и вблизи нее первые частные производные нелинейных функций конечны, непрерывны и однозначны. Поэтому нелинейные функции

/i = /1 (- 1, -2, ... , х„)

: (1.6-4)

ИЛИ нелинейную векторную функцию

t = f(x) (1.6-5)

можно линеаризовать, используя первые два члена ряда Тэйлора (так называемое первое приближение ).

Отбрасывая члены высших порядков, получим приближенное уравнение линеаризованной модели нелинейной системы

Ах, (1.6-6)

м

AfAAx, (1.6-7)

где элементы матрицы А равны Aji = дfjjdxi.

Первая теорема Ляпунова об устойчивости утверждает [79*-81*], что если нелинейная система заменена линейной моделью первого приближения и полученное при этом характеристическое уравнение дифференциального уравнения

Дл:( ) = А/(Дх, Ai, ... , Дх( -1)) (1.6-8)

или векторного дифференциального уравнения

Ах = А Ах (1.6-9)

имеет корни с ненулевыми действительными частями, то вопрос об устойчивости нелинейной системы всегда можно решить на основе линейной аппроксимации (т. е. члены высшего порядка не влияют на устойчивость).

Таким образом, если корни характеристического уравнения скалярного (или векторного) дифференциального уравнения системы, полученного с помощью линейной аппроксимации, отрицательны или имеют отрицательные действительные части, то нелинейная система устойчива, т. е. если она отклоняется от своей рабочей точки равновесия, она вновь возвращается в нее. Если же некоторые из корней положительны или имеют положительные действительные части, нелинейная система неустойчива, т. е. если она отклоняется от своей рабочей точки, она никогда не возвращается в положение равновесия.

Если действительная часть какого-либо корня равна нулю, данный критерий применять нельзя. В этом случае устойчивость

может зависеть, например, от направления смещения. В технике управления корни с действительными частями, близкими к нулю, нежелательны (так как в этом случае система управления чрезмерно чувствительна).

Отметим, что теорема устойчивости Ляпунова применима только при малых отклонениях от точки .равновесия. Характеристические корни системы линейных дифференциальных уравнений

Дх, = ЛцДх! + ... Ч-Л, Дл:

: (1.6-10)

- = 1-!+ +Л„ Дх ,

т. е. линейного дифференциального уравнения (1.6-9), по.лучен-ного при линеаризации нелинейного векторного дифференциального уравнения (1.6-3) и системы нелинейных дифференциальных уравнений (1.6-2), можно определить из характеристического уравнения

D(s) = A-sI-О или /C(s) = sl-A = 0. (1.6-11)

Итак, характеристические корни являются собственными значениями матрицы А. Напишем детерминант в более подробном виде:

Лц - S ... Ai

Л21 Л22 s.. .Л2

D(s) =

Лпп-S

= 0.

(1.6-12)

Л„1 Л„2

Этот детерминант раскрывается следующим образом:

D(S) = (- S) -f fl ,(-s) -i + ... -f fli (-s) + fio = О, (1.6-13)

где коэффициенты

o i = Ли + Л22 + .

4-2

О

-f- ... +

+ л„ ,

Лп-1, п-1

Л„, -1

Л2П

... л„

(1.6-14)

являются суммами главных миноров первого, второго и т. д. по рядков (Со равно детерминанту А|).

Пример I. Исследуем, является ли устойчивой нелинейная система, описываемая дифференциальным уравнением

+D -fT--\-Csmx = и.

dti dt

(Таким дифференциальным уравнением описывается, например, синхронный мотор, генератор, осциллирующая система, состоящая из нелинейного источника энергии, демпфера и массы.) Отметим, что выход у равен х.

В состоянии равновесия производные по времени равны нулю, и уравнение, дающее координаты рабочей точки, имеет вид

С&тХ = и.

Допустим, что система немного смещена относительно рабочей точки

х^Х + Ах.

Так как

dfi dt

и

sin л == sin X cos + cos Х sin Дх sin AT cos X Дх,

линеаризованное дифференциальное уравнение для отклонений будет иметь вид

-ж+-dr--

Отсюда получаем характеристическое уравнение

Л:(х) = + £)s + С cos X = 0.

По критерию Рауса - Гурвица это линейное дифференциальное уравнение устойчиво, если

D>0 и Ccos;s:>0.

Это же условие устойчивости справедливо и для исходного нелинейного уравнения.

Пример 2. Исследуем нелинейное дифференциальное уравнение из предыдущего примера с помощью фазовых переменных.

Введем переменные Xi=a-, Х2=х. Фазовые уравнения будут иметь вид.

Х) = Х2,

Хо = - С sin Xi - Dxg -f и.

Следовательно,

/, (xi, 2) = /2 (xj, 2) == - С sin Xi - + f/.

Состояние равновесия системы определяется, очевидно, из уравнений

Xi = 0, Х2 = 0. Таким образом, координаты рабочей точки равны Xi = arc sin и А'2 = 0.

Теперь исследуем устойчивость системы при небольших отклонениях от точки равновесия. Якобиан равен

м [-CcosAi -D]

и линеаризованную систему дифференциальных уравнений можно записать в виде

ДХ) = Дл:2,

Дл:2 = - С cos Al Дх, - D Дх2.

Характеристическое уравнение определяется из уравнения (1.6-12):

-S 1

-CcosXi -D-S

= s + Ds + C cos Xi = 0.

Это уравнение идентично уравнению в предыдущем примере, поэтому условия устойчивости остаются прежними.

Рис. 1.6-1. Нелинейная система управления (пример 3).

Пример 3. Исследуем устойчивость простой системы управления, показанной на рис. 1.6-1, при небольших отклонениях от состояния равновесия r(t) - Q, если

ue = eg(e)<Q, 0<\е\<АЕ

и

где gi(e)-про:13вольная нелинейная функция, удовлетворяющая условиям g-i(0) = 0 и dglde\e=o = 0. Пусть, кроме того,

S3 + 252 +

Если функция u=g(e) линеаризована в точке е=0, то

Д = К А е.

При малых отклонениях, не превышающих величины АЕ, передаточная функция замкнутой системы имеет вид

r(s) KG(S) К

Д/? (S) 1 + KG (s) S3 + a.si + ,s + К

и характеристическое уравнение примет вид

K{s) = s + as- + Щ5 + К = 0.

По критерию Рауса - Гурвица получим условие устойчивости

а2>0, ai>0, К>0, К < ща.

Задача. Определите условия устойчивости нелинейной системы, описываемой дифференциальным уравнением Ван-дер-Поля

в рабочей точке u = U.

1.7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы рассмотрели два метода линеаризации, причем оба применимы только при малых отклонениях. Так как метод наименьших квадратов довольно сложен, обычно используются методы касательной аппроксимации, или первого приближения, основанные на разложении в ряд Тэйлора.

При линеаризации характеристическая кривая, выражающая нелинейную зависимость, аппроксимируется прямой линией в окрестности заданной рабочей точки для того, чтобы получить линейную связь между рассматриваемыми отклонениями. Тогда систему управления можно изучать обычными методами (критерий устойчивости и т. д.), построив графики при малых отклонениях. Требования на качество, относящиеся к перерегулированию, времени стабилизации и т. д., также можно проверить с помощью хорошо известных процедур.

До тех пор пока отклонения входной переменной малы, метод дает приемлемые результаты. Однако при возрастании отклонений метод приводит к постепенно увеличивающимся ошибкам. В последнем случае целесообразно проверить возможность применения метода-

Следует особо подчеркнуть, что линеаризация допустима, если функция, выражающая нелинейную зависимость, дифференцируема по меньшей мере один раз и (или) касательная к характеристической кривой достаточно хорошо аппроксимирует кривую вблизи рабочей точки. Для ступенчатых и других разрывных функций данный метод линеаризации непригоден.

ЛИТЕРАТУРА

1. Schwartz J. W. Piecewise Linear Servomechanisms. Trans. AIEE, Ш52, 71, Pt. II, pp. 401-405.

2. Kalman R. E. Physical and Mathematical Mechanism of Instability In Nonlinear Automatic Control Systems, Trans. ASME, 1957, 79, pp. 553-563.

3. Yen. Zan Lim. Linearization and Optimization of Stochastic Systems with Bounded Control. IEEE Trans, on Autom. Control, 1970, ЛС-15, pp. 49-52.

2. ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ

Из-за трудностей описания нелинейные системы обычно сводят, если это возможно, к линейным. Одно подобное решение (линеаризация во временной области) было рассмотрено в предыдущем разделе. Другой возможностью является так называемая гармоническая линеаризация в частотной области. При этом нелинейный преобразующий элемент заменяется линейным, эквивалентным относительно основной составляющей.

Линеаризации во временной и частотной областях взаимно дополняют друг друга. Линеаризация вблизи рабочей точки требует непрерывных и легко дифференцируемых характеристических кривых и малых отклонений. Гармоническая же линеаризация может успешно применяться также в случае разрывных кривых и значительных отклонений, но зато заранее предполагаются квазистационарные колебания.

В данном разделе рассмотрены методы гармонической линеаризации. Помимо подробного обсуждения так называемого метода описывающих функций рассмотрены также метод гармонического баланса и гармоническая линеаризация коэффициентов уравнения состояния, которые очень часто используются в теории управления [47*, 48*. 50*, 51*. 108*, 111*, 115*, 137*, 149*].

2.1. ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ МЕТОДА ОПИСЫВАЮЩИХ ФУНКЦИИ

Если нелинейный преобразующий элемент возбуждается синусоидальным входным сигналом, его выходной сигнал будет содержать наряду с основной также и другие гармоники. Описывающая функция выражает отношение амплитуд и фазовый сдвиг основной составляющей выходного сигнала относительно синусоидального входного сигнала. Для многозначной нелинейности описывающая функция является комплексной величиной, состоящей из отношения амплитуд (абсолютной величины) и фазового сдвига (угла или аргумента), т. е. она описывает не только отношение амплитуд, но также и условия фазового сдвига. Для однозначной же нелинейности описывающая функция дает только отношение амплитуд основной составляющей выходного сигнала и гармонического входного- Из-за присут ствия нелинейности описывающая функция зависит от амплитуды, а иногда и от частоты чисто синусоидального входного сигнала [1-7].

Таким образом, нелинейный элемент линеаризуется с помощью описывающей функции, а последующий анализ и синтез применяются к линеаризованному элементу в зависимости от амплитуды или частоты. Итак, используя описывающую функцию, можно легко изучать нелинейную систему в частотной области с помощью частотных методов, развитых для линейных систем; при этом анализ и синтез осуществляются довольно просто. Основным достоинством метода является теоретически неограниченное количество постоянных времени в линейной части. С точки зрения точности, чем больше количество постоянных времени, тем лучше.

Метод описывающих функций основывается на следующих допущениях [1-7]:

1. Выходной сигнал является периодическим, и его основная частота совпадает с частотой синусоидального входного сигнала. Это означает, что генерирование субгармоник исключается. Кроме того, обычно предполагается, что нелинейность симметрична, и, следовательно, в выходном сигнале отсутствуют постоянные составляющие нулевой частоты (однако метод можно обобщить также на случай несимметричных нелинейностей).

2. Во внимание принимается только основная составляющая выходного сигнала, так как высшие гармоники подавляются линейными преобразующими элементами системы в такой степени, что ими можно пренебречь (линейная часть системы имеет в рассматриваемой частотной области низкочастотный характер).

3. Нелинейный элемент не меняется во времени. Для нестационарных (неавтономных) элементов не существует описываю-

щих функций, так как на их выходе нельзя получить квазистационарный периодический сигнал. Элемент, зависящий от частоты, имеет описывающую функцию, которая зависит как от амплитуды, так и от частоты.

4. В системе управления допускается только один нелинейный элемент. Остальные элементы должны быть линейными. Если система имеет два или больше нелинейных элементов, их объединяют в один и определяют описывающую функцию для полученного элемента (однако метод описывающих функций можно расширить также и на случай нескольких нелинейностей) .

К недостаткам метода описывающих функций следует отнести следующие [1-7]:

1. Отсутствие адекватного метода для проверки точности результата.

2. Метод дает только количественные и качественные оценки. Таким образом, можно оценить, устойчива или неустойчива система и имеет ли она предельные циклы, а также найти их частоту и величину. Однако анализ, выполненный в частотной области, не дает даже приблизительной оценки динамического поведения системы во временной области, т. е. переходных процессов, времени стабилизации, перерегулирования и других параметров.

В то же время следует заметить, что метод описывающих функций является единственной простой практической процедурой для изучения нелинейных систем порядка выше второго. Метод описывающих функций особенно полезен, если описывающая функция не очень чувствительна к изменениям формы кривых.

2.2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

На рис. 2.2-1 приведены блок-схемы двух систем управления с жесткой обратной связью. Нелинейности объединены в один нелинейный элемент. Пусть сигнал на входе нелинейного элемента имеет вид [28*, 92*]

u{t) = Bsmo>t. (2.2-1)

Периодический сигнал на выходе нелинейного элемента обычно можно разложить в ряд Фурье:

У (О = Ло + S (Л„ cos пЫ + Вп sin п iot). (2.2-2)

Предполагая, что нелинейность симметрична, коэффициенты можно определить из следующих уравнений:

= - J У (О COS п Ы du) t, о

5 = - \y(f)s\nnwtd4>t.

(2.2-3)

(2.2-4)

В общем случае Ап=Ап(В, /ш) и Вп = Вп{В, /ы), т. е. коэффициенты зависят как от амплитуды, так и от частоты.

r{t)

Иелинейный элемент

Линейный элемент

Линейный элемент 6 цени об-

ратной сВязи

rlt)

Линейный элемент

y(i}-c(i)

Линейныйзле-мент Bufinuob-

ратной сВязи

Нелинейный элемент В це пи обратной сдяэи

Рис. 2.2-1. Блок-схема двух нелинейных систем управления с жесткой обратной связью.

В методе описывающих функций во внимание принимается только основная составляющая выходного сигнала:

у (/) = By sin Ы + Л, cos Ы.

Введем выражения

Ci = V В\ + А1

Ал Bi

sm <Pi = cos (pi = .

Тогда уравнение (2.2-5) примет вид

y{i) = Ci sin(u)-f <pi).

(2.2-5)

(2.2-6)

Используя символические обозначения, принятые в электротехнике, уравнения (2.2-1) и (2.2-5) можно записать следующим образом:

и (О = Im t/ {В, е^ = Im fie-- (2.2-7)

и

у 1 (О = Im F, {В, е^ = Im С^е' + -). (2.2-8)

Мгновенные значения переменных даются мнимыми частями комплексных выражений. Упростив экспоненту, содержащую время, получим для входной амплитуды

и {В, = В, (2.2-9)

и комплексная амплитуда основной составляющей выходного сигнала будет равна

Г,(5, = С,е^., (2.2-10)

где Ci{B, /ш) и <fi{B, в общем случае зависят от ампл.1 туды и частоты.

Описывающая функция есть отношение комплексной амплитуды Yi (В, /со) основной составляющей выходного сигнала к амплитуде U{B, /со) синусоидального входного сигнала:

т. е.

N{B, = CU>) />.(В. (2.2-12)

или

Л^(Д;Ъ) = 1Ж>ЗЮЕ:)/агс12-. (2.2-13)

Описывающую функцию часто представляют в следующем виде:

N{B, = д (В, /ш) + jq {В, , (2.2-14)

где

q{B,J.) (2.2-15)

и

qiB,H (2.2-16)

Если симметричная нелинейность однозначна, то Л, = О, <Pj = О, = О и, следовательно, С, = fij.