можно осуществлять конструирование дуг кривых, опирающихся на прямые х=Ьих = аи переходящих от дуги кривой у = = /] {х) к дуге у = (х)- Для этого достаточно составить уравнение

S [{X ~Ь){а- X)] Г - V 1 () + ~ Ш

= 0.

При п оо мы будем получать как угодно плотные множества промежуточных дуг (рис. 10, л).

Однопараметрические семейства линий можно задавать как решения дифференциальных уравнений первого порядка. Так, дифференциальное уравнение у' =Л/2у определяет семейство парабол у^ = X с, где с- переменный параметр (рис. 10, м). Дифференциальное уравнение (2ху - yf - 4д; = О определяет семейство кривых третьего порядка у^ = (х - cfx (рис. 10, н). Дифференциальное уравнение у' = kx определяет однопараметрическое множество показательных кривых у = d (рис. 10, о).

2. КОНСТРУИРОВАНИЕ КАРКАСОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Поверхности конгруентных сечений

Поверхность, несущая на себе хотя бы одно семейство конгруентных линий, независимо от способа ее образования называется поверхностью конгруентных образующих. Если конгруент-ные между собой образующие представляют собой плоские кривые, то поверхность называется поверхностью конгруентных сечений. Конгруентные сечения такой поверхности располагаются в однопараметрическом семействе плоскостей.

В более сложГных случаях однопараметрическое множество плоскостей задается как множество плоскостей, обкатывающих какую-нибудь торсовую поверхность (поверхность касательных к пространственной кривой). В более простых случаях однопараметрическое множество плоскостей задается как множество плоскостей пучка или как множество параллельных плоскостей. Во многих технических поверхностях (например, каналовых) плоским сечениям соответствуют комбинированные множества плоскостей, задаваемых всеми тремя указанными способами. В одном из частных способов поверхность конгруентных сечений образуется путем вращения и последующих мгновенных параллель-. ных переносов. Рассмотрим процесс более подробно.

Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат xyz и связанная с ней плоская кривая е', расположенная в координатной плоскости xz. Уравнение этой кривой

2 = /(х); .

У = 0. .

Пусть, кроме того, задано однопараметрическое множество

векторов г, .... начала которых находятся в начале координат, а концы определяются кривой г. Очевидно, что каждый из векторов г, ... расположен в какой-то проецирующей плоскости у = = kx, проходящей через ось z. Пусть при этом между координа-

тами векторов г, ... и величиной k установлена зависимость вида

X (О = fi (0;

у (t) = /2 (0; . / .

->

где X (t), у (t), z (t) - координаты вектора г, расположенного в плоскости у = kx, где = tg - угловой коэффициент уравнения прямой следа плоскости вектора в координатной плоскости ху. Предположим, что образующая / , вращаясь вокруг оси Z, размножается во множество меридианов ... поверхности вращения Ф'. Очевидно, что множество меридианов I, ... запишется уравнениями

у = kx.

Подвергнем теперь каждый из меридианов t, ... поверхности

параллельному переносу в его плоскости на вектор г, расположенный в той же плоскости. Множество меридианов ... перейдет при этом во множество конгруентных между собой образующих поверхности Ф. Уравнения образующих I... можно записать в следующем виде:

Z - Z (О=/ {V[x--x(m+[y-y(t)fy,

у-y{t) = k [x-x{t)].

Каждый из меридианов li поверхности Ф получается из соответствующего-меридиана Ii поверхности Ф' параллельным пере-->

носом на вектор г^, расположенный в плоскости меридиана Il. Легко видеть, что параллель т' поверхности вращения Ф' преобразуется множеством мгновенных параллельных переносов

на векторы г, ... в параллель т поверхности Ф. Записав уравнения параллелей /и', ... поверхности Ф' в виде

z = f(i/F+?);

где h - параметр, мы легко можем записать уравнения линий хода гп поверхности Ф. Выглядеть они будут следующим образом:

z-z{t)f {V{x - X {t)f + [у-у {t)f); z~z(t) = h

или . .

f{V[x-x(t)r + [y - y{t)f) = h;

z - z (t) h,

где h - параметр положения параллели m на поверхности Ф.

Коротко можно сказать так: линия хода т точки М образующей t поверхности Ф получается из параллели т' точки М' ме--ридиана f поверхности Ф' теми же мгновенными преобразова-

ниями переноса, которыми линия г (концов векторов г ...) получается из начала координат О. Поверхность вращения Ф' - это направляющая поверхность поверхности Ф. Последнюю можно называть пучковой поверхностью конгруентных сечений. В геометрическую часть определителя поверхности Ф входят: система координат xyz, образующая I и линия г, определяющая мно-

жество векторов г, и множество плоскостей а (ccj), несущих на себе образующие t, ... Задание этих образов на чертеже Монжа обеспечивает задание на этом чертеже поверхности Ф. Действительно, пусть на чертеже Монжа заданы проекции tl исходного меридиана t и проекции к линии г, а плоскости а (ccj) совпадают с осевыми плоскостями оси z. Тогда задача построения фронтальной проекции Mg точки М поверхности Ф по известной ее горизонтальной проекции решается по следующей схеме.

1. По точке Ml строим след ееj. плоскости ее, в которой расположена точка М.

у >

2. Используя след а^, строим проекции и Гг вектора переноса.

3. Операцией обратного переноса восстанавливаем с помощью

проекции Мх VI Гх положение проекции Mi точки М'.

4. По точке М'г находим последовательно Ml, М х и Mi,.

5. Переносом точки Мг на вектор определяем положение проекции Ма точки М.

Наличие уравнений каркасов образующих и линий хода т дает возможность, составить алгоритмы решения различных задач на пучковые поверхности конгруентных сечений.

Сформулируем вычислительный эквивалент решения задачи построения точки на поверхности пучковых конгруентных сечений. Пусть даны уравнения меридиана I в виде z = f {х) и У = О, уравнения проекций Гх и линии г в виде у = Fx (х) и Z = 72 (х); уравнение пучка плоскостей а, ... в виде у = kx.

где k = ig t. Предположим, что некоторая точка М заданной поверхности имеет свою проекцию М, (ху, Ух) и требуется найти координату Z точки М. Решение задачи осуществляется следующим образом.

1. По. координатам Хх, Ух точки Мх составляем уравнение у = х следа Kj, плоскости а, в которой расположена М.

2. Решая совместно уравнение у= -х следа ccj с уравне-

нием у = F (х) кривой Гх, находим координаты xl, у\ точки Nx пересечения этих линий. Величины хг и yl будут координатами,

вектора п [xi,yi\. По координатам xl, у1 точки находим координаты хъ zl проекционно соответственной ей точки путем подстановки величины х\ в уравнение z = (x) кривой г2,- Получаем

одновременно координаты xl и zi = F. (xl) вектора /-g [xl, F (xl) .

3. Вычитая из координат Xx, Ух точки Мх координаты х'и yl точки Nx, получаем координаты точки Ml {Хх - xl, Ух - yl) - горизонтальной проекции точки М' меридиана / поверхности вращения, переходящего в меридиан / поверхности Ф.-

4. Определив величину OMi = Y{Xx - + {Ух - ylf == / точки М на меридиане находим величину координаты z = f(]/(A:i - xlf-\-{ух -ylf)- Введем в рассмотрение точку -М'2 (xl, Z2).

5. Определяем координату Zg точки Mix, Zg) по формуле = Z2 -f- zi, так как Zg точки получается из координаты Z2

точки Mi сложением с координатой z вектора rg. Получаем

точку Ма 1хх, f {V {xi - х[у + {уг - ylf) + F2 {xl}].

Решение задач на поверхности Ф упрощается, если в уравнениях линий 1, ... ее каркаса меридианов удается исключить параметр t, входящий в уравнение пучка плоскостей а, и величины координат векторов г. Рассмотренная схема вычислительных операций без существенных изменений пригодна и для других способов задания семейств плоскостей - носителей сечений поверхности. Существенно, что эти плоскости являются проецирующими и^задаются следами. Частные случаи поверхностей конгруентных сечений есть поверхности, сечения которых располагаются в~плоскостях одного пучка. Такие поверхности мы будем называть пучковыми поверхностями. Пусть.линия г векторов переноса есть некоторая горизонтальная кривая. Векторы г будут иметь

координаты г {t, у {t), 0}.

Уравнения каркаса образующих / ... поверхности

Z:==f{V{x~tr + [y-y{t)fy,

У = kx,

гдей = igt. - .

Линии хода т точек М образующей г = f (х) будут горизонталями. Все они в проекциях на плоскость ху эквивалентны

кривой г по направлению векторов г. Легко видеть, что поверхность Ф в данном случае будет поверхность плоскопараллельного

переноса. Выберем векторы г переноса образующих ... так, чтобы они были параллельны оси г. Линию г можно при этом выбирать произвольно, но так, чтобы она пересекала плоскости а, ... меридианов / поверхности вращения Ф'. Подвергнем меридианы

/, ... переносу по вертикальным составляющим векторов г,

у

Т. е. по векторам \0, О, г {t)\. Тогда уравнения каркаса образующих /, ... поверхности запишутся так:

z-z{t)=f{V + У'У, у = kx,

где = tg . Линии хода поверхности Ф получаются из параллелей переносом на векторы г^, и их уравнения будут иметь вид х2 + у2 г*; z - z (t) = h,

тле h = f (г); z = f (x).

Пример. Составить уравнение каркаса меридианов I, ... поверхности вращения Ф, зная уравнения меридиана (х - 6) + = 16; у = 0. Уравнения каркаса будут иметь вид

(J/a;2+j/2 6)2 + z2= 16; .

у= kx.

Поверхность кольца описывается уравнением

х* + у^+ 2х^у^ + 2у^г^ + 2z4 - Шх - 104 у -f 402 -f 400 = 0. Пример. Составить уравнение каркаса образующих косого геликоида, пря-

X Z

молинейная образующая которого / описывается уравнениями -5- -j- -о == 1. f/ = 0. Уравнения образующих конуса вращения Ф будут:

Векторы параллельного переноса можно записать так:

{ . 4}.

где Л = 10 соответствует повороту образующей на угол я/т. Уравнения каркаса образующих геликоида

Ух -f ф , Z 10

3 2 2т

= 1;

Пример. Составить уравнения каркаса прямолинейных образующих поверхности Ф, зная, что кривой г является парабола у = 4л:, z = О, а исходная обра-

зующая - прямая -Ь -у- = 1 - Уравнения образующих конуса вращения

Векторы параллельного переноса будут иметь вид г [х', у' = 4х', 0]. Уравнения каркаса прямолинейных образующих поверхности Ф запишутся так:

У(х-х'Г+{у-4х^ , г .

у = Ахх.

Возьмем в качестве носителя пучка прямую, перпендикулярную координатной плоскости ху и проходящую через точку М {х^, у о)- Уравнение пучка плоскостей

y-yo=iigf)(x - Xo).

Зададим далее в плоскости ху кривую п с уравнением у = F {х). В пересечении кривой п с плоскостями пучка получим точки Л^, каждую из которых примем за конечную точку вектора параллельного переноса сечения (/) поверхности вращения в сечение / поверхности Ф. Очевидно, что точки Л^, ... имеют координаты х', у , получаемые в результате совместного решения уравнений

y=F{x),y-yo = m{x - Xo).

Величина х' будет корнем уравнения F {х) - тх + тх - f/o = О, а величина у' определяется из равенства у' = F (х')-

Зададимся векторами параллельного переноса г' [х', у', 0}, координаты которых являются функциями переменного параметра т = tg t, где t - угол поворота меридиана поверхности вращения. Теперь параметрические уравнения каркаса поверхности Ф (/, ...) примут вид

z = f(\{x-xf + {y-yy); У - у'{tg t) {X -

Если каждую из точек Л^ {х', у') сместить по направлению оси z на величину г' = Z {х'), то уравнения каркаса поверхности Ф (/, ...) примут вид

z-z{x)=.f{V{x~xr + {y-yy); .

у~у'= {tgt) (х-х').

Смещение точек Л^, ... по направлению оси г означает, что теперь геометрическое место концов векторов параллельного переноса представляет собой пространственную кривую, уравнения проекций которой на плоскости ху и можно записать следующим образом: у' = F {х); z = z {х'). Эти поверхности можно также назвать винтовыми поверхностями общего вида.

Пример. Пусть задан пучок проецирующих плоскостей у - & = 2 kx и геометрическое место конечных точек векторов параллельного переноса в виде полупараболы jAj/ =-- 2х. Решая совместно эти два уравнения, полу чим:

4.-2.-6 = 0; X + y,k+kVW+2i

Векторы параллельного переноса будут {х', у', 0}.

Предположим, что в плоскости xz дана кривая г - 4 = х^. Тогда параметрические уравнения каркаса рассматриваемой поверхности запишутся так:

г=4[{х-хГ + (у-уГ] + 4;

y-y={tgf)ixx)

или более подробно

k + yW+2i f [ k + k -f 12 V

2 = 4

;fe2 /j2 ц 24 + 12

+ У

+ 4;

Здесь 2k = tg так как плоскость, на которой берется кривая (/) для перевода ее-в кривую 1\ должна быть параллельна плоскости кривой Л.

Частные видй поверхностей конгруентных сечений можно получать за счет особенностей, накладываемых на выбор элементов геометрической части определителя и на перемещение образующей.

Поверхности параллельных конгруентных сечений. Рассмотрим случай, когда конгруентные сечения поверхности расположены в параллельных плоскостях. Включим в геометрическую часть определителя поверхности образующую / , расположенную в координатной плоскости XZ известного уравнения z = f {х). Ли-

нию г векторов г, ... построим так, чтобы она пересекала множество параллельных плоскостей а, ... Выбирая плоскость а,-,

будем переносить образующую / на вектор г^, соответствующий плоскости а,-. Получим поверхность Ф конгруентных образующих расположенных в параллельных плоскостях а, ...

Пусть векторы г ... задаются как векторы г [х (t), t, z{t)], где t - расстояние плоскостей а от плоскости xz. Тогда уравнения каркаса /, ... поверхности Ф запишутся следующим образом:

z-z{t) = f{[x-xm;y = t.

Линии хода т, ... поверхности Ф получаются из точек М, ... образующих / так же, как линия г - из начала координат (теми же мгновенными параллельными переносами на множество векторов

г, ...). Это означает, что линии хода т, ... конгруентны между собой. Таким образом, поверхность Ф представляет собой поверхность параллельного переноса с образующей / и направляющей г.

Зададим векторы параллельного переноса, начала которых находятся в начале координат, а концы описывают кривую, уравнения проекций которой

z = F,{x).

Тогда получим векторы параллельного переноса г [х', {х'), (х')). Параметрические уравнения каркаса поверхности парал-

леЛьного переноса будут иметь вид г - Р^{х) = f (х - л;); у = Fx (х'). Если образующая дана уравнениями своих проекций у = fi (х), Z = (х), то параметрические уравнения каркаса поверхности параллельного переноса запишутся так:

у-Fx (X) = /1 (X-X);

z-FAx) = fAx-x).

Линии -хода рассматриваемой поверхности получаются из кривой, описываемой (1), параллельным переносом ее на векторы, соответствующие хордам исходной образующей. Если начальная точка исходной образующей имеет координаты Хо и / (Хо),. то векторы параллельного переноса имеют вид г {х - Хо, О, / (х ) - f (Xq)}. Параметрические уравнения каркаса линий хода поверхности параллельного переноса можно записать следующим образом:

y = Fxlx-ix-x,)]; .

Z- [f{x )-f{Xo)\ = Flx-ix -Хо)].

Пример. Пусть исходной образующей является парабола = -4z, а геометрическое место конечных точек векторов параллельного переноса есть парабола у^ = 6 Z. Тогда векторы параллельного переноса будут иметь вид г {О, у, . Параметрические уравнения каркаса поверхности параллельного

переноса запишутся так: у^ х^

Первое из этих уравнений представляет собой уравнение косой плоскости, (гиперболического параболоида). Пусть в качестве образующей дана плоская кривая г = / (х); у = О, расположенная в координатной плоскости. Зададим векторы параллельного переноса, начала которых находятся в начале координат, а концы описывают плоскую кривую у = F (х), г = 0. Тогда получим векторы параллельного переноса г {xf ,Р (.), 0} - Параметрические уравнения каркаса поверхности плоскопараллельного переноса будут иметь вид г = f {х - х'), у = F (Jc). Если образующая пана уравнениями своих проекций у ~ fx (х), г= fi (х), то параметрические уравнения каркаса поверхности плоскопараллельного переноса будут иметь'вид:

у - F {х') fi (X ~ х'у, г= fiix - xf).

Линии хода точек образующей представляют собой горизонтали поверхности плоскопараллельного переноса. Можно составить параметрические уравнения линий хода рассматриваемой поверхности. Выделим с этой целью на исходной образующей точку. Тогда уравнения соответствующей линии хода запишутся так: у = F {х - х ); z = f {х ), где переменным параметром будет х .

Пример. Пусть исходной образующей является парабола х^ = -4 (z - 6) с параметром, равным 2, вершиной в точке р (О, 6), с осью симметрии отрицательного направления оси г. Пусть геометрическим местом конечных точек векторов параллельного переноса является парабола х = ]2у. Тогда параметрические

уравнения каркаса образующих поверхности плоскопараллельного переноса запишутся так:

{х - = -4 (г - 6); . у = ±.{ху.

Параметрические уравнения линий хода этой поверхности будут иметь следующий вид:

У=-{х-хГ;

z =--

Поверхности параллельного переноса. Поверхностью параллельного перенбса называется поверхность, образованная параллельным переносом образующей. Пусть в качестве образующей

дана плоская кривая г = f {х), г/ = 0. Если линия г векторов г выбрана так, что она расположена в плоскости ху, то линии хода т, . . поверхности Ф будут горизонталями, конгруентными г. Поверхность Ф в данном случае будет поверхностью параллельного переноса с конгруентными горизонталями т, ... Если линия г будет прямой линией, мы получим цилиндрическую поверхность. Уравнения каркаса образующих / ... поверхности с конгруентными горизонталями будут иметь вид

zf Ix-xit)]; у = t.

Для случая цилиндрической поверхности уравнения запишутся так: Z - z{t) = f[x - х {t)], у = t, где величины t, X {t), z {t) будут пропорциональны и связаны уравнением

= = -77t-. Последнее объясняется тем, что все векторы г

X (1) t Z [tj

в этом случае лежат на одной прямой, проходящей через начало координат.

Каркасные поверхности обкатки. Перейдем к рассмотрению частного вида поверхностей конгруентных сечений, когда плоскости сечений образуют однопараметрическое семейство плоскостей, касательных к горизонтально проецирующему цилиндру. Пусть горизонтально проецирующая поверхность задана уравнением своего горизонтального следа п, имеющего вид у = у (х). Уравнение плоскости v iy) определится как уравнение прямой Vj, касательной к кривой п, и будет иметь вид

У

где Хх и Ух - координаты точки касания.

Пусть векторы переноса г задаются как векторы г \х (t); у {ty, z{t)]. Образование поверхности Ф будем осуществлять по следующей схеме.

1. Образующую I , заданную в плоскости zx уравнением Z = / (х), размножаем в меридианы Г поверхности вращения Ф' с осью Z. Уравнения каркаса меридианов /, ... будут иметь вид Z = f {V + У^), У - kx, где k = tg t, а t есть угол поворота плоскости а из положения плоскости хг.

2. Выбираем в семействе плоскостей v (v) плоскости, параллельные плоскостям а (а^). Условием параллельности этих плоскостей будет равенство - = /г.

3. Подвергаем меридианы Г, ... поверхности Ф' параллельному переносу-каждый из плоскости в параллельную ей плос-

>

кость Vl на вектор г, координаты которого определяются параметром t. В результате получим поверхность Ф меридианов / ...

Уравнения каркаса меридианов /, ... поверхности Ф будут иметь вид

z-z{t)=f{V[x-x it)? 4- iy-y(m%

Линии хода т, ... поверхности Ф получаются из параллелей т' поверхности вращения Ф' теми же мгновенными перено-

сами, какими линии г векторов г получаются из начала координат. Уравнения их имеют вид

1х - X (t)] + [у - у it)] = г^;

z-z{t) = K

где h я г связаны уравнением h = f (/-), соответствующим уравнению образующей / . Полученные описанным выше способом поверхности Ф будем называть поверхностями проецирующих конгруентных сечений.

Возьмем в качестве кривой г развертку кривой п, т. е. ее эвольвенту. Пусть уравнение эвольвенты имеет вид у = F (х). Решая совместно уравнения семейства плоскостей Vj, ... и уравнение эвольвенты, найдем точки, соответствующие концам век-

торов г для значений параметров t. После этого легко составим уравнения каркаса образующих I, ... поверхности Ф. В данном случае поверхность Ф будет представлять собой ротативную поверхность. Если в качестве кривой г взять негоризонтальную кривую, проецирующуюся в развертку кривой п, то получим спироидальную поверхность. Если кривая г будет горизонтальной, но не будет при этом совпадать с разверткой кривой п, получим поверхность плоскопараллельного переноса.