Для связных систем (Л^ = 2)

4feplfep2

r(S)llMS+ )

+ [iri, (р) ttЬ (р) - 1Г!2 (р, - as) irl, (р, аг)]}. (9.89)

Для субгармонического режима выражение для W*(p) совпадает с выражениями, приведенными выше, с той лишь разницей, что при субгармоническом режиме в них фигурируют

i- (t) = Avf (vcoot - Ф) - 5- it), v > I

я. л , 2л . 2л , л , Г)

при^ = -. = Y. -. t = - , =у, -, = -+ а,. Выра-

жение W* (р), а значит, и W* (р), зависит от некоторых постоянных для рассматриваемого периодического режима величин и передаточных функций W* (р, +у).

Рассмотрим различные формы представления W*{p,dzy). Как было показано выше, W*(p, ±у) определяется через передаточную функцию системы в виде ряда

Г(Р. ±У) = е

1Г(р + 2/тсоо). (9.90)

Воспользуемся теперь соотношением

- /.( + 2/тсоо), (9.91)

fe=0

вывод которого дан в Приложении 2 *). Если

f{0)= lim pF{p) = 0,

р->оо

*) Если f(0)# о, то при Y = О первое слагаемое в (9.91), соответствующее А = О, нужно умножить на Vs. Это обстоятельство отмечается знаком (штрих) у суммы.

то (9.91) можно представить в виде:

i uf(ik + y)i-) = f, e <F(р + 2/ma.o) (9.91)

ft=0 m=-оо

fc=l m=-oo

В ЭТИХ формулах Y > О-Положим, что

F(p)-W(p).

Пусть ziu (О - оригинал, соответствующий изображению W{p), причем uu(0) =0. Подставляя W{p) и w{t) в (9.91) и (9.91 ), на основании (9.90) получаем

W (р, Y) = S (( + V)) (9-92),

и

W?-(P.-Y) = Sr ((-v)-j)- (9.920

Эти выражения определяют W*{p,dz\) через импульсную характеристику w{t); / = (/г±у) -.

Ряды (9.90) или (9.92), (9.92) можно просуммировать и найти выражение для W{p,dzy) в замкнутой форме. Для этого воспользуемся формулой (2.40) § 2.2

t(0-i4oe4 (9.93)

Полагая в этом выражении t = (k-\-\)- и подставляя в

(9.92), получаем после перемены очередности операций суммирования:

W (Р. y)=t с'уое^ 5 . (9.94)

Но по формуле суммы геометрической прогрессии

ft=o е щ б>

Подставляя это значение в (9.94), получаем

Чр. y) = S - (9-96)

/ со,

Аналогичным образом, подставляя w(t) при < = (А -у) -

в (9.92), получим

Принимая BO внимание очевидное равенство

e > - e

окончательно представим tt!(p. -y) в форме

*(p,-y)=Svo-

v=i e 6)0 и„

При Y = 0 ИЗ (9.96) и (9.99) получаем соответственно

. w(p.o)==;<o-

, V а.

Чр,-о)==5;<о-ч

Эти

=1 р' во юо

выражения при условии

ш(0)= lim pW{p)=0

р->о°

тождественны друг другу, в чем можно убедиться непосредственно из уравнений (9.92) и (9.92), определяющих W*(p, ±у), если положить в них у = 0 и ш(0) = 0. Тождественность (9.100) и (9.101) можно также установить, если произвести в (9.100) замену

7Г=1+--IT (9-103)

и учесть соотношение

t (0)=i с'О. (9.104)

Таким образом, если передаточная функция линейной части системы W{p) такова, что степень числителя ее меньше, чем степень знаменателя, по крайней мере на две единицы, то

Г'(р. 0) = U7(p,-0) = 1Г*(р), (9.105)

где

v=I / .0), а

Формулы (9.100) и (9.101) применимы непосредственно и для того случая, когда один из полюсов pv равен нулю. В этом случае соответствующие этому полюсу слагаемые заменятся соответственно иа

. ±Ш и 0) (9 107)

Q(0) pJL Q(0) pJL

e -\ e -\

. В .общем случае, когда W{p) имеет кратные. полюсы, выражение/г (/)= !5у(/) можно получить дифференцированием h{t) (формула (2.45))

it) = hit) = y\{py% (9.108)

=0 p.=Q

Подставляя это значение в (9.92) и (9.92) и проделывая под знаком те же преобразования, что и выше, получаем

v=0 x=0

ц1 dp}i

(9.109)

w4p, -y) = S S

v=0 u=0

Pv С -V)

v л л

p- p

При соблюдении условия (9.102)

Г'(р, 0) = r*(p, -0) = ГЧр).

где

v=0 ц=0

(9.110)

(9.111) (9.112)

Предположим теперь, что линейная часть системы обладает запаздыванием, так что передаточная функция ее равна

Г(р)е-р\

где т - время запаздывания.

Подставляя (9.113) в (9.90), находим

. , (9.113).

±y) = i *~V(p + 2/mcoo). (9.114)

Найдем выражение W*(p,y) через импульсную характеристику. При наличии запаздывания нужно в (9.92) и (9.92) заменить w(t) на

О при t < х,\

Тогда из (9.92) получаем

W4p.y) = Yie~ w ({k + у)-х) (9.116)

при/<т<(Л-у); если же (/ + v)<T<(/ + l).

то б (9.116) нужно / заменить на /+1. Аналогичным образом из (9,92) будем иметь

(Р. -Y)= S е' -w({k-y)-x). (9.117)

при /<T<(/ + 1-Y); еслиже(Л-1-у)<т<(/+1).

то в (9.117) нужно / заменить на Z-j- 1.

Для определения W*(p,y) в замкнутой форме подставим значения w(t), получаемые дифференцированием выражения (2.45) § 2.2 в (9.116) и (9.117). После преобразований из (9.116) находим:

/v( +Y.--t)

(9.118)

при /<х<(/ + у)и

v=0 n=0

III dp!J

Pv 7 Й л~\ Г1Г

(9.119)

при (/ + y)<T<(/+l).

Аналогичным образом из (9.117) находим:

W4p,-y)==

-1 Cvn

PvT л я \ ] ! я

при/-<т<(/+1-у)и

V=0 ц=0

III dp!J

(9.120)

(9.121)

при (/+1 Y)<T<(/+1).

СОо COo

в том случае, когда у = 0, из (9.119) и (9.120) получаем

W(p, ±0) =

Zi ..i л„И P / П \ , я

. (9.122)

Если нулевые и кратные корни отсутствуют (р. = 0, s==ft), то в приведенных выше выражениях нужно заменить

v=0 ц=о v=l

Для несимметричных режимов справедливы все приведенные выражения, если в них заменить - на -. Выше везде предполагалось, что

ш(0)= lim pWip) = 0.

Обычно для большинства интересующих нас задач это условие выполняется. В тех случаях, когда w (0) ф О, нужно использовать левые значения W*(p), которые получаются, если в выражениях для W*(p) опустить слагаемые, содержащие w{0).

Замкнутая форма выражений W*(p, у) существенно усложняется при наличии запаздываний, кратных полюсов, и становится практически непригодной в тех случаях, когда линейная часть системы содержит распределенные параметры. Поэтому замкнутую форму W*{p, у) уместно применять лишь в тех случаях, когда вычисление полюсов W(p) не представляет труда.

В иных случаях удобнее использовать выражения W*{p, ±у) в виде ряда.

В заключение отметим, что W*(p,zty), W*(p) являются

р -2-

функциями не просто р, а е .

§ 9.9. Условия устойчивости периодических режимов

Как было показано выше, устойчивость периодического режима частоты СОо определяется поведением решений соответствующих уравнений в вариациях, или,-что эквивалентно, поведением соответствующих импульсных автоматических систем.

Если соответствующая импульсная автоматическая система устойчива, то

limi(/e) = 0 (9.123)

И, следовательно, рассматриваемый периодический режим устойчив.

Если соответствующая импульсная автоматическая система неустойчива, то

limlfft-1 = оо (9.124)

и, следовательно, рассматриваемый периодический режим неустойчив.

Случай, когда импульсная автоматическая система нейтральна, т. е. находится на границе устойчивости, соответствует критическому. Он может быть рассмотрен на основании упомянутой выше теоремы А. А. Андронова и А. А. Витта [1].

Рассмотрим теперь уравнения в вариациях (9.35), (9.56), (9.60), (9.67), (9.70), (9.76).

Так как возмущение fu(t) вызвано изменением начальных условий, то полюсы изображений Гн(р) и Fa(p, у) совпадают соответственно с полюсами передаточных функций W{p) и W*(p). Как видно, например, из (9.34), знаменатель изображения Fa(p) не* войдет в знаменатель Е*(р), так как сократится со знаменателем функции W*{p).

Обозначим через pv (v = 1, 2, ..., п) полюсы передаточных

функций Кщ (р). лежащих в полосе -соо < Imp соо шириной 2©о (рис. 9.18). Эти полюсы равны нулям знаменателей/Сгц (р), т. е. корням уравнения

Ч^*(р) = 0. (9.125)

Условимся называть эти корни р - Pv основными.

в силу периодичности W*(p), W*(p, ±у), а значит, и Ч'*(р), уравнение (9.125) имеет бесконечное число корней, которые отличаются от основных лишь мнимой частью, кратной /юо- Предположим, что основные корни этого уравнения отличны друг от друга. Практически это всегда имеет место, так как параметры линейной части всегда могут быть в пределах точности их определения выбраны такими, при которых кратные корни отсутствуют.

Тогда на основании формулы разложения получим

где постоянные dv определяются выражением

rfv= Ит (р-р,)Е'(р) . (9.127)

и зависят также от вида fI (р), т. е. от вида начальных возмущений, вызвавших изменение периодического режима.

В формуле (9.126) pv соответствует основным корням уравнения (9.125). Все остальные корни, находящиеся в полосах ширины 2cDo, расположенных над и под основной полосой (рис. 9.18), не изменяют найденного решения и поэтому они далее не рассматриваются.

Из решения (9.126) следует, что условие устойчивости (9.123) будет выполнено тогда и только тогда, когда все полюсы пере-

Рис. 9.18. Основная полоса -(Во<1т р< <соо. Заштрихованная часть полосы соответствует области расположения полюсов (р). для которых периодический режим устойчив.

даточных функций Кщ (р) или, что то же, все корни pv уравнения (9.125) будут иметь отрицательные действительные части.

Таким образом, для того чтобы периодический режим частоты СОо был устойчив, необходимо и достаточно, чтобы основные корни уравнения (р) - О лежали в левой части полосы -соо < If P 0 плоскости р (корни /, 2 на рис. 9.18). Если же по крайней мере один из корней Pv будет иметь положительную действительную, часть, т. е. если он будет находиться в правой части полосы -соо < Im р соо (корни 3, 4 на рис. 9.18) плоскости р, то периодический режим частоты СОо будет неустойчивым.

Итак, исследование устойчивости периодического режима сводится к исследованию расположения основных корней уравнения (9.125) в полосе - соо < < Im р СОо плоскости р.

Непосредственное вычисление корней уравнения Ч'*(р) =0 для решения вопроса об устойчивости периодических режимов возможно лишь в самых элементарных случаях. Поэтому важное значение приобретают способы определения устойчивости периодических режимов, минующие необходимость вычисления корней. Эти способы даются критериями устойчивости. В зависимости от того, какие исходные данные находятся в нашем распоряжении: временные, частотная характеристики или передаточная функция, для исследования устойчивости периодических режимов релейной системы целесообразно использовать различные формы критериев устойчивости.

Таким образом, исследование устойчивости периодических режимов в релейных системах автоматического регулирования сведено к исследованию устойчивости положения равновесия линейных импульсных систем. Эти импульсные системы образуются из релейной системы заменой релейного элемента импульсными элементами и усилителями. При отсутствии зоны нечувствительности число импульсных элементов равно одному, при наличии зоны нечувствительности - двум (если периодический режим - простейший симметричный).

Для сложных периодических режимов число импульсных элементов увеличивается в зависимости от числа дополнительных переключений внутри полупериода при s = 2т - 1 или периода при S = 2т периодического режима.

Глава X

КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ В РЕЛЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

§ 10.1. Частотный критерий устойчивости

Частотный критерий устойчивости удобно применять, когда исходными данными являются частотная или импульсная характеристики. С его помощью удается наиболее просто выяснить некоторые общие закономерности, касающиеся устойчивости периодических режимов.

Для доказательства частотного критерия устойчивости рассмотрим функцию *(р), которую в общем случае можно представить в виде

4(p)l+W(p), (10.1)

где W*(p) в зависимости от вида периодического режима определяется одной из формул (9.85) -(9.89). Ч^*(р) представляет

Р- р -

собой дробно-рациональную функцию от е ° или е , полюсы которой совпадают с точностью до мнимых частей с полюсами линейных частей W{p), Wkm(p).

Устойчивость периодического режима определяется расположением на плоскости корней уравнения W*(p) = 0. Применим к *(р) прнцип аргумента.

Выберем на плоскости р замкнутый контур L, лежащий в правой части полосы (рис. 10.1) и образованный отрезком мнимой оси Lu границами этой полосы Lz, L3 и отрезком бесконечно удаленной прямой L4, параллельной мнимой оси.

Предположим пока, что на этом контуре нет нулей и полюсов функции W*(p). Тогда на основании принципа аргумента изменение аргумента функции *(р) при перемещении вдоль контура в отрицательном направлении, т. е. так, чтобы область, ограниченная контуром L, лежала справа, будет равно 2я, помноженному на разность между числом полюсов п и числом нулей н, лежащими в области, ограниченной контуром L, т. е.

Ai arg Г' (р) = 2я (п - н). (10.2)

Для того чтобы пер-иодический режим частоты соо был устойчив, необходимо и достаточно, чтобы в области, ограниченной