Если W{p) представляет собой трансцендентную функцию, то коэффициенты do, di следует определять по общей формуле (4.18) либо по формулам (4.32). Коэффициенты do и di можно также определить по значениям временных характеристик при = О, точнее, по значениям импульсной или переходной характеристик и их производных. Учитывая (4.25), (4.26), получаем

d==w (0) = (0), = (0) = (0)

m = 1 и /г (0) = О,

при п

(4.33)

do = (0) = /г<2) (0), di = и)<2) (0) = Л(з) (0) при п -т = 2 и А (0) = да (0) == 0. Полученные выше результаты можно сформулировать в виде критериев, позволяющих судить об устойчивости в малом релейной автоматической системы по передаточной функции, частотной или временным характеристикам. Релейная автоматическая система будет устойчивой в малом тогда и только тогда, когда выполняется любая из трех форм эквивалентных критериев.

I. Передаточная функция линейной части системы имеет все нули с отрицательной действительной частью, ее индекс, I = = п - т, т. е. разность степеней знаменателя и числителя, не превышает двух, и

do= Mm pW{p)> О' при l = n - m = l,

р- <х.

do= lim pW(p)>0

p->oo

lim p\W(p)-]<0

при l - n - m = 2.

(4.34)

II. Предельная система устойчива и частотная характеристика при достаточно больших со располоэюена в нижней полуплоскости, причем вид ее подобен виду частотной характеристики элемента, описываемого уравнением не выше второго порядка.

III. Предельная система устойчива и характеристики хюЩ h{t) обладают тем свойством, что

если /г(0) = 0, то do = (0) = (> (0) > О

или

если /г(0) = гг)(0) = /г<>(0) = 0, 1

то tc)(> (0) = /г(2) (0) > О и (0) = Л^з) (0) < 0. J Устойчивость предельной системы может быть исследована любым из известных критериев устойчивости линейных систем (Рауса, Гурвица, Михайлова, Найквиста).

При />2 или, что эквивалентно, при /г(0) =/г()(0) = ~U){Q)=Q положение равновесия релейной автоматической системы неустойчиво.

§ 4.5. Условия устойчивости в целом

Если устойчивость в малом имело смысл рассматривать для релейных автоматических систем, содержащих идеальный релейный элемент, т. е. релейный элемент без зоны нечувствительности и без гистерезиса, то устойчивость в .целом охватывает и системы с неидеальными релейными элементами.

Уравнение релейной автоматической системы с неидеальным релейным элементом может быть записано в форме

x{t)=f{t)- \w(t - x)0 [х (т); а) dx. (4.36)

о

Предположим, что линейная часть системы нейтральна, причем

w{t)Wo + Wi(i) (4.37)

fit)=-fo + fAt),

(4.38)

где Wo, fo - постоянные, а Wi(t), fs{t)-исчезающие функции. Пусть характеристика релейного элемента имеет зону нечувствительности и положительный (рис. 4.7) или отрицательный (рис. 4.8) гистерезис.

Рис. 4.7. Характеристика релейного эле- Рис. 4.8. Характеристика релейного элемента с зоной печувствительностн и поло мента с зоной нечувствительности и отри-жнтельным гистерезисом. дательным гистерезисом.

Уравнение релейной автоматической системы (4.36) с учетом (4.37) и (4.38) примет вид

х{{) = к + М)-щ\ф(х{х); G)dT-Jtc.i(/-T)0(x(T); o)dr, о о (4.39)

где, напомним, а = у\ = dzfep или О есть значение управляющего воздействия прсле последнего переключения )еле, - длэ

положительного гистерезиса (рис. 4.7) и а = sign х = ±1 - для отрицательного гистерезиса (рис. 4.8). Дифференцируя (4.39) по /, получаем

jt() = f (0-K + 2i(0)]O(x(0; (т)-да,(/-т)Ф(х(т); G)dx.

(4.40)

Для определения условий устойчивости, следуя В. М. П о-пову [1], введем вспомогательную функцию

W(t)xit) Jrqx(t)-0{X(/); а), (4.41)

где q - некий параметр, а - Х, при положительном гистерезисе ;и а = 1 при отрицательном гистерезисе. Образуем, далее, энергетическую функцию

р(0= ч'(е)Ф(х(е); (7)9,

(4.42)

или, с учетом (4.41), t

р (/) == f \х (0) - Ф (х (0); а)] Ф (х (0); о) dQ +

+ q x{Q)0{x{%); a)dQ. (4.43)

Подставляя сюда x(Q) из (4.39) и л;(О) из (4.40) и используя очевидное тождество

Ф(х(е); а)= J Ф(х(т); 0)6(0 -т)йт,

о

приведем р к виду t

р(О -hF(О +1 [/и(6) + qh тф(6); а)de -

о

(4.44)

F{Q)0{x(6);G)d6- J J Wi{Q~x)-{-qwiiQ - x) +

0 0 0

4- [Wo + (0)) + f- ] б (G - T) IФ (x (0); a) Ф (х(т); a) dt dG, (4.45)

где обозначено

/= (/)= ф(х(т); а)dr.

F4t)

Замечая, что

f(e)0(x(e); a)de= (F{Q)dF{Q)=-

и обозначая t e

(4.46)

(4.47)

q (Шо + Wi (0)) + fl б (6 - t) Ф (X (G); a) Ф (х(т); a) dr dQ, (4.48)

запишем выражение для p(/) (4.45) в более простой и удобной форме:

р(0 = J[fи(e)+df(e)]Ф(x(e) , G)dQ+hF{t)~FHt)-r{t). (4.49)

о

предположим теперь, что Г(/) для любого fQ удовлетворяет условию

Г(/)>0. - (4.50)

Тогда из (4.49) получаем неравенство t

р(0</[(е) + / (е)]Ф(х(е)-, o)dQ + foF{t)-P(t). (4.5i)

о

Так как fn(О - исчезающая функция и для любой характеристики релейного элемента

1Ф(х(/); a)<fep. (4.52)

, [fи (Э) + qhтФ (х(0); а) <ftp Jl f (0) + qf, (6) = с,. (4.53)

Учитывая (4.53), неравенство (4.51) можно усилить, заменяя в нем F{t) на \F{t)\:

9{t)<c, + fo\F{t)\-r~{t). (4.54)

Принимая во внимание выражение р(е) (4.43), запишем неравенство (4.54) в виде t

ахо

Ф(л;(е); а) Ф(х{<д); а)й%-{-

*(е)Ф(л;(е); a)de<c.+foF(/)-ip2(0. (4.55)

Рассмотрим вначале релейный элемент с положительным гистерезисом (см. рис. 4.7). Для него (см. (2.87)) справедливо неравенство

д: (6) Ф (л; (6); а) = J Ф (х (9); о) dx (В) < Ajp х (О I. (4.56) о о

где а = у\ = dz - значение управляющего воздействия после последнего переключения.

Но из уравнения (4.39) следует неравенство

\x{t)\<C2-{-Wo\F{t)\, (4.57)

C2=s\h + fAt)\ + kA\w{x)\dx.

Поэтому из (4.56) получаем t

J (6) Ф (л; (6); а) dQ < йрСг -f kWo I F (t) . (4.58)

Полагая в (4.43) q 0 и производя замену (4.58), мы усиливаем неравенство (4.55), которое с учетом того, что а = %, окончательно представится в виде t

x{Q)-

Ф{х(6); а) Ф(х(е); 0)dB<

c,-c,\F{t)\-~Fm), (4.59)

где

сз=с, -f k,c2 + kpj\ ш + <?/ (6) le +

о

+ kp

i = h-hqWo, q<0.

зир|/о + /и(01+Ар и;(В)е

(4.60)

Так как характеристика релейного элемента принадлежит сектору 0, то подынтегральное выражение левой части неравенства (4.59), как видно из рис. 4.7, всегда не отрицательно. Поэтому неравенство (4.59) может выполняться, если правая часть его будет положительной или, что эквивалентно, если \F(t) I будет удовлетворять неравенству

Отсюда видно, учитывая (4.46), что

Ф{х{Щ; a)dQ

(4.61)

(4.62)

Но если f (О 1 ограничен, то при любом / О ограничена и левая часть неравенства (4.59), t

X (G) - Ф {X (G); а)] Ф {х (G); а) dG < + с,с, -

(4.63)

В соответствии с (4.57) ограничена также и абсолютная величина X, т. е.

\x{t)\C2 + WoC5 = Cj. (4.64)

Как следует из свойств релейной системы (см. § 3.6), а также непосредственно из (4.40), ограничена и абсолютная величина производной

\x{t)\< sup I f (/) I + [Шо + w, (0)] kp + kJ\w{x)\dx = Cs. (4.65)

Из (4.64) и (4.65) следует, что подынтегральное выражение левой части неравенства (4.63) стремится к нулю. Отсюда заключаем, что Ф(л;(/);сг) стремится к нучю, а это соответствует стремлению x{t) к любой из точек отрезка зоны нечувствительности.

Для релейного элемента с отрицательным гистерезисом (см. рис. 4.8) вместо условия (4.56) будем иметь (см. (2.88)) t t

х(6)Ф(х(G); a)dQ= { Ф{х(G); а)dx(G) - kp\x(0) , (4.66) о

где а = sign i == ±1.

Полагая в (4.43) теперь О и производя в (4.55) замену (4.66), мы усиливаем неравенство (4.55), которое, учитывая, что а = 1, окончательно представится в виде t

х(0)-Ф{х{&); (т)]Ф(А:(е); а) <Сз + C4I F(/) I -

где теперь

и

Сз = с, + <?х(0),

2-(0. (4.67)

(4.68)

(4.70)

а неравенства

Повторяя дословно предыдущее рассуждение, убеждаемся в стремлении x{t) к любой из точек отрезка зоны нечувствительности (-яо. Ко). Поскольку стремление x{t) к отрезку зоны нечувствительности происходит при любой верхней границе sup 1/и (О 1 исчезающего воздействия, то для рассмотренного случая нейтральной линейной части имеет место устойчивость в целом.

Покажем, что устойчивость в целом имеет место и для устойчивой линейной части. В этом случае

fo = 0, Wo=0 (4.69)

и, значит,

wAt)==w(t).

Поэтому из (4.57) следует ограниченность \x(t) (4.59) и (4.67) принимают вид t

X {0) - ~Ф {X (6); а)] Ф {X (6); а) dQ < С3. (4.71)

о fep J

Учитывая, что \x{t)\ ограничено, приходим к выводу об устойчивости в целом релейной автоматической системы, линейная часть которой устойчива.

Сделанное выше заключение об устойчивости в целом было основано на предположении о неотрицательности Г(/) (4.48). Это неравенство и представляет собой условие устойчивости в целом релейной автоматической системы.

Таким образом, для того, чтобы релейная автоматическая система была устойчива в целом, достаточно, чтобы выполнялось условие

t е

Г(0 = Л{к', {в-х)-\-дщ (e-T)-f

о о

K+ffi;i(0)) +

6(0 -т)ф(х(е); а)Ф(л;(т); G)dxdQO,

(4.72)

где а = Я и qO для характеристики релейного элемента с положительным гистерезисом, а=1 и qO для характеристики релейного элемента с отрицательным гистерезисом.

Если линейная часть релейной автоматической системы устойчива, то в (4.72) следует положить

Wo = 0 и Wi(t) = w{t). (4.73)

При отсутствии гистерезиса в (4.72) следует положить Я=1. В этом случае q может быть любым, как положительным, так и отрицательным числом.

§ 4.6. Критерий устойчивости в целом

Непосредственно для исследования устойчивости в целом релейных автоматических систем условие (4.72) не удобно, ибо оно выражено через неизвестный процесс x{t). Найдем критерий устойчивости релейной автоматической системы в целом, который бы использовал характеристики линейной части системы. Обозначим для краткости

s{t)Wi{t) + 6{t)-\-q[wi (О + (Wo + Wi (0))бт (4.74)

и

y(t) = 0{x{t);u). (4.75)

В сиЛу свойств импульсной характеристики

Wi(t) = 0 при /<0, (4.76)

поэтому

5(0 = 0 при /<0. (4.77)

Принимая во внимание обозначения (4.74), (4.75), запишем условие устойчивости в целом (4.72) в виде

t е

Г (О = J J s (е - т) (0) (т) dr dQ. (4.78)

о о

Замечая, что о t X

j s(e-T)f/(e)f/(T)rfTde = j s(x-Q)y{c)y{Q)dQdx, (4.79)

0 0 0 0

преобразуем левую часть неравенства (4.78) к виду

i i

Г (О = Y J 1- + ( - 6)1 у (0) у (т) dx dQ, (4.80)

или

где

i t

г (f) = л s (6 - г) (6) у (т) dx dQ, (4.81)

о о

s(G-T)=[s(G-T) + s(T-e)I.

(4.82)

Обозначим спектральную функцию, соответствующую s(G), через S((o) так, что

Тогда

и, значит.

S((u)= §(Q)e-ldQ.

(e -t) = - r§((D)e/<o(e-T)rf(.

(4.83)

4.84)

(4.85)

Подставляя это выражение в (4.81), получаем после простых преобразований

Г(0 = Г5((о) re/ f/(G)tfG Гг-/ /(т)т =

S(cu)

d(u. (4.86)

Таким образом условие (4.78) с учетом (4.86) и (4.75) окончательно запиьчется в виде

T{t)=-~ 5(ш)

е>Ф{х{хУ, a)dx

d(o > 0. (4.87)

Для выполнения условия (4.87), при любых tO необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялось неравенство

§((й)>0. Так как (см. (4.82)) при т = О

s(e) = [s(G) + s(- 6)].

(4.88) (4.89)

то согласно (4.83)

5(сй)=1 J [s(e) + s(-e)]e-/ ede,

(4.90)

или

S{a) = - s{Q)e-!<dQ-\- { s{-Q) е-Ыв. (4.91)

Производя во втором интеграле замену переменной 6 на -6, получим

s(cu)=4!

о

(4.92)

Обозначим спектральную функцию, соответствующую s{Q), через 5 (/со) TiaK, что

Тогда

S(/cu)= s{Q)e-l<dQ.

о

5 (со) = 4 [S (/со) + 5 (- /(d)] = Re 5 (/(о).

(4.93) (4.94)

и условие (4.88) запишется в виде

Re5(;(u)>0. (4.95)

Для нахождения S(/(u) подставим s(e) из (4.74) в (4.93); тогда

5(/(о)= t i(e)+6(e)-f 9,(9)+ 9(00 + 21 (6)) 6(e)e/>rf(u.

J L fep J

Замечая, что

(4.96)

J a;,(e)e-/ erfe = ll7,(/(o), и;. (G) de = mWi ija) - гг , (0), 6(e)e-*de=:l

(4.97)