MrtioBeHHbie преобразования на плоскости можно применять для точечного преобразования некоторой линии / в линию /. Осуществлять такие преобразования можно, руководствуясь следующей схемой.

1. Задаем однопараметрическое непрерывное множество преобразований Г, зависящих от переменного параметра t:

x = h(x, у, t); I

y = hix,y,t). I

.. Пусть в координатной плоскости дана линия / уравнением

У = f W- (16)

Устанавливаем формулы преобразования обратного преобразованию (15). Пусть оно будет задано уравнениями

xfrUx, У', t);] , ..

y-fT{x y, t) I

и пусть параметру Р преобразований (15) соответствует значение X некоторой точки M кривой (16). Подвергнем каждую точку M кривой (16) преобразованию:

X =h (X, у, П; . . . .

у' = {X, у, П

Тогда точки M, ... кривой / преобразуются в точки M, ... некоторой кривой Уравнения этой кривой можно записать, учитывая формулы (17). Получим (х', у', t) = f {х', у', t)].

Рассмотренная схема применительно к линейно-однородным преобразованиям реализуется следующим образом.

Зададим непрерывное множество линейно-однородных преобразований Г, ... уравнениями

x = aix~\-biy;)

ya,x+b,y,\ (

в которых значения коэффициентов Gj и а^, зафиксированы как постоянные величины. Коэффициенты и предполагаются при-этом неизвестными. Для определения коэффициентов и в уравнениях (18) необходимо задать пару соответственных точек М и М'. Зададим непрерывное множество пар точек М, М', ... как множество соответственных по параметру х точек двух кривых шит', уравнениями:

(т) yhixy, у .

Теперь получим однопараметрическое множество пар точек: М [х, fi(x)\, М' 1х, fiix)], ... Подставляя в уравнения (18) координаты соответственных точек М и М', получим

х = а^х + bjx (х);

/2 (х) = а^х + bjx (х). . . ~

Решая последние уравнения относительно Ь^ и Ь^, находим однопараметрическое множество пар этих коэффициентов:

/2 W - 2 (Х)

Учитывая значения коэффициентов bi и Ь^, можем записать формулы однопараметрического множества топологических преобразований:

х' = а^х + у' = +

h М

/2 {х) - а^х h(x)

(20)

Множество преобразований (20) будет переводить точки L кривой / в точки L,.... кривой Г. Параметром t, который в нашем случае будет устанавливать соответствие между точками L, ... и преобразованиями (20), будет величина х. Легко видеть, что кривые (19) являются инвариантными по отношению к преобразованиям (20) в том смысле, что во всех этих преобразованиях кривая т переходит в кривую т'. Действительно, если в формулы преобразований (20) вместо у подставить (х), то получим х' = х,

у' = /2 (х).

Если линии т, т' задать так, чтобы между ними устанавливалась некоторая функциональная зависимость

(т) y = f{x); (m) yF\f(,x)\,

то уравнения преобразования (21) запишутся так: х{\-ах)

(21)

X =aix-у' == а^х

f(x) Flf(.x)].

У,

- а^х

f(x)

(22)

Учитывая формулы (21), заключаем, что кривая у = ff (х) преобразованиями (22) будет переводиться в кривую у = F [ф (х) 1.

пример. Пусть y~f{x), я у = Р [f (х)] = Р (х). Зададим, например, линии т к т' уравнениями

y=kx+b;y=(kx+bf. .

Уравнения преобразования примут вид

-1+ kx + b , , (kx-\- 6)2 - а^х - -

Если взять точку М на первой кривой М {х, kx + b), то соответствующая ей точка М' будет точкой М' [х, (kx -\- Ь)Ц. Допустим, что мы хотим найти точку L, соответственную точке L (а, Ь). Для этого необходимо задать линию у = - f (х), заведомо проходящую через точку L (а, Ь), и перевести ее в линию, соответствующую линии F [f (х)\. Через точку L (а, Ь) проходит прямая г/ = - *о-

Этой прямое будет соответствовать парабола у = Точка L (а, Ь) перей-

дет в точку L (а, Ь^). Пусть линия / описывается уравнением yj= ф (х). Тогда множество прямых у = х -\тк пересечет кривую в точках L (х, у), где х, у есть результат совместного решения уравнений

x-f А;

/ = Ф W-

Точки L, соответственные точкам L, можно найти по формулам

Графически это означает перевод кривой у = (р (х), заданной точками Х, ... на однопараметрическом семействе прямых у = х + h, в кривую точек L, заданных па однопараметрическом семействе парабол у = (х-\- Kf. Обычно для составления уравнения преобразованной кривой (L) сосгавляют формулы обратных преобразований, что, вообще говоря, не всегда возможно. В нашем случае исходная кривая у = f (х) переходит в кривую у = (х).

Рассмотрим способ задания топологических преобразований кривых на плоскости с помощью параллельных переносов. Известно, что преобразование параллельного переноса на плоскости задается следующими формулами: х' = х -\-а^, у' = У + Ъ^. Преобразование параллельного переноса легко размножить в непрерывное однопараметрическое множество преобразований параллельного переноса. С этой целью можно задать две кривые т, т' и установить между точками М, ... и М', ... этих кривых взаимно однозначное соответствие по некоторому параметру, например по х. Пусть кривые щит' заданы уравнениями

(tn) у =fi (х); {in)y = f{x).

(23)

Тогда векторы параллельного переноса можно записать так: j{Xs - Xi, /2(2) -/1(1)} .

Уравнения топологических преобразований примут вид л; = л: -f (л-2 - Xi);

Обратные преобразования можно записать следующим образом: X = х' - {xz - Xi); . .

У = у' - ЧЛхг) -к ixi)l

При этом следует иметь в виду, что величины Xi и х^ следует брать зависимыми от некоторого параметра t.

Пусть теперь уравнением у = F (х) задана некоторая кривая /. Установив между точками М, ... кривой t и параметром t преобразований (23) некоторое взаимно однозначное соответствие, мы можем от точек М, ... перейти к точкам М', ... преобразованной кривой t. Уравнение преобразованной кривой / будет иметь вид

У = 1/2 (х) -f,ix)l-F[x- (X, - (24)

Пример 1. Зададим кривые т к т' как прямые:

{m)y=bi.

Установим между точками М, ... прямой т и точками М', ..- прямой т' взаимно однозначное соответствие с помощью прямых пучка у = kx. Тогда точки М будут иметь координаты М {bjk; bi), а точки М' - координаты М' {bJk; 62)- Формулы топологических преобразований имеют вид

= + y=y + bi-bi).

Формулы обратных преобразований . .

= y-y-bi-b,).

Введем в рассмотрение кривую /, задав ее уравнением у - х^. Соответствие между точками L, ... кривой / и параметрами преобразований зададим прямыми того же пучка: у = kx. Составим уравнение преобразований кривой /. Получим

Заменив параметр k уравнения кривой / на величину у1х, получим уравнение линии / в виде

y-(b2-bi) =

x(bi - b{) У

После несложных преобразований получим уравнение кривой I в виде У^-х' 1У-(Ь2-Ьг)] = 0.

Таким образом, кривая / есть кривая третьего порядка. Она будет симметрична относительно оси у. Ось х будет ее асимптотой. Учитывая, что уравнение кривой I можно записать в форме

х^±хУ x - Ajb - bi)

заключаем, что кривая / располагается вне полосы х = 2 Vb-Ь±. Легко показать, что кривая I асимптотически приближается к параболе у = х^, имея с нею общ5то бесконечно удаленную точку оси у.

Непрерывные мгновенные преобразования можно использовать для осуществления топологических преобразований поверхностей. Общая схема таких преобразований в пространстве может быть сформулирована следующим образом.

1. На заданную поверхность Ф наносится непрерывный каркас ее образующих ...

2. Задается непрерывное множество преобразований

х' = fi (х, y,*z, ty, .

у' = f2 (х, у, Z, ty, . -

. г' = fs (х, у, Z, ty .

зависящих от того же параметра по которому задан непрерывный каркас I, ... поверхности Ф.

3. Линии l {t), ... поверхности Ф преобразуются по формуле (24) в линии (i), ..- поверхности Ф'.

Способ конструирования поверхностей с помощью топологических преобразований дает возможность при переходе к преобразованиям, обратным преобразованиям {24), составлять уравнения каркаса конструируемых поверхностей. При этом возможна также разработка и графических способов конструирования каркасов.

Рассмотрим приведенную выше схему применительно к топологическим преобразованиям, основанным на применении мгновенных линейно-однозначных преобразований пространства. Зададим формулы линейного однородного преобразования Г:

х' = а^х 4- Ьху + Ciz; )

у' = а^х 4- Ь^у 4- CgZ; (25)

Z = CkX-\- bsy 4- CgZ.

Зафиксируем в формулах (25) коэффициенты первых двух столбцов, т. е. коэффициенты а^, а^, з'. i. 2. з- Известно, что третий столбец коэффициентов Cj, Cg, С3 можно в этом случае задать одной парой соответственных точек Ми М'. Задавая непрерывное однопараметрическое множество пар точек М, М', получим непрерывное однопараметрическое множество троек коэффициен-

тов С], Сз, Сз, ..: и, следовательно, непрерывное однопараметрическое множество линейно-однородных преобразований Г, ... Непрерывное множество пар точек М, М', ... можно задать как пары точек двух линий т к т', например, уравнениями их проекций:

(tni) y=-fi{xy, (mi) у = ф1(х); .

(тг) z = h{x); (рь) 2 = ф2(л:).

Подставляя в равенства (25) координаты соответственных точек М [х, fiix), fzix)] и М' {х, ф] (х), Фг (л;)}, получим три уравнения с неизвестными с^, Cg, Cg:

X = а^х + bJi (х) + cJz (ху,

ф] (х) = а^х Ч- bji (х) +cJz{xy ,

Ф2 (х) = азх + bsfi (х) + Csfz (х).

Решая относительно Cj, с^, Сд последние уравнения, получим x{l-aj)-bJi{x) ,

Cl =

/2 W

Ф1 (X) - - 2/1 W .

h(x)

(Pi{x) - a3X - bsh{x) h W

(26)

В этих равенствах за переменный параметр можно принять величину X. С помощью формул (26) легко записываются формулы непрерывного однопараметрического множества топологических преобразований типа формул (25), переводящих точки L, ... линий каркаса I, ... исходной поверхности Ф в точки L, ... линий I, ... преобразованной поверхности Ф':

х'а^х + ЬгУ + -ЬШг; y = a,x + bzy+--;h; г' = азХ + ЬзУ + fW-Mg-bfiW

(27)

Формулы преобразований (27) сконструированы так, что во всех преобразованиях Г, ... линии т и т' являются соответственными, поэтому, если поверхность Ф проходит через линию т,. то преобразованная поверхность Ф' должна проходить через линию т'. Если каркас линий I, ... поверхности Ф пересекает линию т в точках М, то каркас линий Г, ... поверхности Ф' пересекает линию т' в соответственных точках М', ....

Пример 2. Пусть кривые т и т', соответственные точки которых М, ... и М', ... определяют коэффициенты-Сх, с^, Cg, заданы уравнениями своих проекций:

(OTi) {/ = 0; (ml) {/ = 0;

Формулы топологических преобразований (27) примут вид х'= а^хbiy-\-(I - а^) г;

у' = + Ь^ - а^г\ . . -

г' = а^х + Ь^у -{х - cg) г.

Пусть исходная поверхность Ф представляет собой конус вращения с образующей г = X -а осью вращения, совпадающей с осью г. Уравнение конуса Ф запишется следующим образом: д; + {/ - = 0. Нанесем на конус Ф однопараметрическое множество его параллелей /, ...:

;с2 + 22 = D, г = ft.

Установим соответствие точек М, ... и М', ... линий /я и т' по параметру д;. Тогда точкам М {х. О, х) прямой на параболе {/ будут соответствовать точки М {х. О, i?). Возьмем на одной из параллелей конуса Ф некоторую точку L {х, VK - i, h). Очевидно, что в рассматриваемых топологических преобразованиях ей будет соответствовать точка:

L [{aiXbiVh - x ; {l-ai)h), {а^х + bV- х^ -aji),

(a-\-Csy - {x - as)h)\.

Чтобы составить уравнение преобразованной поверхности Ф, необходимо предварительно составить формулы обратных преобразований. С этой целью надо транспонировать матрицу коэффициентов и разделить каждый из коэффициентов на алгебраическое дополнение. Осуществлять эти расчеты в общем виде нет необходимости. Следует учесть, что значения коэффициентов первых двух столбцов постоянны. Пусть, например, эти коэффициенты имеют следующие значения-

Ьх = Ьа = Оз = О и 1 = 2 - Ьз = 1.

Тогда формулы преобразований примут вид

х' = х; у' = X -г; г' = у-\-хг.

Уравнения обратных преобразований будут записываться так: х=х'; у= г'-х'{X-у'); г=х'-у'.

Учитывая формулы обратных преобразований, получаем возможность составить уравнение поверхности Ф':

x+U-x{x~y)f-{x-yY=Q.

Последнее уравнение есть уравнение четвертой, степени. Таким образом, рассматриваемые нами топологические преобразования переводят конус вращения второго порядка Ф в поверхность четвертого порядка. Легко проверить, что прямой z = X поверхности Ф на поверхности Ф' соответствует парабола г = х^, У=0.

Плоские сечения конуса Ф плоскостями г = h представляют собой окружности д;2 -j- {/2 = /i2 Исходя из формул обратных преобразований, заключаем, что горизонтальные плоскости г= А преобразуются в проецирующие плоскости у=х - А; окружности х^ -\-у^ = пересекают прямую г= х, у-О в точках М {х. О, х). Сечения / поверхности Ф' пересекают параболу г == л? в точках М' {х. О, х^). Сечения поверхности Ф' плоскостями х-h = у дают кривые, проецирующиеся на плоскость хг в кривые второго порядка вида х^ -\- {z-

Сечение поверхности Ф плоскостью ху дает кривую четвертого порядка: х^ + iyx - xY yf = 0.

Сечение поверхности Ф плоскостью уг дает пару прямых - у^ = О, т. е'. прямые г = {/ и г = -у. Варьируя значения коэффициентов Cj, Cg, Og и b, b, bg, мы будем получать различные виды топологических преобразований и различные поверхности Ф' в качестве поверхностей, соответств5тощих исходному конусу Ф.

Например, положим

2 = 3 = 1 = = 0; Й! = Ьа = 1

Уравнения топологических преобразований примут вид

xl = х; у' = у; г' = хг.

Обратные преобразования запишутся так;

, , г'

х = х'\ у = у'; г = -г .

Конус Ф преобразуется в поверхность Ф', уравнение которой запишется в виде х^ + у^ - {zIxY = О или + .V - = 0.

Поверхность Ф представляет собой поверхность четвертого порядка. Плоскости г = А с окружностями -\-у^ = № поверхности конуса Ф переходят в плоскости г= hxc сечениями ... поверхности Ф', проецирующимися на плоскость ху в окружности х^ у^ = №. Иначе говоря, каждая параллель / конуса Ф переходит на поверхности в сечение / плоскостью z = hx проецир5тощего цилиндра, . надстроенного над параллелью /. Пучок плоскостей г= hx рассекает поверхность Ф по эллипсам, малые полуоси которых равны h, а большие полуоси h. Поверхность Ф' пересекается с координатными плоскостями по следующим сечениям: при х = О получаем сечение г = О (это будет ось у); при у= О получаем сечение г = х^ (пара парабол); при г = О получаем сечение х - Ои - {/=0 (ось у).

Плоскость ху есть плоскость симметрии поверхности Ф . Сечения поверхности Ф' плоскостями, параллельными координатным плоскостям, дают: при х = а сечение - а^у -\-= О (это будет гипербола); при у-Ь сечения -\-fx - z = О (кривые четвертого порядка, пересекающие ось у); при z = с сечения х^у^= О (кривые четвертого порядка).

Многообразие форм поверхностей топологических преобразований .типа однопараметрических семейств однородно-линейных преобразований определяется многообразием форм исходных поверхностей Ф, многообразием множеств значений постоянных коэффициентов и многообразием форм кривых т и т', задающих переменные коэффициенты преобразований.

Топологическое преобразование пространства можно задать непрерывным однопараметрическим множеством параллельных переносов. Известно, что преобразование параллельного переноса в пространстве задается следующими формулами:

. xf = X -{-- ai,

у' = У + bj-,

Это преобразование легко размножить в однопараметрическое и непрерывное множество мгновенных преобразований параллельного переноса. С этой целью достаточно задать две кривые т и т' и, установив между точками М, ... и М', ... этих кривых

взаимнооднозначное соответствие по некоторому параметру, ввести

В рассмотрение множество векторов ММ как векторов параллельных переносов. Зададим кривые т и т' уравнениями их проекций:

. (trii) y = f{x); (ml) у = ф1(х);

(mg) Z = f2(x); {nh) 2 = ф2(х).

Векторы параллельного переноса запишутся так:

г{%-Xi; [Ф1(Х2) -fi(Xi)]; [Ф2(л:2) -f2(l)]} Teпepь топологическое преобразование можно задать следующими уравнениями:

х' = X + (2 - Xi);

у' = У + [ф1 iXi)-fi {xi)l; .

Z Z + [(pix) -f{Xj)l

Формулы обратного преобразования запишутся так: л; = х' - (2 - Xi);

У = у'- l(i>Ax2)-fi{Xx)b

z = z~ [ф2 (2) - 2 ixi)l

Если линия т принадлежит некоторой исходной поверхности Ф, то линия т' будет принадлежать преобразованной поверхности Ф'. Точки пересечения М ... линий I ... с кривой т перейдут в точки М' ... пересечения линий Г ... с кривой т'.

Пример 3. Пусть линия от представляет собой ось г, а линия от является цилиндрической винтовой цилиндра вращения с осью г и радиусом основания, равным г. Положим, что смещение точек винтовой линии вдоль оси г определяется формулой h = km, где k - постоянная величина. Пусть точки оси г и винтовой линии т' приведены во взаимнооднозначное соответствие по параметру ш. Тогда точкам М (О, О, h) будут соответствовать точки М' (г sin (о, г cos (о, h). Векторы ММ будут иметь вид г {г sin to, г cos а, 0}, формулы топологического преобразования запишутся как

д; = д; 4- г sin (о; {/ = {/ 4- / cos (о; г' = г, а формулы обратного преобразования получаются следующими: X = х' - г sin о; у = у' - г cos а; г= г'.

Пусть исходная поверхность Ф есть поверхность цилиндра вращения, заданная уравнением у^ = R. Тогда преобразованная поверхность Ф' будет задана уравнением

{х - г sin (0)2 4- ({/ - /- cos (0)2 = R.

Учитывая, что г = h = k(o, находим (о = z/k. После этого уравнение поверхности Ф' можно записать так:

[x-rsin±-y + (y-rcosy=RK

Легко видеть, что поверхность (]> представляет собой цилиндрическую поверхность вращения, радиус основания которой равен R+r.

3. УРАВНЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ И ОТСЕКОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Существуют различные способы составления уравнений областей плоскости, отсеков поверхностей и сложных фигур, составленных из отсеков различных поверхностей. Дадим краткий обзор этих способов, иллюстрируя его примерами.

Метод модулирования переменных. Исходными положениями этого метода являются следующие. Если выделить на координатной оси X две точки А (т, 0) и Б (п, 0), где п > /п, то уравнение отрезка АВ можно записать следующим образом:

\х - т\-\-\х~ п-\-т = 0. ,

Если на координатной оси t взять отрезок [t, t] и соотнести каждой точке этой оси с координатой t значение функции / (х, у), то уравнение отрезка [t, t] запишется следующим образом:

\nx,y)-k\ + \f{x,y)-t,\-h + ho.

Пример 1. Пусть окружность -\- = изменяет свою форму при непрерывном изменении величины радиуса г от ri = 3 до rg = Б. Уравнение области, ограниченной окружностями -- = 9 и + {/ = 25, будет записываться так:

.2 + (/2 31-lx2+{,2 5 = 2.

Принимая за параметр величину fi, уравнение той же области можно записать иначе:

+ 1/2-9Ц-. + £/2 2Б|= 16.

Пример 2. Пусть прямая = 2. + 3 плоскопараллельно перемещается в положение {/ = 2. + 7. Уравнение области, заключенной между, прямыми у - = 2. + 3 и (/ = 2л; + > можно записать следующим образом:

l 2.-3 + j/-2.-7 = 4.

Пример 3. Уравнение области, ограниченной окружностью у? -f- у^= 25, записывается так: Хх -\-у^ 2Ь\-\-\х^ -\- ф\ = 2Ъ.

Пример 4. Уравнение квадрата с вершинами ABCD, расположенными на осях X, у, -X, -у, с диагоналями АС = AD = 2а имеет уравнение \ х\ \ у \ = = а. Пусть заданный квадрат центрально-подобным преобразованием ув личи-вается до квадрата, диагональ которого равна 2та. Уравнение области, заключенной между этими квадратами, записывается так:

+ -ma-f . + (/l-a = (m- l)c.

Взяв в качестве исходной функцию z = f (х, у), задающую уравнение поверхности, мы можем модулированием переменных осуществлять различные преобразования поверхностей. Отметим следующие основные положения.

1. Поверхность z = \ f (х, у) \ состоит из точек поверхности Z = f {х, у), имеющих положительные аппликаты, и точек, симметричных относительно плоскости ху точкам той же поверхности с отрицательными аппликатами.

2. Поверхность z f {\х\, у) состоит из точек поверхности f (.X, у), имеющих положительные абсциссы, и точек, симме-