Изображение управляющего воздействия найдется как сумма изображений этих импульсов:

F (р)=ь {Ф {X т=L {Ф (f (О - Z т=

и, следовательно, уравнение (3.1) можно представить в виде

Z{p) = W ip) fep 2 -Ь^ ie- - .- +0. (3.7)

является переход-

Заметим, что оригиналом изображения ная характеристика h{t), т. е.

L{hit)}Hip) = .

Тогда в соответствии с теоремой запаздывания (см. Приложение 1, теорема 4) имеем

L{h{t-h)}-e-\

(3.8)

где /г(/ - 4) = О при / < tk.

Принимая во внимание (3.8) и переходя в (3.7) от изображений к оригиналам, получим выражение для z{t) в интервале времени между моментами переключений tn и tn+i

2 it) = S (-1) [h {t -tu)-h{t- /,+,)] -Ь

-\-{-\Tkph{t-Q tn<t<tn+l

или, после очевидных преобразований.

(3.9)

2(/)==/?p

/г(0 + 2 1](-1)*/г(/-/,)

tn<t<tn+i. (3.1.0)

в развернутой форме выражение (3.10) запишется так: kph{t), 0<t<ti,

kph{t)-2kph{t~ti), U<t<t2,

kph (t) - 2kph (/-/,) + 2kph (t - tl t2<t< ts.

z{t) =

(3.11)

Полученные выражения, определяющие переходный процесс в системе, показывают, что последний является суммой отдельных процессов, вызываемых действием на линейную часть управляющего воздействия в виде прямоугольных импульсов.

гкрШ-ц)

Из этих выражений следует, что для вычисления z(0, т.е. для построения переходного процесса, необходимо предварительно вычислить переходную характеристику линейной части системы и определить моменты переключения 1к. Вычисление переходной характеристики к{Ц линейной части системы можно произвести различными способами (аналитическим, графическим и т. д.), указанными в § 2.2.

Определение моментов переключения 4, являющихся корнями уравнения (3.3) или (3.4), аналитическим путем невозможно, так как не известна величина z(t). Однако эти моменты

переключения весьма просто определяются графически одновременно с построением пе* реходного процесса z{t).

Предположим, что переходная характеристика h{t) тем или иным способом вычислена. Изобразим на графике переходной характеристики, увеличенной в fep раз, в том же масштабе график внешнего воздействия /(О (рис. 3.2). Тогда момент переключения t\, соответствующий условиям (3.5) и (3.6), найдется как абсцисса точки пересечения f (О с kph{t) и при О < < 1 искомая величина z{t) будет равна kph(t). Начиная с момента переключения 1 откладываем величину -2kph{t - t\) и складываем ее с kph(t) так, что при < < 2 получим z{t) = kph{t) - - 2kph{t - i). Абсцисса точки пересечения f{t) с z{t) определяет момент переключения 2- Далее, начиная с момента времени 2, откладываем величину 2kh{t - 2) и, складывая ее с kph{t)-2kph{t~ti), получим значение процесса при 2 < < < 3 равным z(t)== kph{t)- 2kph(t - ti)-\-2kph{t - t2). Аналогично предыдущему момент переключения определяется как абсцисса точки пересечения f{t) и z{t) (см. рис. 3.2).

Продолжая указанную последовательность действий, находим следующие моменты переключения и одновременно процесс при заданном внешнем воздействии (см. рис. 3.2).

Условие надлежащего направления переключения автоматически проверяется при построении процесса.

Если переходная характеристика h{t) с ростом времени. / Неограниченно возрастает, то графическое сложение kph{t) и {-\)2kph{t -th) (k= 1,2,3...) становится затруднительным.

Рис. 3.2. К построению переходного процесса в релейной автоматической системе лри отсутствии зоны нечувствительности и гистерезиса.

в этих случаях может оказаться удобным поступать следующим образом.

Выделим из переходной характеристики h{t) возрастающую часть (рис. 3.3,а). Сумма возрастающей части hi{t) и оставшейся ограниченной части h2(t) равна переходной характеристике.

На рис. 3.3, а изображена возрастающая часть hi(t), как это чаще всего бывает, в виде линейной функции времени. Учитывая, что разность смещенных линейных функций есть также линейная функция, построение процесса можно вести так. Одновременно

ffil

Рис. 3.3. Разделение переходной характеристики на возрастающую и ограниченную части (а), построение переходного процесса (б).

с изображением на графике внешнего воздействия f{t) и увели--ченной в fep раз переходной характеристики kph{t) изобразим ее возрастающую kphx{t) и ограниченную kphzt) части (рис. 3.3,6).

Первый момент переключения t\ находится обычным образом. Начиная с этого момента переключения откладываем ~2kjvi{t - ti) и -2kph2{t - ti) и алгебраически складываем их с kphi(t) и kph2{t) соответственно.

Разность kjii{t) - kphi{t- ti) представляет собой прямую с наклоном, противоположным по знаку наклону k-phy{t). Графическим путем находим kph2{t)-2kph2{t - ti). Если теперь алгебраически сложить kph2{t)-2kph2{i - ti) с построенным ранее отрезком прямой, то мы найдем z(t)- kph(t) - 2kph{t - ti) в интервале ti <.t < t2, где t2 определяется как абсцисса пересечения z{t) с кривой внешнего воздействия f{t). Далее процесс построения повторяется аналогично описанному.

Заметим, что алгебраическое суммирование возрастающей части в рассматриваемом случае осуществляется исключительно просто. В точках, соответствующих моментам переключения, углы наклона отрезков прямых изменяют лишь знак.

Построение процесса можно также производить численным суммированием значений переходных характеристик для заданных моментов времени t в таблице, изображая для наглядности графически результат суммирования и определяя при этом обычным образом моменты переключения.

§ 3.3. Переходные процессы в релейных системах с гистерезисом

Обратимся к рассмотрению релейной автоматической системы при наличии гистерезиса.

При положительном гистерезисе характеристика релейного элемента имеет вид, показанный на рис. 3.4, а. Пороговые значения отличны от нуля и равны ±:%о. Управляющее воздействие и

Рис. 3.4. Характеристика релейного элемента при наличии гистерезиса Л= -I (с), управляющий сигнал X (О и управляющее воздействие у (i) (б).

теперь будет представлять собой последовательность импульсов, знак которых будет изменяться при переходе x{t) через соответствующие пороговые значения, которые уже отличны от нуля (рис. 3.4,6). В рассматриваемом случае, как видно из рис. 3.4,6, условие надлежащих моментов переключения принимает вид

что эквивалентно

(3.12) (3.13)

Условие надлежащих направлений переключений остается без изменений (при x(t\) < 0):

или

x(h)(-l)>0

(3.14) (3.15)

Построение переходного процесса производится аналогично описанному с той лишь разницей, что вместо кривой f{t) на чертеже, где изображена переходная характеристика kph(t), наносятся две кривые f(t) - Ko и f(0 + > o (рис. 3.5). Здесь хо -пороговое значение, обусловливаемое гистерезисом.

Моменты переключения h определяются абсциссами точек пересечения кривой z(t) (которая строится подобно тому, как было изложено выше) с кривой f(t) - Хо, если z(th) < </(/ft), и с кривой f(t) 4--fxo, если z{tk) > tih). В первом случае индекс k четный {к = 2т), во втором - нечетный (к - 2т - - 1). При отрицательном гистерезисе (рис. 3.6, а) хо нужно заменить на -хо- Это приводит к изменению моментов переключения (рис. 3.6,6). Построение переходного процесса производится так же, как и ранее, но с учетом изменения моментов

переключения (рис.-3.7). При отсутствии гистерезиса, т. е. при 5<о=0, мы, естественно, приходим к результатам § 3.2. Легко видеть, что с небольшими изменениями все, что было сказано о построении процесса при хо = О, остается справедливым и при наличии гистерезиса.

Описанный метод применим и для построения процессов в релейных автоматических системах с несимметричными характеристиками.

Если характеристика несимметрична и, например, имеет вид рис. 3.8, а то, как видно из рис. 3.8, б, управляющее воздействие можно представить в виде суммы постоянного воздействия и знакопеременной последовательности импульсов, подобной той, которую мы рассматривали выше. Теперь, помимо импульсов, к линейной части системы приложено еще постоянное воздействие. Реакция линейной части системы на это постоянное воздействие

y,kph(t).

Следовательно, в этом случае вместо (3.9) получим 2(0 = y,h (t) + % i-D [h (t - /,) -h{t- /,+,)] +

Рис. 3.5. К построению переходного процесса в релейной автоматической системе при наличии гистерезиса.

fc=0

+ (-1) л(/-д

tn<t<tn+l. (3.16)

Рис. 3 6. Характеристика релейного элемента при наличии отрицательного гистерезиса (А-=-1) (а); управляющий сигнал х (t), управляющее воздействие у (<) (б).

Рис. 3.7. К гостроению переходного процесса в релейной системе при наличии отрицательного гистерезиса.

Рлс. 3.8. Несимметричная характеристика релейного элемента с гистерезисом-о), уя .равляющий сигнал х:(<) н управляющее аоздейстпие (<)-б^.

Процесс строится точно так же, как это было описано выше, с той лишь разницей, что в выражение z{t) входит дополнительное слагаемое yokph{t).

§ 3.4. Переходные процессы в релейных системах с зоной нечувствительности

Рассмотрим релейные автоматические системы при наличии зоны нечувствительности. В этом случае переходные процессы также описываются уравнением (3.1), но характеристика релейного элемента Ф{х;с), входящая в уравнение, в общем случае при наличии зоны нечувствительности и гистерезиса будет иметь

Рис. 3.9. Характеристика релейного элемента с зоной нечувствительности и гистерезисом (а), управляющий сигнал х (t) н управляющее воздействие у (t) (б).

вид, приведенный на рис. 3.9, а. Этот релейный элемент обладает четырьмя пороговыми значениями, равными ± хо и ± Ххо. Если

x(t) = fii)-zit)

является функцией времени, то 0(x{t);G)== 0{f{t) - z(t);G) представляет собой последовательность импульсов, и, в отличие от рассмотренных выше случаев, эти импульсы будут разделены паузами (рис. 3.9,6).

Если принять %=1, то получим релейный элемент с зоной нечувствительности, но без гистерезиса, характеристика которого приведена на рис. ЗЛО, а. В этом случае пороговых значений два: ±хо, но характер управляющего воздействия, как это видно из рис. 3.9,6, точно такой же, как и при КФ1. Поэтому мы будем рассматривать более общий случай Кф I.

Обозначим через ti, t, h, ... моменты переключения, соответствующие переходу z\t) через пороговые значения (см. рис. 3.9,6). Условия надлежащего направления

переключения (при x{ti) < 0) для них имеют вид

(3.17) (3.17)

(4)(-1)>0

или, в раскрытой форме, и

[f{h)-z{t,)]{-lf>0. Далее обозначим через t\, t, t, ... моменты переключения, соответствующие переходу управляющего сигнала x(t) через

(3.18) (3.18)

о о

Рис. 3.10. Характеристика релейного элемента с зоной нечувствительности (а), управляющий сигнал X (<) и управляющее воздействие у (t) (б).

пороговые значения (-1)+Я,хо (см. рис. 3.9,6). Условие надлежащего момента переключения и условие надлежащего направления переключения (при i()<0) для этих моментов будут:

(3.19)

и

(3.19) (3.20) (3.20)

или, в раскрытой форме,

/(Q + (-l)AXo = 2(;)

И

[Q-(Q](-i)>o-

Между моментами переключения управляющее воз-,

действие (0 постоянно, а между моментами Ц оно равно нулю.

Изображение импульса высоты (-l)*ftp, длительности (ft+i~ft) и начинающегося в момент равно

Суммируя эти изооражения, найдем изооражение управляющего воздействия

к(р) = L{Ф(/it)-Zit); а)} = к.У. -bll! (е- * 4+.).

(3.21)

Следовательно, уравнение (3.1) запишется в виде

Воспользовавшись соотношением (3.8) и переходя от изображения к оригиналам, получим выражение для z(t) в интервалах времени между моментами переключения

z(0 = fep

%(-1)[h(t~Q - h (t-ti,)] +(-1) Л(/-g), (3.22)

2(0 = 2(-1)[Л(-д-Л(-М] C+.<W (3-220

Первое выражение определяет процесс в интервале существования управляющего воздействия, а второе - в интервале отсутствия управляющего воздействия.

В развернутой форме выражения (3.22) и (3.22) запишутся так:

(3.23)

Для построения процесса z{t) изобразим на рисунке, где приведена переходная характеристика kj/i{t), в том же масштабе четыре кривые (рис. 3.11):

кривая /: /(0 + Яо.

кривая 2: - кривая 3: /(О + Ко, кривая 4: fit) - ?.

Момент переключения tj определяется как абсцисса точки пересе*1ения kh (t) с кривой 4. Начиная с этого момента t - ti, откладываем -kh{t~i\). Складывая kji(t)vi-kji{t-t.

Рис. 3.11. К построению переходного процесса в релейной авюматической системе при наличии зоны нечувствительности и гистерезиса О < Л <

находим z(f) = kJiH) - kJi,{t--t при ft. Абсцисса точки пересечения z{f) с кривой / определит момент переключе--ния Начиная с этого момента, откладываем -kph(t - ti) и, складывая ее с z{t) = kji{t) - kji{t - t, находим ход процесса при t > ti:

z(t)yi{t)-kh{t-t\)-kh{t-t,).

Абсцисса точки пересечения z{t) с кривой 3 определит момент переключения fr,. Снова откладывая от этого момента kji{t - t и складывая с z{t), находим процесс при t>t.

Z (t) = kh (t) - kji {t - q -kh(t-1,) + kh (t -1.

Повторяя описанный порядок операций, можно построить ис-домый процесс в релейной системе с зоной нечувствительности