Метод Дуке дает значительно более точные результаты, чем метод Цыпкина, так как для него взято 10 точек подсчета вместо двух. Однако следует помнить, что сам метод описывающих функций является приближенным и поэтому при определении описывающий функций не надо требовать особой точности.

Таблица 2.6-1

Отметим, что метод Дуке можно применить также для вычисления коэффициента Л,

2п

Л, = - j g{Bs\u. (ui) cos (ut dmi.

После подстановки h = 6sinM найдем

г в о -в о

д=

ОБО -В

(2.6-8)

. (2.6-9)

Видно, что Л] пропорционально площади петли гистерезиса. При обходе петли в положительном направлении площадь отрицательна. Из-за этого основная составляющая выхода запаздывает относительно синусоидального входного сигнала.

Если функция g{u) нечетная (g-g = -gi, g = - 2).

в

A=(g,-g-2) . (2.6-10)

Естественно, если g{u) однозначна, то петля гистерезиса отсутствует и Л, = 0.

Пример 1. В примере разд. 2.3 величина Л, равна

Этот же результат получается также с помощью уравнения (2.6-10) и рис. 2.2-3:

2.7. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА

Из методов гармонической линеаризации метод описывающих функций является наиболее важным в теории управления. Однако иногда используют также метод гармонического баланса [1, 64, 65*, 66*, 115*], с помощью которого можно определить возможность существования предельного цикла, но нельзя установить, сходится или расходится этот цикл.

Метод состоит по существу в подстановке выражений к = - Bsmfitt, = 0)5cost!)/, м == - a)2iBsin0)/ и т. д. в однородные нелинейные дифференциальные уравнения, отбрасывании высших гармоник и приравнивании нулю коэффициентов при синусах и косинусах. При этом получаются условия, которые определяют амплитуду Bl и частоту предельного цикла. Вопросы сходимости и расходимости предельного цикла должны решаться отдельно.

Пример. В примере разд. 2.2 предположение х=0 привело к гармонически линеаризованному уравнению

- is?B sin О)/ - е 1 - тВ cos св/ -Ь 5 sin Ы = 0.

Условия гармонического баланса имеют вид

(1-0)2)5 = 0,

(1-4) 5 = 0.

Следовательно, условиями предельного цикла будут Bl = 2,

0)i = 1,

Так как =Bsincuf, то гармонически линеаризованное дифференциальное уравнение в данном случае можно также записать в виде

-e(l-) W+к = 0.

2.8. ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИИ СОСТОЯНИЯ

Метод гармонической линеаризации, описанный в предыдущем разделе, можно обобщить также на линеаризацию уравнений состояния [115*].

Начнем с однородного нелинейного векторного дифференциального уравнения

x = Ax-bg(x). (2.8-1)

Предположим, что g(x)-нечетная нелинейная функция, т. е. каждая из ее составляющих является нечетной функцией

g(0) = 0, g-O, О, 0) = 0, (2.8-2)

g(-x) = -g(x), gi(-xi, -Хг, -x )==-g,(x 2, .... х„)

(/=1, 2, .... /г). (2.8-3)

Найдем линеаризованное векторное уравнение

X = Их + Кх, (2.8-4)

в котором компоненты Н^ф, ш) и Кц{Ь, ш) являются функциями амплитуд Bi, т. е. функциями вектора амплитуд b = = [Bi, В2, ..., Bl и частоты ш. Компоненты вектора х заменяются последовательно величинами

= Bi (sin Ы + Фг), = О (г = 1, 2, .... /г). (2.8-5)

Таким образом, после подстановки в нелинейную функцию: g(x) и отбрасывания высших гармоник получаем

gi (Bi sin В„ sin Ы + ==: Qi sin (mf + cp,i) =

= Вц sin wt + Ац cos Ы, (2.8-6)

где коэффициенты = Qi cos ifn и АцСцбгп^ц можно определить в данном случае по формулам

= 4 I Si (1 sin .....В„ sin {Ы + ф„)) sin Ы с1Ы, (2.8-7)

о

Лл = 4 f gi (1 sii о^ 6 sin ((вг! + ф„ )) cos (вг! й?(в^. (2.8-8)

о

С помощью этих выражений получаем коэффициенты Ни и Ку.

Я„ = а,+-, (2.8-9)

Кг = (2.8-10)

Яу = ау (у = 2, 3. п), (2.8-11) А: = 0. (2.8-12)

Нелинейные векторные составляющие g,-(х) часто представ ляют собой суммы нелинейных функций отодной переменной:

и

gi (X) = gi {xi, ... , X J = 2 gij (Xj). (2.8-13)

В этом случае

fif - и ]gu (у sin (ш/ + ф,)) sin + 6,.) йш/, (2.8-U)

о

= f (/ Sin (ш^ + ф,.)) cos (ш^ + bj) dwt. (2.8-15)

Устойчивость гармонически линеаризованной системы можно установить, исследуя корни характеристического уравнения

D (5) = IН + 5К - 511 = 0. (2.8-16)

При использовании критерия Рауса - Гурвица нет необходимости вычислять корни. В данном случае детерминанты Гурвица зависят от амплитуд Bj. Для линейных систем последний детерминант Гурвица, кроме Hn-i, обычно допускает нулевую величину, и, следовательно, характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня. В этом случае лучше всего начертить поверхность Hn-i = 0 в параметрическом пространстве коэффициентов Нц, Кц и определить, пересекает ли эту поверхность кривая, полученная изменением амплитуд Bj в области 0<Ву<оо. Если пересечение происходит, а другие детерминанты Гурвица положительны, предельный цикл генерируется. Если пересечения не наблюдается, то в зависимости от того, располагается ли кривая в области Я„-1>0 или Я„-1<0, имеет место устойчивость или неустойчивость при условии, что другие детерминанты положительны. В общем случае данный метод довольно сложен для практического применения.

Пример. Рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля в виде уравнений системы в фазовых переменных

Хо Х- 1 £.9 ХхХ^.

Единственная нелинейность £21(1, Х2)=-Хг зависит от двух переменных. Таким образом, с помощью представления

(2.8-14) для случая многих переменных имеем

Яз! = - 1 - -щ^ J (1 sin <ot X В2 sin -Ь t}j2)) sin wt с1ы.

или

21 = -1--cosfe

a с помощью выражения (2.8-15) находим

2л

21 = - 1 j (1 sin2 X 62 sin (ш^ -Ь cos w/f ш/,

или

А21 =--зшФг-

Так как Хг = Xj, получаем 62 = i. = /2, Н21 = - 1, /С2,= -e6i/4. Гармонически линеаризованное фазовое уравнение в этом случае имеет вид

X-i = Хп,

Хг=-х,Л-{\-Щ-)х2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гольдфарб Л. С. О некоторых нелинейностях в системе регулирования. Автоматика и телемеханика, 1947, 8, № 5.

2. Tustin А. The Effects of Backlash and Speed-Dependent Friction on the-Stability of Closed-Cycle Control Systems. J. [EE. 1947, 94, Pt. If, pp. 143-151.

3. Tustin A. A Method of Analysing the Effect of Certain Kinds of Nonli-nearity in Closed-Cycle Control Systems. J. lEE, 1947. 94, Pt. Ila, pp. 152-160.

4. Oppelt W. ijber die Stabilitat unstetiger Regelvorgange, Elektrotechnik, 1948, 2, pp. 71-78.

5. Oppelt W. Uber Ortskurvenverfahren bei Regelvorgangen mit Reibung, Z-V£)I, 1948. 90, pp. 179-183.

6. Kochenburger R. J. A Frequency Response Method for Analyzing and Synthesizing Contactor Servomechanisms. Trans. AIEE, 1950. 69. Pt. If, pp. 270-284.

7. Johnson E. C. Sinusoidal Analysis of Feedback Control Systems Containing Nonlinear Elements, Trans. AIEE. 1952, 71, Pt. II. pp. 169-181.

o. Nichols N. B. Backlash in a Velocity Lag Servomechanism, Trans. AIEE,

1953. 72, P(. II. pp. 462-466. . Loeb J. M. A General Linearizing Process for Nonlinear Control Systems

P книге Automatic and Manual Control. Acadeinic Press. 1952. pp. 275-283.

10. Loeb J. M. Recent Advances in Nonlinear Servo Theory, Trans, ASME, 1954, 76, pp. 1281-1289.

11. Oreif H. D. Describing Function Method ot Servomechanism Analysis Applied to Most Commonly Encountered Nonlinearities, Trans. AIEE, 1953. V. 72, Pt. II. pp. 243-248.

12. Kochenburger R. Limiting in Feedback Control Systems, Tmns. AIEE. 1953. 72, Pt. II, pp. 180-194.

13. West J. С Douce J. L. The Frequency Response of a Certain Class of Nonlinear Feedback Systems, British I. Appl. Phys.. 1959. 5, pp. 204-209.

14. McRuer D. Т., Halliday R. C. A Method of Analysis and Synthesis of Closedloop Servo Systems Containing Small Discontinuous Nonlinearities, Trans. IRE РОСТ. 1954, CT-1, pp. 19-34.

15. Orensted P. E. W. The Frequency Response Analysis of Nonlinear Systems. Proc. lEE. 1955, 102, Part C, pp. 244-253.

16. Magnus K. Uber ein Verfahren zur Uritersuchung nichtlinearer Schwin-gungs-und Regelungs-Systeme. VDI Forschungsheft 451. VDI-Verlags Dijs-seldorf. 1955.

17. Saiyendra K. N. Describing Function Representing the Effects of Inertia, Backlash and Coulomb Friction on the Stability of an Automatic Control System, Trans. AIEE. 1956, 75, Pt. II, pp. 243-249.

18. Chao S. K. Design of a Contractor Servo Using Describing Function Theory. Trans. AIEE. 1956, 75, Pt. II, pp. 223-231.

19. Klotter K., How to Obtain Describing Functions for Nonlinear Feedback Systems. ASME, IRD Paper № 56-IRD-5, 1956.

20. Silberberg M. Y. The Describing Function of an Element with Friction, Trans. AIEE. 1956. 75, Pt. II. pp. 423-425.

21. Zaborszky J., Harrington H. J. Describing Function for Hydraulic Valves, Trans. AIEE, 1957. 76, Pt. I, pp. 183-198.

22. Stein W. A.. Thaler O. J. Obtaining the Frequency Response Characteristics of a Nonlinear Servomechanism from an Amplitude, and Frequency Sensitive Describing Function, Trans. AIEE. 1958. 77, Pt. II, pp. 91-98.

23. Oronner A. D. Describing Function of Backlash Followed by Dead Zone, Trans. AIEE. 1958, 77, Pt. II. pp. 403-409.

24. Sridar R. A. General Method for Deriving the Describing Fungtions for a Certain Class of Nonlinearities, IRE Trans. Autom. Control. 19 60. AC-5-.

pp. 135-141.

25. Ras3 R. W. Mathematical Legitimacy of Equivalent Linearization by Describing Functions, Proc. First Congress IFAC, Moscow, 1960, Butter-worth, 1961.

26. Цыпкин Я. 3. О связи между эквивалентным коэффициентом усиления нелинейного элемента и его характеристикой. Автоматика и телемеханика. 1956, 17, № 4, стр. 664.

27. Стеклов В. К. О квадратурах. Известия Российской Академии Наук, 1918, 6, стр. 1877.

28. Douce J. L. А Note on the Evaluation of the Response of a Nonlinear Element to Sinusoidal or Random Signals, lEE Monograph, 257 M, 1957.

29. Stout T. M. Block Diagram Transformations for Systems with One Nonlinear Element, Trans. AIEE. 1956, 75, Pt. II. pp. 130-139.

30. Cosgriff R. L. Open Loop Frequency Response Method for Nonlinear Servomechanisms, Trans. AIEE. 1953, 72, Pt. II, pp. 222-225.

31. Thomas C. H. Stability Characteristics of Closed-Loop Systems with Dead Band, Trans. ASME, 1954. 76, pp. 1365-1382.

32. Oille J., Wegrzyn S. Une condition suffisante de stabilite pour asservies-sements nonlineaires, Automation. 1961, 6, pp. 89-93.

33. Schmidt S. F. The Analysis and Design of Continuous Sampled Data Feedback Control Systems with Saturating Type Nonlinearity, NASA TN D-20, Washington, 19й9,

34 Schulind D. Accuracy Reguirements oi Nonlinear Compensation for Baclc-lash, IRE Trans. Autom. Control, 1960, AC-5.

35 McDonald D. C. Backlash Compensation Improves Servo System Opera- tion. Instruments and Automation, 1955, 28, pp. 1728-1731.

36 Neiswander R. S., MacNeal R. H. Oprimization of Nonlinear Control Systems by Means of Nonlinear Feedbacks. Trans. AIEE. 1953, 72, Pi. II. pp. 260-272.

37. Shen C. N. Synthesis of Compensating Servomechanism with Backlash by Incorporating Nonlinear Saturable Velocity Feedback. Proc. First Congress IF AC. Moscow 1960. Butterworths 1961.

38. Ivaiioff A. Theoretical Foundations of the Automatic Regulation of Temperature. J. Instr. Fuel, 1934, 7, pp. 117-130.

39. Klotter K. An Extension of the Conventional Concept of the Describing Function. Proc. Symp. on Nonlinear Circuit Analysis. Brooklin Polytechnic Inst.. 1956.

40 Obson J. E., Parasanna, Kumar K- S. A New RMS Describing Function for Single Valued Nonlinearities, Proc. IRE, 1961. 49, p. 1321.

41. Gibson J. E., Hill J. C. Ibrahim E. S., Di Tada E. G. Describing Function Inversion: Theory and Computional Technical Report TR-EE 62-10, Control and Information. Systems Laboratory, School of Electrical Engineering. Purdue Univ.. Lafayette. 1961.

42. Csaki F., Kovacs T. Some Remarks on the Inverse Describing Function Acta Technical AC. Sci. Hung.. 1969. 65, № 1-2, pp. 7-16.

43. Levinson E. Some Saturation Phenomena in Servomechanisms with Emphasis on the Tachometer Stabilized Systems, Trans. AIEE, 19.53, 72, Pt. II pp. 1-9.

44. Prince L. T. A Generalized Method for Determining the Closed-Loop Frequency Response of Nonlinear Systems, Trans. AIEE, 1954, 73. Pt. П. pp. 217-224.

45. Ogata K. Analytic Method for Finding the Closed-Loop Frequency Response of Nonlinear Feedback Control Systems. Trans. AIEE. 1957, 76 Pt. II, pp. 277-285.

46 Stein W. A., Thaler O. J. Obtaining the Frequency Response Characteristic of a Nonlinear Servomechanism for an Amplitude- and Frequency-Sensitive Describing Function. Trans. AIEE, 1958, 77, Pt. II. 91-96.

47. Mc Allister A. S. A Graphical Method for Finding the Frequency Response of Nonlinear Closed-Loop Systems. Trans. AIEE. 1961, 80, Pt. IL pp. 268-277.

48. Hill J. C. Closed-Loop Response of Nonlinear Systems by a Functional Transformation Approach. IRE Trans. Autom. Control, 1962. AC-7, № 4. pp. 39-45.

49. West J. C. Nikiforuk P. N. The Frequency Response of a Servomechanism Designed for Optimum Transient Response. Trans. AIEE. 1956. 75, Pt. II. pp. 234-239.

50. Bhattacharyya B. P. Describing Function Expressions for Sine-Type Functional Nonlinearity in Feedback Control Systems. J. [EE. 1961. B-108, № 41. pp. 529-534.

51. Qasseriy G.. Truxal J. Q. Measurement and Stabilization of Nonlinear Feed-back Sistems. IRE Conv. Record. 1956. Pt. IV. pp. 52-60.

o2. Choudhoury A. K., Basu M. S., Mahalanabis A. K. A Transfer Function Analyzer for Linear and Nonlinear Components. Electron. Eng.. London, 1961. 33, pp. 382-385.

53. Clegg J. C. A Nonlinear Integrator for Servomechanisms. Trans. AIEE 1958. 77, Pt. II, pp. 41-42.

- Deekshatulu B. L. A Graphical Method of Evaluating the Describing Function. Trans. AIEE. 1962. 81. Pt, II. pp. 101-106.

55. Doiort 1. К. Harmonic Analysis by Direct Area Measurements, Trans. AIEE. 1956. 75, Pt. II. pp. 16-19.

56. Dutilh J. Theorie des servomecanismes a relais. Onde Elec, 1950. 30, pp. 43.8-445.

57. Freeman E. A. The Effect of Speed-Dependent Friction and Bacliiash on the Stability of Automatic Control Systems, Trans. AIEE, 1959. 78, Pt. II, pp. 680-691.

58. Haas V. В., Jr. Coulomb Friction in Feedbaci< Control Systems. Trans. AIEE, 1953, 72, Pt. II, pp. 119-126.

59. Hamos L. V. Beitrag zur Frequenzanalyse von nichtlinearen Systemen в книге Moderne Theorien und ihre Verwendbarkeit. Munich, 1957, pp. 211-215.

60 Harlel W. Abschatzung der Oberwellen bei gleichstromvormagnetisierten Drosseln. Arch. Electrotech., 1942. 36, pp. 556-572.

61. Jopling A. D.. Johnson R A. The Elliptic Describing Function, Proc. Joint Autom. Control Conf. Stanford, Calif.. 1964, pp. 175-184.

62. Kavanagh R. J. An Approximation to the Harmonic Response of Saturating Devices, 1. lEE. London, 1960, C-107, N° 11, pp. 127-133.

63 Kochenburger R. J. Analysis and Synthesis of Contactor Servomechanisms, Sc. D. thesis, MIT, Cambridge, Mass., 1949.

64. Krylov N.. Bogoliubov N. Introduction to Nonlinear Mechanics, Princeton Univ. Press. Princeton, N. J., Annals of Mathematics Studies, v. 11, 1947.

65. Ku Y. H.. Chen C. F. A New Approach to the Evaluation and Interpretation of Describing Functions. A EE Paper, CP61-1084, 1961.

66. Lakshmi-Bai C. Transformation Method for the Study of Nonlinear Components. Trans. AIEE, 1960, 79, Pt, II. pp. 249-254.

67. Lauber R. A New Method to Derive the Describing Function of Certain Nonlinear Transfer Systems, Proc. IFAC. Basel, 1963. pp. 188/1-188/5.

68. Levinson E. E. Nonlinear Feedback Control Systems, Pt. 3, Electrotech-nology, 1962, 72, pp. 136-146.

69. Levinson E. Oain-Phase Relations of Nonlinear Circuits, IRE Int. Conv. Record, 1958, Pt. IV, pp. 141-159.

70. Lory H. L., Lai D. C. Huggins W. H. On the Use of Growing Harmonic Exponentials to Identify Static Nonlinear Operators, IRE Trans. Autom. Control, 1959, AC-4, pp. 91-99.

71. Markow D. M. Harmonic Analysis and Describing Function of Nonlinear Systems, IRE Int. Conv. Record, 1961, Pt. IV, pp. 69-76.

72. McBride I. E., Jr. Approximate Describing Function for Double-Valued Nonlinearities. Electronics Letters, London, 1965, 1, № 3. p. 72.

73. Oppelt W. Locus Curve Method for Regulators with Friction, Z. Deut. Ing.. Berlin, 1948, 90, pp. 179-183.

74. Rankine R. R., Jr., DAzzo J. J. A Corrected-Conventional Describing Function for Intermediate-Order Nonlinear Control Systems, Proc. Northeast Electronics Res. Eng. Meeting, 1964. pp. 38-39.

75. Semmelhack H. P.. DeRusso P. M. A Nonsinusoidal Describing Function for Stiction and Coulomb Friction, IEEE Paper, CP63-921.

76. Silberg M. Y. A Note on the Describing Function of an Element with Coulomb, Static and Viscous Friction, Trans. AIEE. 1957, 76, Pt. II, pp. 423-425.

77. Tsypkin Ya. Z. Discussion of a paper by J. C. West, в книге Moderne Theorien und ihre Verwendbarkeit. Munich, 1957, pp. 163-164.

78. Von Wyss M. R. The Describing Function for Saturated Amplification in Series with Saturated Integration, SAAB Tech. Note 46, Saab Aircraft Company, Linkoping, Sweden, 1960.

79. West J. C. The Describing Function Technique Applied to Nonlinear Systems, Process Control and Automation. 1960, v. 7, Pt. I, pp. 421-426.

80. Захаров К. В.. Святодух В. К. Способ определения частотной характеристики нелинейных систем. Автоматика и телемеханика, 1960, 21, h 6, стр. 1630-1637.

81. ВбШвег А. Uber die Beschreibungsfunktion und ihre Umkehrung. Rege-lungstechnlk 1968, 16, H. 6, S. 249-252.

82. Ciscato D., Marchesini Q., Mariani L. Existence of Self-Sustained Oscillations in Relay-Type Systems with Hysteresis, Electronics Letters, 1968. 4, № 23. pp. 505-506.

83. Davison E. J. Application of the Describing Function Technique in a Sin-gle-Loop Feedback System with Two Nonlinearities. IEEE Trans, on Autom. Control, 1968. AC-13, № 2 pp. 168-170.

84. Nixdorff K. Zur Konvergenz der harmonischen Balance 1ш nichtregularen Fall. Regelungstechnlk. 1968. 16, H. 11. S. 506-509.

85. Miljan I. Anwendung der erweiterten Beschreibungsfunktion auf Regel-systeme mit impliziten Nichtlinearitaten. Messen. Steuern, Regeln. 1969, 12, H. 4. S. 145-149.

86. Rajagopalan P. K.. Mishra J. Dual-Input Describing Function of Double-Valued Nonlinearities., Proc. of the lEE, 1969. 116, № 10. pp. 1764-1768.

87. Jumarie Q. Nouvelle methode pour ameliorer la precision du premier harmanique. Int. J. of Control, 1970, 11, № 5, pp. 853-871.

88. Teodorescu D. Describing Function Series: a New Means for Nonlinear Control System Analysis, Proc. [EE, 1970, 117, № 11, pp. 2175-2180.

89. Wedlake W.. Vacroux A. O. A New Method for Finding the Frequency Response of Nonlinear Control Systems. IEEE Trans, on Autom. Control, 1970. AC-15, № 4, pp. 512-513.

3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ

В данном разделе рассматривается статистическая линеаризация типичных нелинейностей [1-4]. Известно, что при гармонической линеаризации нелинейный элемент линеаризуется в частотной области. Метод статистической линеаризации, или линеаризации при случайном входе, в некотором отношении аналогичен методу гармонической линеаризации, за исключением того, что по первому методу допускается стохастический (случайный) сигнал на входе вместо синусоидальной входной переменной и нелинейный элемент заменяется эквивалентным линейным. Статистическая линеаризация иногда называется методом статистических описывающих функций [49*, 75*, 119*]. Результат статистической линеаризации зависит от статистических характеристик случайного (стохастического) сигнала. Для простоты обычно предполагается, что сигнал имеет нормальное распределение [1-9].

Если сигнал на входе нелинейного элемента имеет нормальное распределение, распределение выходной переменной в общем случае не будет нормальным. Однако те линейные элементы, которые пропускают в основном низкие частоты, изменяют нерегулярное распределение, приближая его к нормальному, так что в результате управляемая переменная будет иметь квазинормальное распределение. Таким образом, и воздействующая переменная, связанная с эталонной переменной нормальным рас

пределением, и входная переменная нелинейного элемента будут иметь квазинормальное распределение, поэтому искажениями в выходной переменной можно пренебречь. Эти выводы аналогичны выводам для гармонической линеаризации, при которой, однако, могут быть корректно получены только основные результаты [1-44]-

3.1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Если статистическая характеристика нелинейного элемента разрывна, касательная аппроксимация неприменима, так как функцию нельзя разложить в ряд Тэйлора. В этих случаях можно использовать гармоническую линеаризацию. Рассмотрим теперь третий метод, который, подобно гармонической линеаризации, можно применять как для непрерывных, так и для кусочно-непрерывных нелинейных элементов. Он основан на определении статистически линеаризованных эквивалентных коэффициентов усиления и называется методом статистической линеаризации [1, 3].

На рис- 3.1-1 показано влияние простого нелинейного элемента без памяти с насыщением на случайный сигнал u(t), состоящий из полезного детерминированного сигнала mu(t) и шума nu(t), т. е. когда на полезную входную переменную mu(t) наложен шум nu(t). Таким образом, математическое ожидание, или среднее значение по множеству входных переменных, будет в точности равно mu(t), поскольку шум nu(t) является случайным сигналом с нулевым математическим ожиданием:

M{uii)) = m,{f), М( (0) = 0. (3.1-1)

Если в рассматриваемом случае входная переменная не содержит шума и mu(t) не достигает границы насыщения, полезный выходной сигнал ml (t) будет равен при коэффициенте усиления Kn= \ полезному'входному сигналу, так как ограничение не влияет на полезную составляющую. Однако из-за ограничений входная переменная u(i) появляется на выходе в искаженном виде, вследствие чего среднее значение tn(t) выходного сигнала y(t), показанное сплошной линией, будет отличаться от идеального среднего значения fn,j(t), равного полезному входному сигналу (показанному пунктирной линией). Чем больше шум, тем больше различие. Если шум становится очень большим, среднее значение входного сигнала будет стремиться к нулю, так как входная переменная имеет случайные флуктуации в пределах ±k. Следовательно, полезный сигнал практически не может проходить через нелинейный элемент. Другими словами, коэффициент усиления нелинейного элемента уменьшается при наличии шума.