- м КМ.

Основные принципы статистической линеаризации иллюстрируются блок-схемами на рис. 3.3-1.

Безусловно, принцип суперпозиции не применим как к статистически линеаризованным системам, так и к любым другим линеаризованным системам.

Отметим, что если функция g(u) двузначна, в общем случае должна быть известна двумерная плотность вероятностей Р2(и, и). При этом

go= ] ] giu)p2iu, u)diidu,

- оо -со

оо оо

-оо -оо

J J (и - /я )2 Р2 (и. и) du du

оо -СО

J J (и-Ша) g (и) Р2 (и. и) du du

(3.3-11) (3.3-12)

- оо -ОО

J J (гг -/я )2 Р2 ( . u)dudu

(3.3-13)

- оо -оо

Часто, однако, ргС , й)=р(и) и можно использовать более простые формулы. В заключение заметим, что для уменьшения ошибок вычисления в обоих методах в качестве эквивалентного коэффициента усиления иногда берут среднее арифметическое значение

Кл = т(К, + Ку). (3.3-14)

3.4. ПРИМЕРЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

Пример 1. Определим коэффициент усиления Kv для элемента, заданного нелинейным уравнением у = g{u) = aiU +а^и^

при сигнале с математическим ожиданием /?г„=0.

Предполагая распределение нормальным, из уравнения (3.3-10) находим

К у = J ( 1 + 33е- ° du.

так как в данном случае

В результате получаем

Kv = = 1 + Зез4.

Общая описывающая функция имеет вид

N{B) = 1 + 4 3-Среднеквадратичная величина от Bsinco равна

Для сравнения двух методов достаточно рассмотреть

Ку{В1у'2) = а,Л-аф\

Пример 2. Определим статистическую описывающую функцию ограничителя с коэффициентом усиления K.N=k/b (рис. 3.4-1, й). Пусть переменная и имеет нормальное распределение с математическим ожиданием ти = 0 на входе нелинейного элемента (рис. 3.4-1,6). Плотность вероятностей выходной переменной у (рис. 3.4-1, в) совпадает с плотностью вероятностей сигнала и при значениях аргумента вплоть до насыщения ±k- Если сигнал проходит через нелинейный элемент

без искажений. Если же \и\>Ь, выходная переменная будет принимать всегда значения между ±k, причем знак должен выбираться из неравенства иу>0. Вероятность y=±k равна (0,5 -/О, где

л = .f p{ti)dti = J p{u)du.

Величину 0,5-/i необходимо обязательно учитывать, так как равенство

Выполняется только в этом случае. Так как в данном примере Щ = 0, то Км не имеет смысла. Для вычисления коэффици-

ента усиления Ks требуется определить дисперсию о^:

о| = 2К% [ (и) du + Khb-

о

--p{u)du о

После подстановки нормальной плотности вероятностей получаем

4 = -р^ f ue-du + 2Khb-\\ - ( e-K du

Коэффициент усиления Kv определяется методом, использованным в предыдущем примере. В данном случае g(u)-

а

Рис. 3.4-1. Схема ограничителя и плотности вероятностей входной и выходной

переменных (пример 2).

кусочно-дифференцируемая функция и dg(u)ldu = Kn, если -й<и<6, и dg(u)ldu = 0 в противном случае. Применяя формулу (3.3-10), имеем

Непосредственное вычисление интеграла невозможно, однако заменой v=u/au его можно свести к так называемой функции ошибок

е--*/2 dx.

таблицы которой хорошо известны (табл. 3.4-1) и которая широко используется в теории вероятностей. Таким образом.

Аналогично

x/i+2(4-l).(A) ()

На рис. 3.4-2 приведены зависимости коэффициентов усиления Ks{ou) и Ку(ак) от ajb (в предположении, что Kjv=l). (При

0.8 0.6

1.0 г,о 6и/Ь

Рис. 3.4-2. Сравнение гармонической и статистической описывающих функций.

КиФ\ ординаты нужно умножать на Kw.) Для сравнения на том же рисунке приведены графики N{au) и (l2o ) гармонических описывающих функций (пунктирные линии). За исключением начальной области, эти графики почти совпадают с кривой Ks и не сильно отличаются от кривой Kv-

Таблица 3.4-1

Функция {V) -

2 dx

Продолжение табл. 3.4-1

в табл. 3.4-2 приведены входные и выходные плотности вероятностей для некоторых типичных нелинейностей при математических ожиданиях входной переменной гпи=0 и гпиФО. В за-табулированных случаях Kn произвольно. Отметим, что если Kjfl (например, Kn=\0), нелинейность можно свести к усилителю с коэффициентом усиления /(=10 и нелинейности с коэффициентом усиления Kn=1- При этом пороговые значения нелинейностей также должны быть изменены. Например, при заданной полосе пропускания rf=l можно заменить Kn=10 на усилитель с Ка=10 и нелинейность с rf= 10 и Kn=1.

Задача. Определить статистический коэффициент усиления Км полезной составляющей сигнала в предыдущем примере, если входная переменная имеет нормальное распределение и математическое ожидание ти- Вычислить также коэффициенты усиления Ks и Kv-

Пример 3. Определим с помощью статистической линеаризации эквивалентный коэффициент усиления для идеального реле, когда y=ksgnu. Так как нелинейная характеристика является центрально-симметричной. Км вычисляется из уравнения (3.3-2):

- ОО и

Сделав замену (и - rajcs = х, получим

e-idx-

V2n I

Введем функцию ошибок:

Аналогично из уравнения (3.3-4) получим

Таблица 3.4-Е

Нелинейная характеристика

Плотность деролтностейпри т^=и

бзмдьово сигнала Выходного сигнала

Плотность Веролтностей при т^ФО

Входного сигнала Выходного сигнала

-Ь

-f --к

t/2-l

Ь и -к

-к

-к

-к

-к к

Р(!/)

У К,

\Р(У) Z-I й 2-1-

и -К \ к у

-л

к У

ItP(y)

и -к I к у

Выполняя еще раз замену (и - т„)/а„ = х в уравнении (3.3-3), получим

а

и

Замечание 1. Помимо функции ошибок, выше были использованы соотношения

J хе- 2с?х = - е-Ц^ = 1 - е- ,

и и

J xe-ix = - хе-2 ( -Ь J -2с?х=- е- /2 --1/2¥ ( ). о о

Замечание 2. Интеграл ошибок часто встречается в виде

Очевидно, после замен у^=х^/2, dy = dx/y 2 и w = v/\/2 получим

Фiw) = j. е-/2сГх = 2(l/2m),

f() = yJe-/2c?x = : I -у^Ф(/1/2),

Нередко полезным оказывается разложение в ряд функции ошибок Ф{ш):

Ф И = 717 ( 1! - зЛГ +-бТгГ - т:зг + ;

где (2/г)11 = 2 (л!).

3 2!! 5 4!!

7 . 6!

+ ...)

3.5. УПРОЩЕННЫЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ЛИНЕАРИЗОВАННОГО КОЭФФИЦИЕНТА УСИЛЕНИЯ

Из соотношений, полученных до сих пор, видно, что для определения линеаризованных коэффициентов усиления должна быть известна плотность вероятностей случайной переменной, действующей на входе нелинейного элемента.

Вычисления упрощаются, если входная переменная имеет нормальное распределение. В общем случае для непрерывного распределения с плотностью вероятностей Pi(u) можно получить разложение в ряд по ортонормированным функциям, исходя из нормального распределения

где

А ( ) ==Piti)+ bii (w) p (и).

(3.5-1)

(3.5-2)

является нормальной составляющей плотности вероятностей входного сигнала, о„-стандартное отклонение, Я, (м)-полиномы Чебышева-Эрмита и

bi j Hi (и) А {и) du, /=1,2,... . (3.5-3)

Для центрально-симметричной функции коэффициенты 6< равны

s =

4-10-1-

где

(3.5-4)

является /-М центральным вероятностным моментом. Если 02=0, то 2=0. и ряд начинается с третьего члена.

Используя эти соотношения, а также ранее полученные, линеаризованные коэффициенты усиления монсно записать