную функцию соединений этих элементов.

Так, например, если передаточные функции двух элементов равны соответственно Kiip) и Kip), то передаточные функции их соединений будут равны:

для последовательного соединения (рис. 2.3, а)

К{Р) = КЛР)К2{Р), (2.25)

для параллельного соединения (рис. 2,3, б)

К{р) = КАр) + КАр), (2.26)

*) Это свойство состоит в том, что присоединение одного элемента на выход другого не изменяет выходной величины последнего.

для соединения обратной связи (рис. 2.3, в) или

Ш = -т--. (2.28)

Соединение обратной связью, лежащее в основе работы систем автоматического регулирования, обладает следующим замечательным свойством.

Если коэффициент усиления звена, передаточная функция которого равна К\{р), достаточно велик и при этом соединение обратной связью устойчиво, то тогда из (2.28) получим

Отсюда следует известный в теории усилителей с отрицательной обратной связью вывод о том, что в таком случае передаточная функция элемента, охваченного обратной связью, не зависит от изменения параметров самого элемента и равна обратному значению передаточной функции элемента обратной связи. Это свойство соединения обратной связью широко применяется в счетно-решающей технике, электронном моделировании, автоматике и т. д.

Разумеется, сделанный вывод справедлив, если рассматриваемое соединение обратной связью устойчиво.

Пользуясь упомянутыми правилами, единообразным путем можно найти передаточную функцию линейной части системы. При этом без затруднений учитывается как внешнее воздействие, приложенное к тем или иным элементам линейной части системы, так и начальные условия, которые, как было показано выше, можно рассматривать как воздействие импульсивного характера.

Передаточную функцию линейной части системы будем обозначать через W{p). Передаточная функция зависит от передаточных функций отдельных звеньев Кг{р) и в конечном итоге может быть представлена в виде отношения двух функций, Р (р) и Qip):

(Р) = -Ш- (2-30)

где Р{р) Q(p)-многочлены, если линейная часть системы состоит из элементов с сосредоточенными параметрами, или трансцендентные функции, если линейная часть системы содержит Элементы с запаздыванием или элементы с распределен-чьши постоянными.

Обозначим через y{t) входную величину линейной части системы, а через z(t) - выходную величину.

Тогда уравнение линейной части системы относительно изображений будет иметь вид

Z(p) = W7(p)y(p). (2.31)

Линейную часть системы можно рассматривать в виде некоторого сложного элемента с передаточной функцией W{p) (рис. 2.4). Если, кроме входной величины, к линейной части системы в. любом месте, например точ-Fj(p) ке 1, приложено внешнее воздействие

t](,t), изображение которого равно F](p) (рис. 2.4), то для определения Z(p) изображения выходной величины ли-- - нейной части системы можно поступит* следующим образом.

Yfp)

Wf(p) W(ph-

Рис. 2.4. Линейная часть си- По ОПИСаННЫМ ВЫШб ПраВИЛаМ На-

стемы. ходится изображсние выходной вели-

чины в том случае, когда входная величина отсутствует, а приложено лишь внешнее воздействие. Это изображение будет равно Wf{p)Fi{p), где К^/(р)-так называемая передаточная функция по внешнему воздействию.

В силу линейности элемента изображение выходной величины линейной части системы получится как сумма изображений W{p)Y{p) и W,{p)F,{p),T. е.

Zf ip) = W{p)Y ip) + Wf ip) F, (p). (2.32)

Линейная часть системы, таким образом, может характеризоваться не одной, а несколькими передаточными функциями в зависимости от числа воздействий, приложенных к различным точкам линейной части.

Если обозначить Wj(p)Fi(p) через F{p), то уравнение (2.32) приводится к виду

Zf(p) = W{p)Y(p) + F{p), (2.33)

из которого следует, что F(p) можно рассматривать как изображение некоторого эквивалентного воздействия f{t), приложенного к выходу линейной части системы и вызывающего тот же эффект, что и воздействие fi{t), приложенное к точке / (рис. 2.4). Возможностью такого пересчета внешнего воздействия мы далее часто будем пользоваться.

§ 2.2. Временные и частотные характеристики линейной части системы

Передаточная функция W{p) является сокращенной записью дифференциальных уравнений линейной части системы и, следовательно, она определяет в неявной форме динамические свойства ее.

Свойства всякой линейной части системы в явной форме могут быть описаны характеристиками ее, определяющимися поведением системы при воздействиях определенного вида. В дальнейшем важную роль будут играть два типа характеристик - временные и частотные. Временные характеристики линейной части системы определяются изменением ее выходной величины, вызванным типовым воздействием, например, вида импульсивной

Рис. 2.5. Воздействие вида импульсивной (а), скачкообразной (б) и гармонической -(в

функций.

функции 6(0 (рис. 2.5,а)*) или скачкообразной функции \{t) (рис. 2.5,6). Временные характеристики описывают поведение линейной части системы в переходном, нестационарном процессе. Частотные характеристики линейной части определяются изменением ее выходной величины в установившемся состоянии при гармоническом воздействии (рис. 2.5,б). Хотя импульсивные. Скачкообразные и гармонические воздействия представляют собой довольно частные случаи воздействий, их исключительное значение состоит в том, что всякое непериодическое или периодическое воздействие может быть представлено в виде суммы этих простейших воздействий. Обратимся к вычислению временных и частотной характеристик.

Временные характеристики. Предположим, что входной величиной линейной части системы y{t) является импульсивная функция (рис. 2.5, а)

y{t)b{t). (2.34)

Эта функция при t ф О всюду равна нулю, а при t = О принимает бесконечно большое значение. Площадь импульсивной

*) Об импульсивной функции см, Приложение 3.

функции равна 1, так что

b{t)dt=l. (2.35)

Реакцию линейной части системы на воздействие вида импуль сивной функции будем называть импульсной характеристикой. Поскольку изображение импульсивной функции

F(p) = L{6(0}=l, (2.36)

то из (2.31) получаем, что изображение импульсной характеристики, равное

Z(p) = W7(p), (2.37)

совпадает с передаточной функцией линейной части системы W{p). Обозначим импульсную характеристику через w{t). Для определени1 импульсной характеристики w{t) предположим, что передаточная функция

(Р) = - (2.38)

представляет собой дробно-рациональную функцию, степень числителя Р{р) которой не превосходит степени знаменателя Q{p). Пусть W(p) имеет конечное число простых полюсов (отличных от нуля). Это значит, что все корни уравнения

Q(p) = 0 (2.39)

Ри р2, ..., Рп различны и не равны нулю.

Тогда' на основании формулы разложения *) импульсная характеристика будет равна

Если же корни уравнения (2.39) кратны, например,

ро = 0 кратности -1,

р, кратности г[

кратности Ps кратности г^.

*J См. Приложение 1.