Для нестационарного линейного объекта

X (4+,) = А (/j,+ 4) X (4) + В (4+ 4) U (4), У (4) = С (4+., 4) X (4) + D (4+1, 4) U (4). (

или

yft=CA + D;Uft.

(6.S-8)

Разумеется, матрицы А, В, С, D в случае импульсных систем отличаются от соответствующих матриц для непрерывных систем. При постоянном интервале квантования соотно-щения (6.3-5) принимают вид

(6.3-9)

X (кТ -Ь Г) = Ах {кТ) + Ви (кТ), у {кТ) = Сх (кТ) -f Du (kT). Полагая Т =\, получим

x(A-f l) = Ax(A) + Bu(A),

y(A) = Cx()-f Du(A). -

Пусть

X (О = Ac it) X it) + Be it) X it) (6.3-11)

- дифференциальное уравнение линейного непрерывного нестационарного объекта управления. Рассмотрим задачу получения дискретного эквивалента, задаваемого системой разностных уравнений. Из решения дифференциального уравнения (6.3-11) следует, что переменная состояния

X (О = Ф it, 4) X (4) + 1Ф ) Вс (х) U (т) dz, (6.3-12)

где Oit, 4) - переходная матрица непрерывного объекта. Предположим теперь, что вектор управления и сохраняет постоянное значение на интервалах 4<<4+ т. е. этот вектор описывается некоторой ступенчатой функцией. Введем так называемую матрицу распределения: t

д(, 4) 1ф(/, т)Вс(х)Л. (6.3-13)

к

Тогда решение уравнения (б.З-Ю) запишется в виде

X (О - Ф it, 4) X (4) + А it, tk) u (4)- (6.3-14) Если / = 4+ то

X (4+0 = Ф (4-ц> 4) X it к) + А (4-и. h) U ih)- (6.3-15)

Применяя обозначения и используя сокращенную запись уравнений состояния, получим

Х;,+,= Ф,Х;, + Д;,и;,. (6.3-16)

Сравнивая уравнение (6.3-16) с первым уравнением (6.3-8), найдем, что

Для стационарного объекта и постоянного интервала квантования (/,+,-tii=T для любого) уравнение (6.3-10) принимает более простой вид. В самом деле

Ф(л+.. h) = Ф(+1-4) = Ф(Г) (6.3-17)

и, как следует из определения (6.3-13),

Aih+vh)- I Ф(4-н - )Beйх = д(/,+,-/,) = д(Г). (6.3-18)

В этом случае уравнения состояния имеют вид

х{кТ + Т) = Ф (Г) X (кТ) -Ь д (Г) U (кТ). (6.3-19)

Таким образом, для кусочно-постоянного управления мы опять пришли к уравнению состояния (6.3-6), в котором А=Ф(Г) и В = Д(Г). Используя фундаментальную матрицу стационарного непрерывного объекта

ф( 4) = (6.3-20)

и равенство (6.3-17), получим

Ф(Г) = А^ (6.3-21)

Подставляя выражение (6.3-21) в выражение (6.3-18) и полагая tfi = 0 я tk+i == Т, находим

д(Г)= /Л'Вет. (6.3-22)

Последнее равенство можно переписать в виде

7 г

д (Г) = J е Вс d& = J Ф (&) Be db, (6.3-23)

где

6.4. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ СОСТОЯНИЯ

Рассмотрим уравнение (6.3-15) линейного нестационарного дискретного объекта:

X (4+i) = Ф (4+1. 4) X (4) + д (4+1. 4) U (4), (6.4-1)

или

Х;,+, = Ф;,Х„ -f Щ. (6.4-2)

Обсудим вначале случай однородного уравнения

х(4+1) = Ф(4+1. 4)х(4). (6.4-3)

Полагая в этой формуле k = 0, 1, получим х(4) = Ф(4, gx(g,

X (4) = Ф (4, 4) X (4) = Ф(4. Ф (/ 4) х (4) =

= Ф(4, 4)х(4) g4

х(4) = Ф(4, 4)х(4)-

Эта система равенств определяет некоторый переходный процесс с начальным состоянием х(4). Кроме того, исходя из соотношения (6.3-16), придем к уравнению

Хй+1=ФлХй. (6.4-5)

Теперь для значений А = О, 1, ... получим

X, = Ф,Хо,

Хг = #iXi = Ф1Ф0Х0

: (6.4-6)

Xft = II Ф,-Хо.

/ = 0

Эта система равенств определяет переходны.й процесс с начальным условием Xq. Для стационарного объекта управления и постоянного интервала квантования Т однородная система, отвечающая равенствам (6.3-19), запишется в виде

х{кГ + Т) = Ф{Т)х(кТ), (6.4-7)

откуда для значений k = 0, 1,... будем иметь х(Г) = Ф(Г)х(0 Т), X (2Г) = Ф (Г) X (Г) = ф2 (Г) X (О Т)

(6.4-8)

Эта система равенств определяет переходный процесс для стационарного объекта с постоянным интервалом квантования.

Исходя из соотношений (6.4-4), легко убедиться, что в рассматриваемом случае выполняется следующее основное свойство переходной матрицы:

ф (t, to) = Ф {t2, t,) Ф (1, о)- (6-4-9)

Два других свойства также выполняются. Применяя многократно формулу (6.4-9) к последнему равенству системы (6.4-4), получим

Ф(4, to) = ®{tk, tu-x) ... ii)m{ti, to). (6.4-10)

Аналогично из соотношений (6.4-8) найдем, что для стационарных объектов с постоянным интервалом квантования

Ф{2Т)ФЦТ) (6.4-11)

и

ф{кТ)Ф^{Т). (6.4-12)

Очевидно, что последняя формула следует также из равенства (6.3-21).

Остановимся теперь на решении неоднородного дифференциального уравнения (6.4-1). Полагая последовательно k = 0, 1, ..., получим

Xi = ФоХо -f ДоНо,

Х2 = ©1 [ФоХо + ДоНо] + АхЩ = Ф1Ф0Х0 -f ©lAoUo + AiU]

: (6.4-13)

Xft =

xo+ 2

И ф,

J = oli=f+i

где последняя строка определяет формулу общего решения. Если объект стационарен, а интервал квантования равен постоянной величине, то

ft-1

X (kT) = (Т) X (ОТ) + 2 ф^ -- (Т) д (Т) U (JT). (6.4-14)

j = o

Используя это выражение и применяя характеристическое свойство (6.4-12), получим

X (кТ) = ф (кТ) X (ОТ) + 21 ф (кТ - jT -Т)А (Т) U (jT). (6.4-15)

Для Т=1 будем иметь

Xk = Ф Хо + Д Ф -}- AUj. (6.4-16)

Сопоставляя эти формулы с формулами решения для непрерывных систем, легко обнаружить сходства и различия. Так, интегрированию для непрерывных систем в дискретном случае отвечает операция суммирования.

В заключение введем матрицы весовой функции

О {кТ) = Ф' (Г) д (Г) = Ф {кТ) Л (Т), (6.4-17)

или

G = Ф*Д. (6.4-18)

Используя равенство (6.4-17), запишем выражение (6.4-14) или (6.4-15) следующим образом:

X{кТ) = Ф{кТ)X(О Г) -f Д Q\kT ~jT-T)uUT). (6.4-19)

С помощью матрицы весовой функции (6.4-18) формула (6.4-16) приводится к виду

ft-1

Xft = Ф^хо -f 2 GL/-iUy. (6.4-20)

в двух последних выражениях суммирование производится по правилу свертки двух дискретных функций.

6.5. г-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Рассмотрим применение 2-преобразования только к стацио* парным объектам с постоянным интервалом квантования. Наиболее просто 2-преобразование определяется равенством

F{z)if{kT)z-\ (6.5-1)

ft = 0

или сокращенно

F{z)U- (6.5-2)

ft = 0

[30*, 64*, 102*, 139*, 140*]. Воспользуемся -преобразованием для определения переходной матрицы. Решение однородного уравнения (6.4-8) с матрицей Ф(Г) = А дает

х(йГ)-А^х(0Г). (6:5-3)

Применяя формулу (6.5-1), найдем г-преобразование вектора фазовых переменных

X{z) x{kT)z~K (6.5-4)

ft=0

Отсюда и из равенства (6.5-3) получим

X{z)= 2 [г-1А]*х(0Г). (6.5-5)

Учитывая соотношение

[I - г-1А] [I -f z~A + г-2А2 +...]=!,

справедливое при условии H-AIKl, будем иметь

Д [Z- А] = [l-z- 1А]-1. (6.5-6)

Следовательно, г-преобразование (6.5-5) можно представить следующим образом:

X (г) = [I - 2-1А]- X (ОТ). (6.5-7)

Обратное г-преобразование определяет

X (кТ) = [I - 2-iA]-i X (ОТ). (6.5-8)

Из соотношений (6.4-12) и (6.5-3) имеем

х{кГ)Ф{кТ)х{ОТ). (6.5-9)

Сопоставляя два последних выражения, получим из формулы (6.5-6) и равенства

[1-2-1А]-1 = 2[г1-А]-\

что

Ф (kT) = [I - z-A]- = [z \zl - A]-i} = A*. (6.5-10)

Обратное -преобразование (которое можно найти различными способами [30*, 64*, 102*, 139*, 140*]) определит значение переходной матрицы только для дискретных моментов времени. В соответствии с выражением (6.5-10) -преобразование переходной матрицы записывается в виде

Ф (Z) = [I - 2-1А]-1 z\z\- А]-1. (6.5-11)

Отметим, что более общая задача получения переходной матрицы Ф(/б+1, tk) нестационарных систем не может быть решена с помощью г-преобразования; кроме того, решение (6.4-19) неоднородного уравнения (6.3-9) также может быть выражено с помощью г-преобразования. Замена n=k-j приводит к соотношению

2 2 GkT-jT) u (;Т)г- =

fe=0/=0

= 2 0 {пТ) г- 2 U ОТ) Z-I. (6.5-12)

п=0 /=0

При выводе этой формулы верхний предел k внутренней суммы в левой части заменен на оо. Это возможно благодаря тому, что весовая функция физически реализуемой системы для отрицательных значений аргумента обращается в нуль. По этой же причине первую сумму в правой части можно определять, начиная с п = 0, а не с п=-/. Правая часть равенства (6.5-12) представляет собой произведение двух z-преобразований: GqC) и \i(z). Из выражений (6.5-10) -(6.5-12), (6.4-17) и равенства (6.4-19) получим

X (г) = Ф {Z) X (ОГ) + Go {Z) U {z), (6.5-13)

Оо(2) = Ф(г)А(Г).

где Итак,

X (г) = Ф {Z) [X {ОТ) + Д (Г) U {z)]. (6.5-14)

Аналогичным образом можно найти передаточную матрицу объекта

G(2) = Cl2l-Al-iB + D. (6.5-15)

6.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕХОДНОЙ МАТРИЦЫ

Существует несколько способов определения переходной матрицы стационарного объекта управления с постоянным интервалом квантования.

Во-первых, если матрица Ас непрерывного объекта известна, то матрицу Ф(Г) можно получить по формуле (6.3-21).

Во-вторых, если найдена матрица А=ехр(АсГ) импульсного объекта, матрицы Ф(Г), Ф(2Г), Ф{кТ) можно записать, пользуясь выражением (6.5-10). Кроме того, если известна обратная матрица [I - 2~A]~S то можно воспользоваться обратным г-преобразованием отдельных элементов этой матрицы. При определении переходной матрицы непрерывных систем важную роль играет метод преобразования Лапласа, в отличие от этого роль метода г-преобразования незначительна: достаточно знать матрицу А дискретной системы, тогда Ф(Г) = А и матрицы Ф{кТ), й = 2, 3, могут быть записаны по формуле (6.4-12) с помощью матричного умно/Же-ния.

В-третьих, применяя теорему разложения Сильвестра, можно следующим образом представить переходную матрицу Ф{кТ).

Ф {кТ) = А* = 2 () П = 2 П тТзЗг' (6.6-1)

]ф1 1+1

где Zi (i=l, 2.....n) -собственные значения матрицы А, т. е.

корни характеристического уравнения г1 - А] = 0.

В-четвертых, для нахождения степеней матрицы А можно также использовать метод Кели - Гамильтона. Для этого элементы F(si) = exp Sit в левой части равенства (3.2-24) заменяют на zf, а коэффициенты многочлена R определяют из решения системы уравнений

zf-Riz,) (г = 1, 2, .... п). (6.6-2)

Мы не останавливаемся здесь на некоторых других методах определения переходной матрицы, а также не рассматриваем случай кратных собственных значений. (Сведения по этому вопросу имеются в разд. 3.3.)

6.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕХОДНОЙ МАТРИЦЫ НЕСТАЦИОНАРНОГО ОБЪЕКТА

Предположим, что интервал квантования является постоянной величиной. Тогда однородное дифференциальное уравнение свободной системы получается из уравнений (6.3-7) и (6.3-8) нестационарного объекта

X (koT + Т)А (koT) X {k,T), (6.7-1)

где йоТ'-начальный момент квантования. Применяя итерационную процедуру, получим за (k-ko-l) шагов

ft-i

x{kT)= liAiiT) x(koT), k>ko. (6.7-2)

По определению переходной матрицы,

X {kT) = Ф {kT, koT) X {koT). (6.7-3)

Два последних равенства приводят к соотношению

П A{iT), если k>ko, I, если k = ko.

Если A (АГ)=Ао-постоянная матрица, то переходная матрица записывается в виде

Фо {kT - koT) = А[,*-*°\ (6.7-5)

Для нестационарного объекта матрицу A{kT) можно представить суммой постоянной матрицы Ао и переменной матрицы A\{kT) и воспользоваться методом возмущений. Получаемые результаты тем лучше, чем меньшее влияние оказывает матрица Ai(r) по сравнению с матрицей Ао, т. е. чем

{kT, koT).

(6.7-4)

меньше \\\\{kT)\\ по сравнению с|1Ао11. Используя выражение (6.4-14) и рассматривая компоненту A.i{kT)x{kT) как возмущающую функцию, получим

x{kT) = М'- х(Ао7) -Ь S А'Г^-%(;Т)х(;Т). (6.7-6)

J=kc

Уравнения такого типа решаются с помощью обычной итерационной процедуры. Первая итерация задается соотношением

ft-i

А^-х{коТ) +

х(йГ)= аГ*°х(/оГ) -f 2 аГ-аиуг)

+ 2 аГ -%(/пГ)х(/пГ)

m=fto

Так как

Ао*-* -Фо(/гГ-Ао7) = Фо, последующие итерации приводят к уравнению

X (кТ) - [Фо -f S (ФоА,Фо) -f S (ФоА,5 (Ф0А1Ф0)) + ...] X (коП

(6.7-7)

где символ S означает суммирование. Из выражений (6.7-7) и (6.7-3) находим, что переходную матрицу можно записать в виде равенства

Ф{кТ, к^Т) = Фо + S (Ф0А1Ф0) + S (ФоАхЗ (Ф0А1Ф0)) -f + S(ФoAlS(ФoA,S(ФoA,Фo)))-f ... = = [I + S (ФоА,) + S (ФоА15 (Ф0А1))-f

+ S (ФоА,5 (ФоА15 (Ф0А1))) -f ...] Фо, (6.7-8)

в правой части которого суммирование распространяется также на матрицу Фо. Очевидно, что для стационарной системы, когда Ai(АГ) = О, переходная матрица приводится к матрице Фо.

Решение неоднородного уравнения с использованием переходной матрицы имеет вид

ft-i

X {кТ) = Ф {кТ, kj) X {kT) -f 2 Ф ikT, jT + Г) В (;Т) ц (уТ).

(6.7-9)

Для стационарной системы это решение приводится к простейшему виду [выражение (6.4-14)].

Наконец, отметим, что уравнение, сопряженное однородному выражению

X (гТ +Т) = к (IT) X (гТ), . (6.7-10)

имеет вид

Z [iT + Т)= [A-i {iT)Yz{iT), (6.7-11)

или

zT [IT + Г) = (гТ) A-i (гТ). (6.7-12) Перемножив равенства (6.7-10) и (6.7-12), получим

zT (гТ + Г) X {iT + Г) = zT (гТ) х (гТ). (6.7-13)

Ана.чогично

zT (ЙГ) X {kT) = zT (ftoT) X {koT). (6.7-14)

Так как переходная матрица удовлетворяет однородному разностному уравнению, то

Ф {kT + Т, koT) = А {kT) Ф {kT, koT). (6.7-15)

Вводя в рассмотрение обратные матрицы, получим после транспонирования

[Ф-1 {kT + Т, koT)\ = [А-1 (;Г)1т [Ф-1 {kT, йоГ)]т. (6.7-16)

Из сравнения выражений (6.7-11) и (6.7-16) следует, что переходная матрица сопряженной системы определяется равенством

[Ф-1 {kT, koT)f = ФТ {koT, kT) (6.7-17) и, как легко видеть,

Ф {koT, kT) = П' А-1 (уТ). (6.7-18)

При этом

ф-1 {kT, koT) = Ф {koT, kT). (6.7-19)

6.8. УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ

Понятия управляемости и наблюдаемости, введенные Калманом в 1961 г., можно также распространить на дискретные системы. Здесь будет рассмотрен только случай линейных стационарных объектов.

Выделим в многомерном объекте

x{kT + T)Ф {Т) X (kT) + А (Г) U (kT) (6.8-1)

некоторые подобъекты

x{kT+T) = Ф{T)x{kT) + ЬJ{T)aJ(kT) (У=1, 2, г), (6.8-2)

где bj(T) есть /-й вектор-столбец матрицы А (Т).

Состояние х(07 ) называется управляемым, если для некоторой конечной управляющей последовательности щ(кТ) {k=0,