Поэтому

Bi (В.

В

(2.2-17)

Из приведенного выше выражения следует, что описывающую функцию N(B, /со) нелинейного элемента можно трактовать так же, как и частотную функцию G{ja) линейного преобразующего элемента, за исключением необходимости учитывать зависимость от амплитуды В входного сигнала.

Отметим еще раз, что высшие гармоники не рассматриваются, так как допускается, что линейные преобразователи в значительной мере их подавляют. Следовательно, гармонические составляющие переменной от обратной связи можно считать пренебрежимо малыми.

Пример I. Найдем описывающую функцию нелинейности, имеющей вид простого ограничения или насыщения (рис. 2 2-2) [11, 12]. Такой вид приближенно имеют характеристики элек-

а-arc sin-=r

Рис. 2.2-2. Нахождение описывающей функции для нелинейности типа насыщения или ограничения.

тронного усилителя или со значительным упрощением кривые намагничивания железных сердечников. Пусть линейная часть имеет наклон Kn или, другими словами, пусть коэффициент усиления равен Kn. Синусоидальный сигнал с амплитудой В>Ь приводит к возникновению усеченного синусоидального выход-

ного сигнала

у = /СдгК = К^В sin Ы, О < < а;

у = /Сдгб, а < < 7Г - а;

у = /Сд, = /Сд,5 sin ее/, - а < ш/ < 7г

ИТ. д., где к представляет ограничение или насыщение и а= arcsin(fc/fi).

Коэффициент Ai, очевидно, равен нулю и

а к-а

B,==-KBsinwtdi>t + - Kjbsmo>tdo>i +

1С

+ 4 J К,В sinido>f.

После интегрирования и подстановки выражения для а получаем

. Ъ , b . b

arcsin -R- + -R- cos arcsin -g-

B В

Так как Л, = О, имеем С, = fi (р, = О и

/У(Д уш) = 4 /v [arcsin А + А- /i .] > ft,

т. е. описывающая функция данной нелинейности действительна и не зависит от частоты. Таким обра.зом,

2а + sin 2а

N(B)

B>b, B<b.

Коэффициент усиления линейного элемента, эквивалентного нелинейному, равен самой описывающей функции, которая для ограничения или насыщения (т. е. если В>Ь) всегда меньше, чем наклон Kn. Если амплитуда В не превышает величины Ь, задающей ограничение или насыщение, нелинейный элемент будет вести себя подобно линейному, и в этом случае его коэффициент усиления будет равен точно Kn. На рис. 2.4-1 (см. ниже) условие Ь/В'1 влечет за собой N(B)/Kn= 1.

Отметим, что найденная описывающая функция в пределе при KN-a, b 0, КмЬ -> k преобразуется [если принять во внимание, что arcsin {bJB)b/B] в описывающую функцию

идеального реле, задаваемого уравнением

Пример 2. Найдем описывающую функцию нелинейности типа гистерезиса, или петли [8, 17, 23, 35, 37] (рис. 2.2-3). При

(5-л;

Рис. 2.2-3. Нахождение описывающей функции для нелинейности типа гистерезиса.

изменении знака входного сигнала выходной не меняется для периода, во время которого имеет место обратный ход. Таким образом, при Bh

y=Kf{B sin is>t - h),

y=-K{B-h),

у = KiBsimat + h).

0 < u) < 7t/2; 7t/2 < u) < TT - a; TV - a < 0) < TC,

где

a = arcsin

B - 2h В

Следовательно, коэффициенты определяются следующими выражениями:

+ 41 л' + COS ш/ dwf,

iz-a

fij = 4 f KiBsin wt - h)sm соМш/ + 4 J Kj{B-h)smit,tdwi+

0 it/2

+ 4 I n(B sin 0)/ -b Л) sin iot dwt.

iz~-a

Вычисляя интегралы, находим

и

1 - Т f.fi [l+ ircsin (!-§-) +

Так как нелинейность неоднозначна, описывающая функция, не зависящая от частоты, является комплексной величиной

() = -H4-l)+[T + arcsin(l-)]4 -b4[l + arcsin(l-f)](l-f)/i-n

\ в BJ

arctg-

После алгебраических преобразований описывающую функцию можно записать в виде

Л'(5) = 4/С^[- + а-4(1+е^2 )

что совпадает с уравнением циклоиды.

Пример 3. Пусть дифференциальные уравнения системы управления с обратной связью имеют вид (без уравнения для

цепи обратной связи)

ы - е(1 - и^)и + и = X,

У + (hy + а,у + оУ = X.

Найдем описывающую функцию нелинейного элемента, характеризующегося дифференциальным уравнением Ван-дер-Поля

х~ а - в(\ - и?)и -\- и.

Пусть

м = 5 sin Ы.

Тогда

и = + 4iB cos <о^, м = - ч^В sin Подставляя эти величины в уравнение, получим

л: = (1 - 0)2)5sin Ы - - sin u))u)5cos Ы = = (1-ю') fisin vat - ею .в cos йt + &лB COS ы/-ewCOSco,

или

л; = (1 u)2) sin - 60) (1 - Я2) cos -

- ешз cos о)Л- 4- COS 3to) . Отбрасывая третью гармонику, получим

Xi = (1 - О) ) б sin 0) - 50) 5 1 - ~ cos w. Следовательно,

=(1-0)2)6, A, = su)fi(-f--l)

и окончательно

NiB, уЪ) = / (1 - 0)2) -f so) - О' / arctg .

Описывающая функция зависит как от амплитуды В, так и от частоты 03.

2-3. ОБОБЩЕННЫЕ ОПИСЫВАЮЩИЕ ФУНКЦИИ

Допустим, что кривая y=g(u) нелинейного усгройства несимметрична. В этом случае коэффициенты Ло, Ai, Bi уравнения

(2.2-2) можно найти с помощью хорошо известных формул, используемых для определения коэффициентов разложения в ряд Фурье:

Ao = ~j g{Bsmiiyt)diot, (2.3-1)

Л„ == 4 j s ) (2.3-2)

0 2k

>: B = g{Bsin Ы) sin 0)/rfiu/. (2.3-3)

Допустим такл?е, что характеристики, связывающие вход и выход, тоже несимметричны. Поэтому интегрирование проводится по всему интервалу от О до 2я.

Описывающая функция опять равна

N(B) = q(B)+jV(B). (2.3-4)

Для выходной переменной можно написать приближенное выражение [111*, 119*]

y(t)cAo + q (В) В sin Ы + q (В) В cos Ы, (2.3-5)

или

у (О А, + q{B)u{t) + 9 () (2.3-6)

Кроме того, если входной сигнал содержит постоянную составляющую и

u(t) = U + Bsiniot, (2.3-7)

приближенное выражение для выходного сигнала примет вид

у(0-Ло(5, U) + q(B, U)Bsinwt + q(B, U)Bcosii>t,

(2.3-8)

где

A,{B, U)= g{U + В sin wt}dwt, (2.3-9)

q{B, U)= g(U + Bsiniot)siniotdmt, (2.3-10)

0 2k

g{B, t/) = J g{U + В sin Ы) cos 4>tdiot. (2.3-11)

Следует отметить, что первую составляющую можно также представить в форме

АЛВ, U) = q,{B, U)U, (2.3-12)

где

2-к

q, {В, U)[ g{U + В sin ш1) dwt. (2.3-13)

о

Эти сложные описывающие функции используются редко.

2.4. описывающие функции некоторых простых нелинейностей

Ниже приводятся описывающие функции некоторых простых нелинейностей [47*, 48*, 50*, 51*, 111*]. Они не рассматриваются подробно. В табл. 2.4-1 представлены их статические характеристики, форма их выходных сигналов для синусоидального входного сигнала и, наконец, сами описывающие функции сначала для однозначных, а затем для многозначных нелинейностей. Описывающие функции приведенных в таблице нелинейностей не зависят от частоты, так как нелинейный элемент задается обыкновенным уравнением или кривой, а не дифференциальным уравнением [3, 6-25]-

На практике в большинстве случаев зависимость от амплитуды и фазового угла для описывающей функции изображается графически, поэтому ниже для наиболее важных нелинейностей, встречающихся на практике, описывающие функции представляются в такой форме. Для удобства пользования выражения даны для величины, обратной амплитуде В.

Насыщение или ограничение. Описывающая функция

(Б) = А /с Jarcsin4- + - /l - (4-)

В>й (2.4-1)

действительна, как это мы видели выше. На рис. 2.4-1 приведена зависимость описывающей функции N(B)iKn от относительной величины Ь/В. Выражение N(B)/Kn часто называют нормализованной описывающей функцией.

Если В^Ь, система линейна с коэффициентом усиления Kn. При возрастании амплитуды В входного сигнала описывающая функция N(B) постепенно убывает.

Зона нечувствительности, холостой ход или порог. Описывающая функция

с) - 4[т-- ш 4--4-

B>d (2.4-2)

кулоново трание

Насыщение; сграничение

Тип

нелинейности

Статические трстщзштиии

Вид Ьыхвдного

ВтсьЛщищая функция N(B)

(Xarcsin blB

Трехпозиционное реле с зоной не чубстбительиости

Жги

Иашщение с зоной иечувстбитель' нести

-к

0, если 8<d a-arcsin t 8

0, ecmi B<d

Зона mvuBcmSu-memHocmuI. у:олестой xo 1. OS I

0, если £<d

Зона нечувствительности п.

порог i

с, если Bd

P,§-c<*)t.d.B

Отрицательный дед)ент

/Г„----к

Ступенчатость

о, если В<йЫ2

o:,-arcswbbfiB, a-ircmS,

Переменный

козд;{риииент

усиления

се иге sin bfB

Ддухпозиционное реле с гистере -зиссм

ti<B

О, если 6<-Ь (i)Lo есм ll.B а= arcsin h/3

Гистерезис

если В<Ь

\*Bf larcigJBecM hB

Трешозиционное реле с гистере -зиссм

О а fir\ \гзг

Отрицательный дефект

of.orcsin Ь/В

действительна. На рис. 2.4-2 приведена зависимость нормализованной описывающей функции N(B)/Kn от относительной величины d/B. Описывающая функция нигде не превышает коэффициента усиления Kn- Чем больше амплитуда В входного сигнала, тем лучше описывающая функция К(В) аппроксимирует Kn.

Отрицательный дефект. Описывающая функция

(2.4-3)

действительна.

На рис. 2.4-3 приведена зависимость нормализованной описывающей функции N(B)/Kn от величины k/BKN- В данном

Рис. 2.4-1. Описывающая функция насыщения или ограничения.

случае описывающая функция N(B) всегда превышает коэффициент усиления Kn, и это превышение особенно значительно при малом входном сигнале. С ростом амплитуды В описывающая функция приближается к Kn-

Двухпозициоиное реле с гистерезисом или коленчатый рычаг. Описывающая функция

N{B) = ~-I- arcsin-, B>h (2.4-4)

комплексная. Если гистерезис отсутствует (/г = 0), фазовый угол акже равен нулю и изменяется только абсолютная величина

4 k

N[B)=

В

(2.4-5)

0,8 0,6

г

0,2 О

0,г 0,4 0,6 0,8 1,0

в

Рис. 2.4-2. Описывающая функция нелинейности с зоной нечувствительности. 5,0

Рис. 2.4-3, Описывающая функция отрицательного дефекта.