денных колебаний с частотами субгармоник и что при этом

внешнее периодическое воздействие частоты шв подавляет возможные автоколебания в релейной автоматической системе, навязывая ей субгармонический режим.

Если же периодическое решение уравнения (7.2), изменяющееся с частотой Юо, отсутствует, то это значит, что в системе имеет место режим биений, т. е. что наряду с вынужденными колебаниями частоты шо существуют автоколебания частоты coq, отличной от частоты Юд.

§ 7.2. Условия существования вынужденных колебаний

Условия существования автоколебаний, рассмотренные в §§ 5.3 и 5.4, определяли частоту возможных колебаний шо (в релейных системах без зоны нечувствительности) либо частоту шо и относительную длительность у (в релейных системах с зоной нечувствительности). Сдвиг фаз автоколебаний указанной частоты произволен и, как и во всякой автономной системе, определяется началом отсчета.

При рассмотрении вынужденных колебаний частота их заранее задана; она равна частоте внешнего периодического воздействия. Искомыми величинами теперь являются: сдвиг фаз ф между вынужденными колебаниями и внешним периодическим воздействием (в релейных автоматических системах без .зоны нечувствительности) либо сдвиг фаз ф и относительная длительность Y (в релейных автоматических системах с зоной нечувствительности) .

Этот сдвиг фаз между вынужденными колебаниями и внешним воздействием будем относить к последнему. Поэтому положим, что

!И) = А!оЫ-ср), (7.3)

где (йо - частота, ф - сдвиг фаз и А - максимальное значение внешнего воздействия. Здесь принято, что

maxl/o(eio -ф)1=1-

Если при наличии внешнего периодического воздействия в системе имеют место вынужденные колебания, то входная величина релейного элемента будет изменяться также периодически и будет зависеть как от внешнего периодического воздействия f{t), так и от выходной периодически изменяющейся величины линейной части системы z{t), т. е.

(0 = 4оЫ-ф)-2(0-- (7.4)

Уравнение релейной автоматической системы (7.2) в этом случае примет вид

или

L {Z {t)} = W{p)L{0[A~fo W - ф) - zit); aj}, (7.5)

L {X (t)} = AL {Afo Ы - Ф)} - r (p) L {Ф (X (ty, a)}. (7.5)

Bee переменные величины в этих уравнениях изменяются периодически с частотой шо-

Решение уравнений (7.5), (7.5) должно удовлетворять условиям существования, которые зависят от вида характеристики релейного элемента Ф{х{1);а). Эти условия в общей форме были использованы при построении переходных процессов (глава III), а частный их случай (5.50) -(5.52) применялся при исследовании автоколебаний (§ 5.4).

Условия существования относятся ко входной величине релейного элемента, т. е. к управляющему сигналу x{t), и поэтому справедливы как для автоколебаний, так и для вынужденных колебаний. В случае автоколебаний управляющий сигнал зависит лишь от выходной величины линейной части z{t) (5.35) В случае же вынужденных колебаний управляющий сигнал зависит не только от выходной величины линейной части системы z{t), но и от внешнего периодического воздействия Afoicuot - ц,).

Следовательно, условия существования вынужденных колебаний заданной частоты можно найти из (5.50) - (5.52), подставляя вместо x{t) его значения из (7.4).

Проделывая это и деля неравенства для производных на положительную величину шо, что, очевидно, не изменит пх смысла, найдем условия существования вынужденных колебаний частоты (Оо в следующей форме:

для релейных автоматических систем без зоны нечувствительности

СОо

(7.6)

И

х(0 = Л/о(соо^-ф)-2(0>-Ио, 0<<. (7.7)

При положительном гистерезисе хо>-.0, а при отрицательном гистерезисе ио < О,

Для релейных автоматических систем с зоной нечувствительности

-Ш = о(я-ф)-.-()<0.

(y ) Fc (Тя - Ф) - 2 (у -) = Яхо,

(7.8)

(7.80

X (t) = Afo Ы - Ф) - Z it) > Ыо, 0<t<y

Яхо>х(0 = ЛЬ(соо/-ф)-2(0>-Хо, y<t<-.

(7.9)

При положительном гистерезисе 0<Яо<1, а при отрицательном гистерезисе > 1, хо > 0.

В этих условиях fo означает производную fo(a)o -ф) по act, т. е. по аргументу.

Если в приведенных выше условиях положить А = О, что соответствует отсутствию внешнего воздействия, то мы получим уже известные условия существования автоколебаний.

Услой'йя (7.6), (7.7) позволяют определить значения Л и ф, а условия (7.8), (7.80, (7.9)--Л, ф и у, при которых возможны вынужденные колебания заданной частоты. Этим условиям, т.е. условиям надлежащего момента переключения, надлежащего направления переключения и отсутствию дополнительных переключений можно дать наглядную физическую интерпретацию, несколько отличную от той, которая приводилась при рассмотрении автоколебаний.

Предположим, что в релейной автоматической системе имеет место периодический режим, а именно режим вынужденных колебаний частоты щ, равной частоте внешнего воздействия. Тогда все величины, характеризующие cqctohhhc релейной системы xit), у it), zit), будут изменяться так же периодически и с той же частотой шо (рис. 7.2, а, б,в). При этом выходная величина релейного элемента у it), если в нем отсутствует зона нечувствительности, представляет собой последовательность импульсов длительности -, постоянной высоты fep и чередую-

Щихся знаков (рис. 7.2,6). Эта последовательность импульсов, не зависящая от формы входной величины релейного элемента

x{t) (рис. 7.2,a), воздействует на линейную часть и вызывает периодическое изменение ее выходной величины z{t) (рис. 7.2,в). Разность внешнего периодического воздействия Л/о(а)о^ -ф) (см. рис. 7.2, г) и выходной величины линейной части z{t) определяет собой входную величину релейного элемента, т. е. управляющий сигнал x{t). Если можно подобрать такие значения Л и ф, чтобы.x(f) удовлетворяло балансу фаз, о котором речь была в § 5.3, то в системе возможны искомые вынужденные колебания.

Выписывая условия баланса фаз в аналитической форме, мы придем к условиям существования вынужденных колебаний (7.6), (7.7).

Если подставить в условия (7.6) - (7.9) выражения, которые были приведены в § 5.2, то эти условия можно представить в явной форме.

Однако в этом нет необходимости, так как далее будет показано, что условия существования вынужденных колебаний могут быть определены непосредственно по годографам релейных систем, применявшимся для исследования автоколебаний.

О

§ 7.3. О сложных видах вынужденных колебаний

Рис. 7.2. К определению условий су ществоваиия вынужденных колебаний.

Сложные виды вынужденных колебаний, как и автоколебаний, характеризуются тем, что повторение их формы происходит в общем случае через s переключений, кроме того, период вынужденных колебаний может быть также кратен периоду внешнего воздействия.

При наличии внешнего воздействия управляющий сигнал равен

£(0 = Л/о(сйо;-ф)-2(0, где z{t) определяется выражениями, приведенными в § 5.5.

Подставляя это значение x{t) в соотношения (5.64) и (5.64), получим условия существования вынужденных колебаний сложной формы в релейных системах без зоны нечувствительности.

При нечетном числе переключений s внутри полупериода: 1) Условия надлежащих моментов переключений:

() = о(я-ф)-2(1

(7.10)

(y> = о (v. - Ф) - 5 (у, -Ко,

х(у1) = Л/о (Y/я - Ф) - г (уг = (- 1) Ко. (y- 1) = (y.-i - ф) - г (y.-, = Ко;

2) условие надлежащих направлений переключений (после деления неравенств на соо):

J л,

СОо

-) = лГ(я-ф)--1-()<о,

1 л

Лfo(Y.я-ф)-g-(Y.)](-i)>0,

(7.100

СОо

х- (v.- t) = (т.-.Я-Ф)-- (y..-. t) > о-

При четном числе переключений s внутри периода: 1) условия надлежащих моментов переключений:

(5) (2я - ф) - г () == Ко,

(yi ) = fo(Yi2K - Ф) - Z (yi = -Ко.

{V) = (г2я ~ ф) ~ г (у/=- (-1) Щ,

X(y.-i ) Afo (y,-i2jt - ф) - z (y/ j = - Ко,

(7.11)

2) условия надлежащих направлений переключения (после деления неравенств на соо)

--(5) = ЛГИ2я-,)-.-()>0, (v. f) {Ъ2п - ф) - S- (y, ) < 0.

соТ^- (V ) (Ъ2п - Ф) - i (v. 5)] (-i) > О,

(V-. )-fo{Y.-,2k - Ф) - g-(v.-. ) < 0,

причем Ко > 0 при положительном гистерезисе, хо < О при отрицательном гистерезисе и kq = О, если гистерезис отсутствует.

Помимо этих условий, управляющий сигнал не должен иметь дополнительных переключений.

§ 7.4. О несимметричных вынужденных колебаниях

Несимметричные вынужденные колебания могут возникнуть в тех случаях, когда наряду с внешним периодическим воздействием /4fo(coo -ф) к релейной системе с устойчивой линейной частью приложено дополнительное постоянное воздействие fu, либо когда характеристика релейного элемента не симметрична, а линейная часть системы нейтральна. В первом случае управляющий сигнал равен

X it) = f + /If n (coo - Ф) - г it). (7.12)

Принимая во внимание (5.67) и (5.71), представим (7.12) в виде

X it) = f п ~ Уоо (0) + A~f, (со ; - ф) - г, (/). (7.13)

Воспользовавшись условиями (5.73), (5.73) и (7.13), находим условия существования этих несимметричных вынужденных колебаний в виде:

1. Условия надлежащих моментов переключения:

или

ЛоГо (2п - ф) - г, (-1 = - f + Ко -f yoWo (0), Ado (yi2n - Ф) - г, (у, ) = - L - Ко + yoWo (0).

2. Условия надлежащих направлений переключения (после деления на соо):

L i- (] = аГо (2я - ф) - -L - (] > О,

(7.14)

Кроме того, x{t) не должно иметь дополнительных переключений.

Уравнения (7.14) при заданных значениях Л и со определяют величины Yi и Ф- Если при этом удовлетворяются неравенства (7.14) и отсутствуют дополнительные переключения, то найденные Yi и ф определяют режим вынужденных колебаний.

Во втором случае управляющий сигнал по-прежнему определяется выражением (7.12).

Принимая во внимание (5.81), представим его в виде

X (t) = /п - 0 + Afo Ы - ф) - Z2 (t).

(7.15)

Воспользовавшись теперь условиями (5.80), (5.80) и (7.15), получим условия существования несимметричных вынужденных колебаний в следующем виде:

1. Условия надлежащих моментов переключения:

СОо

= - 0.

или

л/о (2я - ф) - Z2 () = - f -f Zo -f Ко,

л/о(Yi2 - ф) - Z2 (yi-) = - fn + 2o-

Ко-

(7.16)

2. Условия надлежащих направлений переключения (после деления на соо):

СОо

СОс

(v.)-4o(VI2я-Ф)-i2-()<0.

(7.16)

Кроме того, i(/) не должно иметь дополнительных переключений.

Уравнения (7.16) при заданных значениях Л и соо определяют величины zq и ф. Если при этом удовлетворяются неравен-

ства (7.16) и отсутствуют дополнительные переключения, го найденные Zo и ф определяют режим вынужденных колебаний.

Как будет показано далее, находить yi и ф (либо го и ф) можно по годографам релейной системы /(со), /у(со) (6.9), (6.10), которые использовались при исследовании автоколебаний.

§ 7.5. О вынужденных колебаниях в связных релейных системах

Предположим, что к связной релейной автоматической системе приложено одно периодическое воздействие частоты coq. Без ограничения общности будем считать, что

fi it) = Alt о, (соо^ -Ф,), f,(0==0, 3. .... Л/.

В этом случае управляющие сигналы будут равны

(7.17)

Xi (0 = ifoi Ы - (р) -

Xk{t) = - Zk{t), k

= 2,3.....N.\

Пользуясь условиями (5.85), (5.85), получаем условия существования симметричных вынужденных колебаний: 1. Условия надлежащих моментов переключений:

~ I п\

Хх (-) = /lifoi ( -Ф1) -Z,

= - <01.

= -хоь /г = 2, 3, N.

(7.19)

2. Условия надлежащих направлений переключений (после деления на соо):

СОо

JL ~

СОо^й

г(1) = лл.(я-Ф.)-гШ<о.

(7.19)

Кроме того, должно соблюдаться условие отсутствия дополнительных переключений.

Уравнения (7.19) при заданных A\i, соо определяют величины ф1 и ttft, при которых возможны вынужденные колебания частоты. Если при этом удовлетворяются неравенства (7.19) и отсутствуют дополнительные переключения, то найденные значения ал и ф1 определяют режим вынужденных колебаний частоты СОо.

§ 7.6. Условия существования субгармонических колебаний

Субгармонические колебания представляют собой вынужденные колебания, частота которых меньше частоты внешнего воздействия в целое число раз. Обозначим частоту субгармонических колебаний через соо, а частоту внешнего воздействия через сов, так что

СОв = vcoo, Рде V - целое число.

В этом случае

= Лf о (7.20)

и значит, управляющий сигнал теперь будет равен

x{t) = Afo{va(-ci>)-z{t).

(7.21)

Возможный характер изменения x{t), y{t), z{t) при наличии субгармонических колебаний частоты СОо изображен на рис. 7.3 для случая v = 3.

Поскольку теперь, как видно из (7.20),

f(/) = vcooЛf(vcoo-ф), (7.22)

то условия существования субгармонических колебаний получаются из условий существования вынужденных колебаний (7.6) -(7.8) простой заменой:

Рис. 7.3. К определению условий существования субгармонических колебаний' нечетного порядка (v=3).

Го(я -ф) Го(я -ф) f (юо/ -ф)

f (VK -ф), Vp (VK-ф),

f (voo - ф).

(7.23)

Таким образом, мы получаем

1. Условие надлежащих моментов переключения:

Ш = Fo(vя-ф)-г() = -Ko.

2; Условие надлежащего направления переключения деления на соо):

- х~ \ - == Avf {т - ф)--z~\-

<0.

(7.24)

(после

(7.24)

3. Условие отсутствия дополнительных переключений: x{t) = Afo{v(i) - (p) - z{t)>-Ko, 0<t<

СОо

(7.24 )

В этих условиях Хо > о соответствует положительному гистерезису, а Хо < О - отрицательному гистерезису.

Из симметричности колеба-

ПИЙ следует, что

(7.25)

Но из (7.21) при = 0, = iL

СОо

получаем

(0) = ЛГо(-ф)-г(0),

\ <Оо/

Складывая эти равенства и учитывая (7.25), получим после сокращения на А

Го(-Ф) + Г(я-Ф) = 0. (7.26)

Это равенство может выполняться только при нечетном v. Таким образом, в рассматриваемом случае возможны субгармонические колебания только нечетного порядка: соо = -, v=l, 3, 5, ...

В релейных системах с несимметрией возможны субгармонические колебания как нечетного, так и четного порядка. Возможный характер субгармонических колебаний при v = 2 изображен на рис. 7.4.

Условия существования субгармонических колебаний в этом случае получаются из условий существования несимметричных вынужденных колебаний (7.14), (7.14) или (7.16), (7.16) заменой

Рис. 7.4. К определению условия существования субгармонических колебаний четного порядка (v=2).

fo (2я - ф) fo (У|2Я -ф)

Го(2я-ф) fo(Yi2K -ф)

на о(2я -ф),

на fo(Yiv2K -ф),

на vf(v2K -ф),

на v/J(y,v2K -ф).