ТАБЛИЦА n.i

Соответствия между изображениями и оригиналами

6(0 1(0 ,-at

sin (со/ - ф) а

Л

2я /)

*) Ф - интеграл ошибок Гаусса.

F(p)=L{f(t))

(О cos ф - р sin ф р2 + со 1

р (р + а) 1

(р

Дифференцируя h{t) по /, будем иметь

ш (О = Л (/) = 2 CvoPve :

здесь Соо и Cvo определяются формулами (23).

Предположим теперь, что уравнение (21) имеет кратные корни, в том числе нулевые;

р = О кратности Го - 1с

ri

Здесь pi, p2, ..., - корни, отличные друг от друга и не равные нулю, и -l+rj+ ... + Г, = Й,

2 3 4 5 6 7

где

В этом случае разложение на простейшие дроби будет иметь вид

v=0 ц=0

vu = (г - П1 -ц-1 ~ Pv)H

v dp

Замечая, что согласно таблице соответствий (табл. П.1) - 1

получаем из (27) после перехода от изображения к оригиналу

ц\ dp

v=0 ц=0

значит.

v=0 ц=0

Эта формула вместе с ее частными случаями применяется в §§ 2.2, 6.2-6.5, 9.8, 11.2, 11.3.

В общем случае, если

L if (0) = F (р).

то оригинал можно найти по формуле обращения

С + 1со

F(p)e dp. (29)

nt)=L- {F(p)]

2я/ , с-.

Здесь с > Са; Са - абсцисса абсолютной сходимости.

Формулы, определяющие связь между времениьши и частотной характеристиками, приведенные в § 2.2, являются частными случаями основных соотношений преобразования Лапласа (1) и (29) при р.=/со.

2. Ряды Фурье

Ряды Фурье являются исключительно удобным средством исследования периодических режимов релейных систем. Мы ограничимся здесь выводом формул, использованных в тексте книги, и изложением способов определения коэффициентов Фурье, удобных для приложения в теории релейных систем Общие сведения и подробности относительно теории рядов Фурье и практических способов гармонического анализа читатель может найти в книгах Г. П. Т о л с т о в а [1] и М. Г. С е р е б р е н н и к о в а [1].

Пусть f(t) - периодическая функция периода

t + k

2п

= /(0,

Если f{t) кусочно-непрерывна в интервале 0</<-, то ее, как из-

где k - любое целое число.

Если f{t) кусочно-неп вестно, можно представить в виде ряда Фурье

2п

1 = ]г1т

/ =-00

Комплексные коэффициенты ряда Фурье

Сг == С„е

определяются по известным соотношениям

f{t)e

(30)

(31)

(32)

Коэффициенты Сг и С-г являются комплексно сопряженными. Физический смысл ряда Фурье состоит в том, что периодическая функция f(t) представляется в виде суммы простейших гармонических колебаний, частоты которых гюо кратны основной частоте Юо или, иначе, частоте первой гармоники.

Комплексные коэффициенты Фурье определяют собой величину амплитуд и фаз гармоник.

Если воспользоваться известной формулой Эйлера

g-l<P = cos ф - / sin ф, то ряд Фурье (30) можно представить также в вещественной форме

fit):

+ Сго COS (гЮо/ - Фг)-

(33)

Для вычисления коэффицие'нтов Фурье Сг удобно формулу (32) интегри рованием по частям привести к виду

2п

?я и,

+ -г

fit)

- /ГЮо J

о

f it) е- dt

(34)

Если f{t) непрерывна в интервале (о,

\ Юо /

включая и его концы, то первое слагаемое в (34) обращается в нуль. Мы, однако, предположим, что f(t)

2зТ 1 ,

о, - имеет точки разрыва первого рода h, h, t.

внутри интервала

и, возможно, /j+i

. В этих точках значения функции слева fiU - O)

и справа f(i + 0) не равны друг другу (рис. П.1). В точках разрыва функция /(/) имеет скачок, который мы обозначаем через Df{ti), равный

Df{ti) = f(tt + 0)-f(ti-0). (35)

Разбивая интервал

на участки [ti, ti+i], где функция непрерывна.

представим формулу (34) в виде

t=0 £5=0 tl

где принято Co = 0, ts-i =

f(ti-e) L

Рис. пл. К определению скачка функции fit).

Рис. П.2. Симметричная функция.

Производя указанные в первой части выражения подстановки и прини-мая во внимание обозначение скачков функции (35), получим

2п

s+l <р

2of(C,)e +J f(t)e 1=1 о

(36)

где

Df {ts+г) = / (fp + 0) - f (/,+, - 0) = f (0) - Г ().

Если функция f{t) симметрична относительно оси абсцисс (рис. П.2) (далее для краткости назовем ее просто симметричной), т. е. такая, что

то выражение Сг можно упростить.

Действительно, пусть в этом случае Si я

f(t).

число точек разрыва

на интервале

. Тогда

СОо

и, значит.

Замечая еще, что

преобразуем (36) к виду

л

г=1 о

Отсюда следует, что для симметричной функции при четном индексе г = 2т

при нечетном индексе л = 2т - 1

;jx(2m-l)

-£L

о

(2m-I) сОо<,.

. (37)

Таким образом, симметричная периодическая функция представляется рядом Фурье, содержащий только нечетные гармоники.

Приведенные формулы позволяют вычислить для рассматриваемой функ ции комплексные коэффициенты Фурье по скачкам ее в точках разрыва непрерывности и первой производной.

Особенно удобны эти формулы в тех случаях, когда производная /(О равна нулю (или постоянной величине) либо эта производная просто выражается через саму функцию /(/)

Первый случай имеет место, когда f{f) состоит из отрезков прямых, как это всегда бывает для выходной величины релейного элемента (0-

Второй случай имеет место, когда f{t) состоит из участков экспоненциальных кривых с одним и тем же показателем. Для нас наибольщий инте* рес представляет первый случай.

Пусть f(t) состоит из горизонтальных отрезков прямых. Тогда в интер валах (ti, ti+i)

t{t)0

и, следовательно, из (36) и (37) получаем в общем случае и

\п{2т-\)

(38)

Для Симметричной функции. Эти выражения применяются в § 5.2 и 5.5.

Постоянная составляющая, как следует из (32) при г - О, определяется формулой

Пусть f (t) состоит из участков экспоненциальных функций, например, f,(0 = a,e°4p, W

Дифференцируя их, получаем

/(0 =

аа.е

Исключая из этих равенств а^е , получаем

fi(t)=ain(t)-M-Подставляя это значение f (t) в (36) и разрешая его относительно

f(t)e~*dt, можно найти в явном виде выражение для С^.

Мы его здесь выписывать не будем.

В ряде случаев может оказаться удобным определять комплексные ко--/Ф

эффициенты Фурье С> = С^ое не по формулам (38), (39), а графическим путем. Этот графический способ основав на простом соотнощений, вывод которого приводится ниже. Рассмотрим

f (О е dt = Сго (г) е = (г) - /6г (т). (40)

Очевидно, что

Or (г):

6г(г) =

f (О COS гщ1 dt.

f {t) sin гщ1 di.

При т =

2зт too

мы получаем выражения для коэффициентов Фурье

Функции Яг (г), и &г(т) при изменении т от нуля до

(41)

определяю*

Ь параметрической форме некоторую кривую. Если изобразить эту кривую в координатах а^, или Сто, Фг> то модуль и фаза этой кривой при т== равны'Crt и

f- Установим некоторые свойства этой кривой. Для этого определим ее радиус кривизны р. Как известно.

Р а;(т)С(т)-аПт)Ь;(т) Но из (41) дифференцированием по т находим

Or (т) = -/(t)cos/-(OoT

(42)

b;(t)=-f(T)sin/-(OoT.

Снова дифференцируя их, будем иметь

0(1 , о

а (т) = / (т) cos гшот - - f (т) sin rwx,

ЭХ Jl

{Oq rtOo

6(т) = --f (T)sinr(OoT + -- f(T)cos/-{OoT.

Подставляя эти значения в (42), после элементарных преобразований получим

откуда следует, что радиус кривизны параметрической кривой в каждой точке т пропорционален/(т).

Найдем длину кривой, уравнения которой заданы в параметрической форме:

2л 2я

/K(t)f+[6;(T)f йт=

f(T)dT. (44)

О

Отсюда следует, что длина параметрической кривой пропорциональна постоянной составляющей.

Формула (43) дает возможность по заданной функции f{%) построить

параметрическую кривую, определяющую при т =- модуль и фазу коэф-

фициентов Фурье. Эту кривую нужно строить так, чтобы ее радиус кривизны был пропорционален-/(т).

Особенно удобен этот сдособ, когда на отдельных участках f{t) постоянно. В этом случае кривая, соответствующая С^о (т) е~ будет состоять из дуг окружностей.

Пусть, например, f{t) имеет вид, показанный на рис. П.З, а. Обозначим

через ;2, Rs значения функции в интервалах 0<т^ <т^

и iL .г 2 0 0

m - соответственно.

Ю^ (Во

Для определения коэффициентов Фурье построение ведем следующим об- разом (рис. П.3,б).

Проводим из точки Oi как из центра /4 часть дуги окружности радиуса Ri до точки /. От этой точки проводим также / часть окружности радиуса Ri до точки 2 так, чтобы касательная в точке / была общей для обеих дуг. Наконец, из этой точки проводим /2 часть окружности радиуса Ra до точки 3. В точке 2 радиус откладываем не в сторону вогнутости, а в сторону выпуклости второй дуги, как это показано на рис. П.З, б. Соединяя начало координат с точкой 3, получаем вектор, который, будучи умножен иа / , определяет собой модуль и фазу первой гармоники.

3 Vt)

Рис. П.З. Графический способ определения коэффициентов Фурье: а~ функция f (/), б, в-определение первой, второй и третьей гармоник.

При определении модуля и фазы коэффициента Фурье второй (или выс-щей) гармоники разница состоит в том, что радиусы окружностей уменьшаются в два раза (или в г раз), а длины дуг увеличиваются в два раза (или в г раз), как это показано на рис. П.З, е (для второй и третьей гармоник) .

Заметим, что при определении коэффициентов Фурье высших гармоник можно не уменьшать радиусы дуг в г раз, а учитывать уменьшение этого

радиуса последующим умножением полученного вектора на -.

Как известно, сумма ряда Фурье во всех точках непрерывности фужции /(f) совпадает с /(<), в точках же разрыва сумма ряда Фурье стремится к среднеарифметической величине правых и левых значений f(0 в точке U, т.е.

f(ff + 0) + /(f-0) f Ui) + Г (h)

(45)

Если нужно найти правое или левое значение функции /(/-), полученной в виде ряда Фурье, то это нетрудно сделать, если известен скачок функции

Df (tl) = /(/, + 0) - f Hi - 0) = /+ (t,) - r Ui)

в интересующей точке.

Складывая и вычитая (45) и (46). легко получить

(tt) = f(ti + 0) = flt{) + -jDf(ti), rHi) = f{U-0)-f(ti)--Df(ti).

(46)

(47)

Таким образом, прибавляя к сумме ряда Фурье или вычитая из нее половину скачка, мы определяем правое или левое значение искомой функции.

В заключение выведем соотношение, связывающее значение функции в дискретных точках с ее изображением, которое использовалось в §§ 9.2-9.8.

Пусть f(О - некоторая функция времени, изображение которой равно f (р), так что .

f(p)== f e~ !{i)di. (48)

о

Функция fit) в общем случае определена в интервале - оо < f < оо.

St St

Положим / =--hi- где 0</<-, и рассмотрим ряд

оо ft=-оо

Сумма этого ряда il)(/) есть периодическая функция времени f и периода - -, так как при любом целом г . .

СОо

Разложим il)(0 в ряд Фурье

Коэффициенты этого ряда согласно (32) будут равны

, - о Фт==

л

2с0с

ф(н) e-2 cf .

л; J о

Подставляя под знак интеграла ij)(/) из (49), найдем

л

;е=:-оо о

Полагая k- и = v и замечая, что со

g-/2т(й„и g-/2якосс получим, учитывая периодичность f (&),

оо <*0

/г=-со , 31 -оо

Следовательно, из выражения для ряда Фурье после подстановки значений коэффициентов ф^ найдем

ЭХ мш

Сопоставляя (50) с (49), получим

(50)

е

12тщ1

f(v)e-dv. (51)

Это соотношение справедливо при условии

lim 1/(01 = 0.

(52)

Если в (51) заменить /(/) на e~f(t), то условие (52) заменится менее жестким условием

I / (О I < Ме .

где 00 > О, и соотношение (51) приобретет вил

или

-р

(w+)= .

ft=-оо

tflp \1

m=-OI

Обозначая

g-(P-/2mw,)( )rf l (54)

f + (p + /2/ncoo) = J e-P+2 ° 7 (tr) df.

f (p - /2шсОо) = f e-P-2 ° ;(-&)