и положительным гистерезисом, как показано на рис. 3.11. При наличии отрицательного гистерезиса (Я, > 1) изменяются лишь моменты переключения.

Если гистерезис отсутствует, то в полученных выражениях следует положить %== I.

В этом случае кривые 1 и 3, 2 и 4 сольются, и порядок построений остается прежним, если учесть это замечание и при построении вместо кривых 3 и 4 использовать кривые 1 и 2.

Если внешнее воздействие кратковременно, то построение процесса ведется так же, как и прежде, но кривые f(/)±xo, f(/)±xo заменяются после прекращения этого воздействия прямыми ± Ко и ± Я,Хо.

Приведенные в этом параграфе выражения для построения процессов являются наиболее общими. Полагая в них К= - 1 (хо > О, Хо < 0) или Я, = 1, мы придем к результатам, изложенным в § 3.3.

Выражения, описывающие процесс в релейной системе, например, (3.11), (3.23), имеют простой физический смысл. Они представляют собой не что иное, как сумму реакций линейной части системы на прямоугольные импульсы.

Длительность и расположение этих импульсов определяются условиями надлежащего момента переключения и надлежащего направления переключения, зависящими от управляющего сигнала и пороговых значений.

Метод построения процессов в релейных автоматических системах использует графическое изображение переходной характеристики линейной части или численные ее значения и, следовательно, пригоден не только к релейным системам с сосредоточенными параметрами, но и к системам, которые содержат элементы с распределенными параметрами, с запаздыванием и т. п. Переходная характеристика линейной части может быть найдена любым из известных точных или приближенных способов, либо может быть построена по экспериментальным данным.

Следует подчеркнуть, что этот метод построения процесса удобен тогда, когда параметры линейной части и релейного элемента заданы численно и когда основной интерес представляет начальная стадия процесса. Однако он не дает возможности найти общие условия устойчивости или условия возникновения различных режимов, возможных в релейных автоматических системах.

Конечно, построение процессов можно вести, обычным путем. припасовывания, определяя в моменты переключения начальные условия и решая уравнение релейных систем в каждом интервале при найденных начальных условиях, но этот путь в сколько-нибудь сложных случаях вряд ли целесообразен.

§ 3.5. Примеры

Приведем примеры построения переходных процессов в релейных автоматических системах.

1. Электрический привод. Рассмотрим электрический привод при наличии на валу момента сухого трения и изменения движущего момента по гармоническому закону

f,(0 = fisin(©/ -ф').

Изображение этого внешнего воздействия имеет вид

с / \ D <Д cos (f - p sin ф' ti{p) - B-qj-j-.

Передаточная функция линейной части системы, как было* показано в § 2.5, пример 6, равна

ТмР+1

а соответствующая ей временная характеристика определяется выражением

Изображение внешнего воздействия, приведенного ко входу релейного элемента, найдется в соответствии с (2.123) в виде

Ffr,\ - W/fr,\P лв со COS - р sin

Переходя от изображения к оригиналу, находим приведенное ко входу релейного элемента внешнее воздействие*):

sin (©f - if -- фО + sin (if-f-фО е

где il3 = arctg©r .

Выразим h(t) и f{i) через безразмерные величины. Для этой цели положим в выражениях h{t) и f{t)

тогда получим

f it) = [sin i<bi - я], - фО + sin (Tl, + Ф') е-Ц,

у c)2 + 1

*) Его можно также найти иа основании теоремы свертывания (см. При ложение 1, теорема 7).

рде ifarctgco. Эти зависимости при

Адз = 2, В=1,5, й=3, ф' = 30°

изображены на графике рис. 3.12.

Производя описанным выше образом построение, найдем зависимость z{t) = со(?) (рис. 3.12). Эта зависимость представляет собой отклонение угловой скорости электропривода, вызываемое наличием сухого трения.

Рис. 3.12. Процесс изменения скорости вращения электропривода при учете сухого

трения.

Для того чтобы найти полную угловую скорость х{1)~ (o/(if), нужно согласно (2.125) из f (?) вычесть В результате получим (рис. 3.12) кривую (0/(0-

2. Следящая система. Рассмотрим следящую систему, схема которой была изображена на рис. 2.11. Пусть внешнее воздействие, приложенное ко входу релейного элемента в момент / = О, изменяется скачком и далее остается постоянным и равным единице:

/(0=1 при />0.

Передаточная функция линейной части системы (2.106) при наличии временного запаздывания т и в том случае, когда постоянной времени якорной цепи можно пренебречь (Гя = 0), записывается в виде (§ 2.5, пример 2)

W{p)--

где ka = А!двА;и.

Переходная характеристика линейной части системы, являющаяся оригиналом изображения Н{р)=-~-, имеет вид

Л(0 = №

И

h{t) = 0 при t<r.

Вводя безразмерные величины времени запаздывания .? = т/Г„ и текущего времени it/Tf, запишем переходную

Рис. 3.13. Процесс в релейной следящей системе.

характеристику в более простой форме:

h(i) = kJAt-r-{l-t >f. Если запаздывание отсутствует, то f = 0 и

Ht)==kJ\i-i\-e-t)], iO.

Перейдем к построению процесса. Предположим вначале, что ftp = 2, fer = l. т==0.

Внешнее воздействие имеет вид скачка /(?) = !, Вместе

с временной характеристикой 2h(t) оно изображено на рис. 3.13. Здесь же изображены возрастающая часть 2hi [t) ~2t и ограни-

ченная часть 2/z2(?) =2(1-е-*). Производя операции, описанные выше, строим переходный процесс в релейной следящей системе так, как это показано на рис. 3.12. Процесс имеет затухающий колебательный характер. Длительность процесса регулирования примерно равна 1рег ~ 4,3 или в абсолютных единицах /рег = 4,ЗГм. Максимальное отклонение равно 1,40.

При наличии запаздывания, например, f = 0,2, разница в построении переходного процесса будет состоять лишь в том, что переходные характеристики (-1)2/г(? -F), которые применялись на рис. 3.13, должны быть смещены относительно моментов переключения на постоянное время запаздывания т = 0,2.

Построим процесс для этого случая, используя таблицу значений 2/г (J) = 2 [/ - f - (1 - е-<-**)]. Расчетная схема иллюстрируется табл. 3.1.

В первых двух столбцах таблицы выписываем значения t = 0; 0,2; 0,4, ... и соответствующие им значения переходной характеристики 2й(/) до тех пор, пока z{t) = 2hit), увеличиваясь, не достигнет значения, равного /()=1 (см. рис. 3.13). Величина i = ti, при которой z{i) = 2h{t) = l, определяет момент переключения. В данном случае ii 1,4.

В первом столбце продолжаем выписывать значения i - = -f О, 2; F = -f О, 4; / = /i -f 0,6; ..., а во втором столбце - соответствующие им значения временной характеристики 2h{i). В третьем столбце, начиная со строки t = ii-{-0, 2, выписываем значения -4h(i - /,), которые получаем умножением на -2 значений 2й (/ - /,). Складывая алгебраически величины, стоящие в строках второго и третьего столбцов, записываем в четвертом столбце значения искомого процесса z{t) = 2hii)- - 4й (/ - /,) для />Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока z{t), уменьшаясь, не станет опять равным/(/)= 1, т. е. до следующего момента переключения iz- В рассматриваемом случае /г 3,1 (см. рис. 3.13).

В первом, втором и третьем столбцах продолжаем выписывать значения /=/г + 0.2; /==/2 + 0,4, / = /2-f 0,6; ... и соответствующие им значения временных характеристик 2h{t) и -4/г (/ - /)), а в пятом столбце, начиная с этой же строки таблицы, выписываем значения 4/г(/ -/г), которые отличаются от ранее выписанных значений столбца - 4h{i - /2) лишь знаком.

Складывая алгебраически величины, находящиеся в строках второго, третьего и пятого столбцов и записывая сумму в вдестом

tl = 1,4

<2 = 3,1

=4,68

О

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4

1.6 1,8

2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,1

3,3 3.5 3,7 3,9 4,1 4,3 4,2 4,68

z(t) = 2fe(f)

О О

0,04 0,14 0,30 0,50 0,74 1,00

1,29 1,60 1,93 2,27 2,62 2,98 3,35 3,72 3,90

4,29 4,67 5,06 5,45 5,84 6,23 6,63 6,98

О

-0,08 -0,28 -0,60 -1,00 -1,47 -2,00 -2,59 -2,89

-3,53 -4,20 -4,89 -5,60 -6,33 -7,07 -7,82 -8,50

1,29 1,52 1,65 1,67 1,62 1,51 1,35 1,13 1,01

О

0,08 0,28 0,60 1,00 1,47 2,00 2,52

0,76 0,55 0,45 0,45 0,51 0,63 0,81 1,00

4,88 5,08 5,28 5,48 5,68

7,38 7,78 8,17 8,57 8,97

-9,27 - 10,04 -10,82 -11,60 -12,39

3,14 3.79 4,47 5,17 5,89

столбце, находим значения искомого процесса z{t) - 2h(t) - -4/г(г-?i) + 4/i(/ -/2) для J>t2.

Этот процесс будет иметь место до следующего момента переключения, который находится подобным же образом.

Построенный по данным таблицы процесс приведен на рис. 3.14. Наличие запаздывания т = 0,2, как видно из 3.14, приводит к появлению незатухающих колебаний.

Рис. 3.14. Процесс в релейной следящей системе при наличии временного запаздывания

т=0,2.

Напомним, что выполнение условия надлежащего направления переключения проверяется автоматически при построении нроцессов.

Предположим теперь, что в следящей системе релейный элемент обладает положительным гистерезисом, т.е. имеет характеристику вида рис. 3.4, а, причем = 0,1.

Для построения процесса воспользуемся несколько видоизмененной по сравнению с приведенной выше схемой вычислений. В первом и втором столбцах табл. 3.2 выписываем значения ? = 0; 0,2; 0,4;... и соответствующие им значения переходной характеристики 2h(t). По этим данным строится переходная ха-)а ктеристика (рис. 3.15). На этом рисунке изображаются кривые {t)±Ko, которые в данном случае представляют собой горизонтальные прямые 2 = 1 + 0; 1 = 1,1 и 2 = 1 - 0,1 = 0,9.

Момент переключения ti определяется как момент времени, при котором z(i) = 2h{i), увеличиваясь, достигает значения 1,1. Этот момент времени равен ti = 1,27 (см. табл. 3.2). Далее, в противоположность тому, как это было сделано ранее, начиная со следующей строки (ti = 1,27), в третьем столбце выпишем -ih(t -ti) =-4h{t-1,27) для значений /=1,4; 1,6; 1,8; ...

Величины - 4/г(/-1,27) могут быть найдены по графику 2й(/) либо по более точной предварительно составленной таблице для 2h{i).

Алгебраическая сумма этих величин, записываемая в четвертом столбце, определит значения процесса z{t) = 2h{t) - для t>ti. Это выражение будет справедливо до тех пор, пока 2(?), уменьшаясь, не станет равным 0,9, т.е. до момента переключения h, который в рассматриваемом случае равен h 2,66.

Далее в пятом столбце выписываем значения 4/г(? -2,66). Складываем значения четвертого и пятого столбцов и записываем значения процесса z{t) при ? > ?2 в шестом столбце.

Повторяя эти вычисления, подробности которых читатель легко уяснит из табл. 3.2, находим процесс в релейной системе при наличии положительного гистерезиса (см. рис. 3.15).

fit)

f(i)*Xo

ZMt)

Izli)

Рис. 3.15. Процесс в релейной следящей системе при наличии гистерезиса И((=0,1;

Как видно ИЗ рис. 3.15, наличие гистерезиса приводит к тому, что затухание процесса становится значительно слабее, чем при отсутствии гистерезиса (см. рис. 3.13).

Рассмотрим еще следящую систему, в которой релейный элемент обладает зоной нечувствительности, т.е. характеристика его имеет вид рис. 3.10, а. Предположим, что ио = 0, 1, а все остальные данные остаются прежними.

Изображая на графике горизонтальные прямые

2=1+0,1 = 1,1 и 2=1-0,1=0,9,

а также переходную характеристику 2h{l), построим переходный процесс, используя графический или табличный (табл. 3.3) способы.

Этот процесс изображен на рис. 3.16. Сопоставление его с процессами в следящей системе при наличии гистерезиса (см. рис. 3.15) или без него (см. рис. 3.13) показывает, что наличие зоны нечувствительности приводит к увеличению затухания. Но то достигается уменьшением точности регулирования из-за зоны