запишем (54) в виде ~ -р ft-+ / \

ft=-<>o

Т S e {/+(p4-/2m(Oo) + F (p-/2m(Oo)}. (55)

Если ДО -четная функция, т. е.

/(-0 = f(0,

. f+(p) = f (p) = f (р) = J e- f(j,)dt.

о . . .

и соотношение (55) можно представить в виде *) 2e- \(k+i) £ eW.(,+2mco ), (56)

причем в этой формуле штрих у суммы означает, что при f = О слагаемое, соответствующее А = О нужно умножить на /г. После очевидных преобразований имеем

Ye~ f[k + t]- у; е<+~ 7(р + /2т(о„). (57)

ft=0 m=-00

Полагая здесь = v -~ и обозначая

ie~ /((+V)) = r(p,v). fe=o

запишем соотношение (57) в виде

r(p,Y) = >] е (p + i2m o).

m=-оо

Отметим частный случай соотношения, полученного из (57) при f = 0: i/(0) + ;rf(.)= S F(p + i2 co ).

ft=I

*) Здесь принято, что sign k = sign t.

Прибавляя к обеим частям - / (0), получим

(S8)

ft=0

Обозначив

*(P) = (6) + - 5] f(p + /2m(Oo).

запишем (58) в виде

. . I

(59)

Равенство (58) представляет собой ряд Фурье, значение суммы которого определяется в точке f = 0. Нетрудно видеть, что если f (0) О, то в точке = О имеет место скачок, равный (0) = f (0) 0. Поэтому, если нас интересует правое значение суммы, нужно согласно (47) прибавить половину скачка к сумме ряда Фурье.

Соотношения (57) и (59) применялись в §§ 9.2-9.8, при условии f(0)=0.

Укажем, что соотношение (57) и его производная по f при Г= -,

t = \-устанавливают связь между различными выражениями годографа

релейной системы /((о) (или /i((o), /()). основанными либо на временных характеристиках, либо на частотной характеристике. Эти выражения /((о) в §§ 6.1-6.5 были получены независимо, исходя из физических представлений. , Выражение

.л -pk --

ft=0

является определением дискретного преобразования Лапласа Свойства этого преобразования подробно изучены в книге автора [16]. Здесь мы ограничиваемся лишь сведениями, необходимыми для теории релейных систем.

3. Импульсивные функции

Для того чтобы уяснить смысл импульсивной функции, или, как ее называют еще, дельта-функции, рассмотрим разрывную функцию вида скачка, изображенную на рис. П.4. Эта функция аналитически может быть записана различным образом, например:

F (л:) = - sign X

2- при

д;>0.

О при л: = О, - Y при л: < о.

(60)

где sign X означает знак х, или

2 \х\-

(61)

Возможны и иные, более сложные выражения. Мы их не будем приводить *).

Подобная разрывная функция может быть получена как предел некоторого семейства непрерывных функций при изменении его п.чраметра. В качестве такого семейства непрерывных функций можно, например, Ьыбрать

(а, X)

arctg ал;. (62)

Эти функции при нескольких звачениях а изображены на рис. П.5,а. В пределе, при tt-*-< , как видно из рис. П.Б, й, lira Ч' (а. х) = ¥ (х). (63)

Рассмотрим теперь производную функции (а\х), которую Мы обозначим через б (а, х):

6(а,.)=-< -

dx 1

эх и.Ч^ + 1

(64)

Зависимость Ь{а,х) при различных а изображена на рис. П.5,б.

Рис. П.4. Разрывная функция вида скачка.

W(a.x)=-l arctgax

\3 i

Рис. П.5. Разрывная функция и ее производная как предел последовательности непрерывных функций.

. Важно отметить, что площадь б(а, jc) не зависит от а и равна единице. Действительно,

б(а, x)rfx = [4f (d.x)rt-

2 2 J

= 1.

. (65)

* r9, приведены, например, в книге Б. Ван дер Поля и X. Брем- Р а 11].

Те же результаты мы получим, если выберем другой вид аппроксимации разрывной функции, удовлетворяющей тем же свойствам.

Определим импульсивную функцию, или дельта-функцию (6-функцию) как предел функции 6 (а, л:) при а->- оо, т. е.

6W =

= lim б (а, х). а->оо

(66)

Импульсивная функция представляет собой функцию, равную нулю во всех точках, за исключением точки л: = О, причем площадь этой функции

б (л:) dx равна единице.

Физически*импульсивную функцию можно представить себе как ток, протекающий через емкость, включенную на постоянное напряжение, равное Ге,

при отсутствии в цепи омического сопротивления.

б-функцию можно формально рассматривать как производную единичной скачкообразной

функции l{x)=- + W(x) (рис. П.6):

6() =

d\ {X)

(67)

Из определения 6-функции видно, что она не удовлетворяет тем требованиям, которым подчиняются функции, рассматриваемые в классическом анализе. И если стремиться к математической строгости, следовало бы вместо б-функции использовать интеграл Стильтьеса или так называемые обобщенные функции, теория которых разработана в последнее время *). Однако в больщин-стве случаев это было бы чрезвычайно громоздко.

На 6-функцию нужно смотреть как на удобное обозначение, которое всегда может быть переписано в равносильном, ио обычно более громоздком виде **). Поэтому введение ее не может явиться источником нестрогости. Наоборот, применение б-функции существенно упрощает рещение ряда задач, и §§ 9.2-9.7 являются иллюстрацией этого положения.

Мы не будем здесь приводить систематического изложения теории и применений 6-функции, которое читатель может найти в литературе***), а отметим лищь основные свойства ее, важные для приложений в настоящей книге. 1-е свойство:

Рис. п.6. 6-фуикция как производная единичной скачкообразной функции.

f (Ха) {Xa - x) = f (х) б (Ха - х).

(68)

Это свойство следует из того, что 6 (л: - х) отлична от нуля только при

Ха - X.

*) См., например, И. М. Гельфанд и С. В. Фомин [1]. **) Эти слова принадлежат П. М. Дираку, который ввел 6-функцию в квантовую механику.

***) См., например, Д. Иваненко и А. Соколов [I], глава I; Б. В а н дер Поль и X. Бреммер [1], глава V; И. М. Гельфанд и С. В. Ф о-мин [1],

2-е свойство:

f(x)6(xs-x)dx = f{x). (69)

Это свойство вытекает из 1-го свойства. Действительно,

f- ix) 6 (Ха - х) dx f (Ха) б (Ха - x)dx = f {Ха) Ь (% - х) dx.

-оо -оо

Но по определению 6-функции

6 {Ха - х) dx = 1.

(70)

Из последнего равенства вытекает (69).

Заметим, что бесконечные пределы в (69) всегда можно заменить конечными, но так, чтобы аргумент 6-функции обращался в нуль внутри пределов:

Х„ +Е

S (Ха - x)dx= 6 {Хг - x)dx= 1.

3-е свойство *):

e-P*b(ta-t)dt=e Ч

(71)

т. е. изображение б-функции б (/а - t) равно е Изображение производных 6-функции равно

e-P*%\ta -t)dt= р е

(72)

Этим свойством при 4=0 мы пользовались в § 2.1 при замене начальных условий эквивалентным воздействием. 4-е свойство:

6 (/ - /у)

(73)

где/-иули функции x{t), т. е. корни уравнения л;.(0 = О, которые предполагаются простыми. Суммирование здесь ведется по всем корням /у-

Для вывода этой важной в теории релейных систем формулы рассмотрим

функцию y-f ¥(л;(/)), где {x(t)) определяется выражением (60) или (61).

*\ Здесь удобнее аргументом 6-функции считать t - время.

j*W(x(i))

Пусть x(t) меняет знак в точках U, ti, h, ... Тогда функция -\-(x{t))

будет иметь вид рис. П.7, а и ее можно представить в виде суммы скачкообразных единичных функций

1 + (д; (0) = 1 (t-h)-\ {t~ti) +

+i(f-y-...=5](-ir \(t-ty).

Дифференцируя это выражение, получим

dW {X (/)), у^, (j.

У di {t - ty)

или, принимая во внимание (67), (.(0) = V( ,)vl(.

Воспользовавшись 1-м свойством (формула 68)) и замечая, что У' {X (0) = б(* (0). Рис. п.7. с) Скачкообразная функция от получаем

непрерывного аргумента; б) производная ,4v6(< -<v)

этой скачкообразной функцин-6 (х )). б (:ic<0) = х (t )

Но так как в точках t = ty функция x(t) меняет знак, то

x{ty) = (-\)\x{ty)\.

Подставляя это значение в (74), окончательно получим

(75)

.Таким образом, b(x{t)) может быть представлено в виде некоторой последовательности импульсивных функций (см. рис. П.7,б), интенсивность которых равна \l\x(ty)\. Частный случай этого соотношения для периодической функции x{t) = x{t) и использовался в §§ 9.2-9.7. При наличии скачков x(t) при t = ty в (75) вместо л;(fv)l должны фигурировать \к- {ty)\ - \x{ty-Qi)\.

4. Годографы типовых релейных автоматических систем

Ниже приводятся типовые годографы релейных автоматических систем при различных передаточных функциях их линейных частей. Комбинация этих годографов позволяет получить годограф релейной автоматической системы с произвольной линейной частью. Эти годографы впервые были приведена в книге Ж И л я, П е л е г р е н а, Д е к о л ь н а {I].

Релейные автоматические системы без зоны нечувствительности

-0,3 -0.2 -0,1 О

Рис, П.8. Годограф релейной системы, W(p)

. (Р + 1) (Гр + !)

-IZ -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,1 О 0,1 D, 0,6 0,8 1,0

Рис. П.9. Годограф релейной системы W (р)=

. S>i.

-2,0-1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1,0 -as -0,6 -0,4 -0,2

ImJ(a)

I lmJ(a)

0,08 0.04

0 IJlal

-0,04 0,08

-0.12 -0,16

Рис. П.10. Годограф релейной системы W (р) = . \.

Рнс. П.11. Годограф релейной системы W (р)=

. S<1.