комбинация f{t) и абсолютно интегрируема, т. е. t

]fAt) + QL(t)\dt<oo. (4.4)

о

Такое внешнее воздействие для краткости будем называть исчезающим. Если линейная часть релейной системы устойчива, то начальные условия, характеризующие начальное состояние релейной автоматической системы, можно представить в виде эквивалентного исчезающего внешнего воздействия. Физически это

ф-* РЭ

fjt)

yltl

Wip)

zfti

Рис. 4.3. Простейший вид релейной автоматической системы.

исчезающее внешнее воздействие представляет собой реакцию линейной части, вызванную начальными условиями. При этом t

x{t) = f{t)~ \хю{1 - т)Ф{х{х); o)dx. (4.5)

о

Релейная автоматическая система устойчива, если для всякого заданного числа 8>0 можно найти такое число т](8)>0, что для всех исчезающих воздействий fmit), таких, что

\h{t)\<4, (4.6)

Ьходная величина релейного элемента x{t) удовлетворяет неравенству

\x(t)\<E (4.7)

для всех t to.

Если, кроме неравенства (4.7), имеет место равенство

Итл;(0 = 0, (4.8)

То будем говорить, что релейная автоматическая система асимп^ готически устойчива. Далее будем рассматривать только асимптотическую устойчивость. Поэтому слово асимптотическая мы будем опускать.

Если релейная автоматическая система устойчива лишь при достаточно малых значениях г\{е), то имеет место устойчивость

в малом. Если же релейная автоматическая система устойчива при любых конечных значениях г[(е), то имеет место устойчивость в большом. Наконец, если релейная автоматическая система устойчива при любых г\{е), то имеет место устойчивость в целом.

§ 4.3. Условия устойчивости в малом

Устойчивость в малом систем, содержащих релейный элемент с зоной нечувствительности (характеристика на рис. 4.2,а), определяется просто устойчивостью линейной части системы. Это следует из того, что при - Хио < х < кщ, О <>о < 1 или - ио < < X < ио, >о > 1 релейный элемент не воздействует на линейную часть системы и последняя предоставлена самой себе. Поэтому при исследовании устойчивости в малом можно ограничиться релейными автоматическими системами без зоны нечувствительности и без гистерезиса. В таких системах при сколь угодно малом отличии управляющего сигнала x{t) от нуля управляющее воздействие y{t) по абсолютной величине постоянно и изменяет знак с изменением знака управляющего сигнала.

Управляющий сигнал x{t), зависящий от выходной величины линейной части системы, может при этом условии стремиться к нулю лишь тогда, когда частота переключений (или включений) релейного элемента (т.е. частота управляющего воздействия) неограниченно возрастает. Это следует из того, что частотная характеристика линейной части системы с ростом частоты стремится к нулю и, следовательно, выходная величина ее при ограниченном по абсолютной величине управляющем воздействии с возрастанием частоты будет также стремиться к нулю.

Поэтому в рассматриваемых релейных автоматических системах подход к положению равновесия связан с неограниченным Рис. 4.4. Характеристика возрастанием частоты псреключений или

релейного элемента как ВКЛЮЧеНИЙ реЛбЙНОГО ЭЛбМеНТа. ПоСЛбДНИЙ предел непрерывных ха- СООТВеТСТВуеТ уПОМЯНуТОМу В § 3.6 рактеристик при а-> скОЛЬЗЯЩеМу реЖИМу, КОТОрЫЙ бОЛбС ПО-

дробно изучается в § 12.4. Для определения условий устойчивости в малом релейной автоматической системы будем рассматривать последнюю как предельный случай некоторой нелинейной системы, состоящей из той же линейной части и нелинейного элемента типа насыщения, характеристика которого изображена на рис. 4.4. При стремлении наклона характеристики А = tga в начальной точке к бесконечности нелинейная система стремится к релейной. Можно

предположить, что устойчивость в малом релейной автоматической системы сводится, таким образом, к исследованию устойчивости линеаризованной системы, получаемой из релейной заменой релейного элемента линейным усилителем, коэффициент усиления которого неограниченно возрастает (рис. 4.5). Эти физически наглядные соображения при строго математическом подходе вызывают ряд возражений. Но, как оказалось, результаты, к которым эти соображения приводят, совпадают с результатами строгих математических исследований, проведенных в связи с задачей об устойчивости в малом релейных автоматических систем, Л. С. Понтрягиным и В. Г. Болтянским [1], А.Д. Аносовым [1], Ю. И. Неймарком [1].

Рис. 4.5. Линеаризованная система с незграниченно возрасга:ощнм коэффициентом

усиленил..

Обоснование этих результатов также следует из приведенных в §§ 4.5, 4.6 условий и критериев устойчивости в целом релейных автоматических систем.

Устойчивость линеаризованной системы (рис. 4.5) определяется расположением полюсов ее передаточной функции или корнями соответствующего ей характеристического уравнения. Для того чтобы линеаризованная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все полюсы ее передаточной функции (или все корни соответствующего характеристического уравнения) имели отрицательные действительные части при неограниченном возрастании k. Передаточная функция замкнутой линеаризованной системы относительно y{t) (см. рис. 4.5) равна

Или, так как то

AkIW- Q(p) + kP(p)

Отсюда получаем характеристическое уравнение

Qip) + kP{p) = 0,

(4.9)

(4.10)

(4.11)

iQip) + P{p) = 0.

(4.12) (4.13)

Здесь Q(p) и Р{р) - многочлены степени пит соответственно, причем всегда степень т не превышает степени п.

Если устремить k к бесконечности, то т корней уравнения (4.13) будут стремиться к корням уравнения

Р(р) = 0. (4.14)

Остальные же (п - т) корней будут по модулю неограниченно возрастать.

Уравнение (4.14) можно рассматривать как характеристическое уравнение так называемой предельной системы, получаемой из исходной в пределе при k-*oo. Действительно, полагая /г-оо в (4.11), получим

Приравнивая знаменатель (4.15) нулю, получаем характеристическое уравнение (4.14).

Итак, условиями устойчивости в малом релейной автоматической системы являются условия устойчивости линеаризованной системы (рис. 4.5) при неограниченном возрастании коэффициента усиления*), т.е. условия отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения (4.12) или (4.13) при k - оо.

§ 4.4. Критерии устойчивости в малом

Найдем критерии устойчивости, позволяющие судить об устойчивости в малом релейной автоматической системы по передаточной функции W{p) либо по частотной характеристике Ш'(/и) линейной части системы.

Пусть передаточная функция линейной части системы равна

т

1Г(р) = = -. (4.16)

где us, bs - постоянные коэффициенты, зависящие от параметров системы, и степень числителя не превышает степени знаменателя, т. е. индекс передаточной функции W{p) I - п -

) Этому вопросу в связи с задачами теории непрерывного регулирования посвящены работы М. В. Меерова [1], [2, в которых установлены алгебраические критерии устойчивости линейных систем со сколь угодно большлм коэффициентом усиления отдельных звеньев.

Разложим W{p) по отрицательным степеням р:

w{p)j;-

j+k

ft=0

Переходной характеристике соответствует изображение

Замечая, что (см. Приложение 1)

J+k+l

l+k+l

(4.17)

(4.18)

и переходя в (4.18) от изображений к оригиналам, получим выражение переходной характеристики в виде степенного ряда

(4.19)

Коэффициенты разложения dk, входящие в (4.18), (4.19), удобно определять следующим путем.

Разделим числитель и знаменатель (4.16) на рК Тогда, принимая во внимание (4.17), получим

W{p)-

откуда находим

V - = V V

.9=0

производя перемножение в правой части и затем приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 1/р справа и слева, получим

bo = dodo, bi = doui -Ь ditto, bz = doOi -b ditti -b djOo.

bs = doas + ditts-x+ ... +dsaa.

(4.20)

Из этой системы уравнений последовательно находим:

(4.21)

В общем виде искомые коэффициенты можно вычислить по рекуррентной формуле

/ S-1 \

(4.22)

где при т следует полагать bs = О, а при s > п полагать

Можно написать также выражения для dg не в виде рекуррентной формулы, а непосредственно через коэффициенты и bh.

Действительно, рассматривая соотношения (4.20) как систему S -f- 1 линейных уравнений с s -f-1 неизвестными do,di,d2,...,ds, найдем

ao 0

0(1 ao

0(2 o,

Os as-1

0 &o

0 fc,

0 &2

0(1 fcs

4==-

ao 0

0(1 0(0 . 0(2 0(i

o(s as-1 .

ao 0 0(1 ao

2 Ol

Ci 0(0

... 0 6o ... 0 bi ... 0 2

o(s 0(-1 ... a, bs

(4.23)

где Gr и br при r> n и r> m соответственно нужно заменить нулями.

Последние формулы удобны при вычислении ds, когда s невелико. Можно также определить коэффициенты ds по начальным значениям переходной функции или импульсной характеристики линейной части системы. Для этой цели разложим h{t) в ряд Тейлора

оо 5=0

(4.24)

приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях / в выражениях (4.19) и (4.24), находим

или, так как то

й.=-л -Чо).

ш(0 = й(/)=Л<)(0, £ = гг. +й-)(0).

Если О < k<z 1 - п - т, то

гг,-)(0) = /г'(0)==0.

(4.25)

(4.26)

(4.27)

Наконец, dk можно определить по предельным значениям передаточной функции линейной части системы. Воспользуемся для этого изображением производной переходной функции (см. Приложение 1, теорема 2)

i+k-i

i (/. (01 = р' -

л ) (0)

Применяя теорему о предельных значениях (см. Приложение 1, теорема 8), получим

i+k-i

или, учитывая (4.26),

dk = lim p+-

1+k-l

И.28)

причем.

dr-i = 0 при r<l. Обрагимся теперь к выводу критериев устойчивости.

Для этой цели воспользуемся D-разбиением по одному параметру -, что эквивалентно обычному частотному критерию

устойчивости линейных систем*).

Полагая в характеристическом уравнении (4.12) р =/т и

разрешая его относительно -находим

Р (М

k Q (/и)

или, на основании (4.16) и (4.17), 1

Wijm)

(429)

Поведение частотной характеристики при больших значениях (О определяется первыми членами разложения ее в ряд по степеням -т^. Если ограничиться первым членом разложения

(4.29), то при 1 - п - m >-О частотная характеристика U7(/(u) приближается к нулю по прямой, угол которой с действительной

положительной осью равен -(п -

Характер изменения W{ja}) при больших значениях со, определяемый первыми двумя членами разложения (4.29), изображен при 1 = п - т~], 1 = п - т=2 и 1 = п - т = 3 на рис. 4.6, g - г соответственно. При этом предполагается, что

Рис. 4.6. Характер изменения W (/и) при больших значениях и для d >0.

do> О**), а знак d] указан на рис. 4.6. Пунктиром изображены части кривых при со < 0.

Согласно правилу штриховки, перемещаясь по кривой W{ja) в направлении возрастания со, заштриховываем ее слева.

Для того чтобы линейная система (см. рис. 4.5) при k-*oo была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при достаточно

) См., например, А. А. Воронов [1]. ) Так как rfo < О всегда соответствует неустойчивости.

больших k, включая k = оо, точка - j принадлежала бы отрезку устойчивости.

При k - оо точка - == ~ О принадлежит отрезку устойчивости, если все т корней уравнения

Р(р) = 0

имеют отрицательные действительные части, или, иначе говоря, если предельная система (см. рис. 4.5) устойчива. Далее мы будем считать это условие выполненным.

Для того чтобы точка - при достаточно больших k принадлежала также отрезку устойчивости, необходимо и достаточно, чтобы остальные 1 = п - т корней характеристического уравнения замкнутой системы, возрастающие при- fe->oo по модулю, имели бы также отрицательные действительные части.

При k=oo точка -Y находится на кривой W{ja) (рис. 4.6)

в точке (О =-= оо. Следовательно, уравнение (4.12) имеет 1-п-т бесконечно больших по абсолютной величине корней. При / = = п - т~ 1 уравнение имеет один бесконечно большой действительный корень, а при 1 - п - т = 2 -два чисто мнимых корня, бесконечно больших по модулю, и т. д.

Если при < оо точка - смещается с кривой W(/(o) по

штриховке, то это значит, что корни, бесконечно большие по модулю, число которых равно числу штриховок, смещаются в левую часть плоскости корней. Рассматривая рис. 4.6, нетрудно видеть, что при / = /г - т= 1 (см. рис. 4.6, а) в левую часть плоскости корней сместится один бесконечный корень, при / = = /г - т = 2 в di <С0 (рис. 4.6, б) два комплексно сопряженных корня, бесконечно больших по модулю.

Если же > О (рис. 4.6, б), то эти два комплексных корня смещаются в правую часть плоскости корней.

При 1 - п - т - 3, очевидно, все п - т корней не могут перейти в левую часть комплексной плоскости корней, так как число штриховок не превышает двух.

Таким образом, если предельная система устойчива, то линейная система (см. рис. 4.5) при -> оо будет устойчива лишь при

1 = п-~т-1 и dQ>0.

Линейная система при k-*oo будет стремиться к границе устойчивости при

1 = п - т = 2 в do>0.

причем, когда k достаточно велико, то линейная система будет устойчива при di < О неустойчива при di > 0.

Наконец, линейная система при -> оо станет заведомо неустойчивой при

1 = п -

Отсюда следует, что полоэхение равновесия релейной системы устойчиво, если предельная система устойчива, индекс передаточной функции равен единице {I = п - т = I) и do>0. Положение равновесия неустойчиво, если эта разность больше двух. Если же предельная система устойчива и индекс передаточной функции равен двум (1 = п~т = 2), то этот случай относится к критическим.

Для определения устойчивости положения равновесия в этом критическом случае можно воспользоваться соображениями, лежащими в основе теоремы А. И. Лурье [3], согласно которой положение равновесия устойчиво в рассматриваемом критическом случае, 4если частотная характеристика с возрастанием со

пересекает точку - у снизу вверх, и неустойчиво в противном

случае *).

Используя эти соображения, устанавливаем, что положение равновесия релейной системы при I - п - т - 2 будет устойчивым в малом, если наряду с устойчивостью предельной системы выполнены неравенства

dc>0, di<0. (4.30)

Таким образом, вопрос об устойчивости положения равновесия релейной системы в малом решается устойчивостью предельной системы, величиной индекса передаточной функции 1=п-т и знаками коэффициентов do и d]. Коэффициенты do и di легко выразить через коэффициенты передаточной функции линейной части системы при помощи формул (4.21) или (4.22), а именно:

4 = 1. di = {biao-aA), (4.31)

ИЛИ, используя прием, обычный для определения коэффициентов разложения, получаем

lim pW(p),

= lim p2 W(p)~

do= lim pWip),

при di = lim

p- oo

n - m- 1,

при n -m = 2.

(4.32)

*) Отметим, что релейная характеристика является предельным случаем убывающей (по терминологии А. И. Л ур ье) характеристики.