достаточно для вычисления этого начального условия. Здесь Ул(О-управляемая переменная однородного уравнения, т. е. решение, отвечающее управлению (/) = 0.

Очевидно, что преобразование, определенное формулой

у,{() = Сех{0), (5.4-3)

является однозначным. Векторы выходных переменных yh(t) в некоторый фиксированный момент времени t могут совпасть в том и только в том случае, когда совпадают начальные условия.

Обозначив у-ю вектор-строку матрицы С через cj, у = = 1, 2,..., д, введем в рассмотрение я-мерные векторы-строки

w], = cJA (у = 1, 2, ..., й = О, 1, ..., п-1). (5.4-4)

Допустим, что состояние х(0) наблюдаемо. Если известны значения qju скалярных произведений

%MO) = qju (=0, 1, .... я - 1), (5.4-5)

то координаты лгДО) вектора х(0) однозначно определяются системой уравнений (5.4-5), и наоборот, если система уравнений (5.4-5) имеет единственное решение ;(0), г=1, 2,..., я, то вектор х(0) с координатами лгДО) является наблюдаемым состоянием этой системы.

Доказательство основано на свойстве наблюдаемости состояния х(0), согласно которому существует такой промежуток времени 7 , на котором вектор начальных условий х(0) однозначно определяется реализацией

у^Дг-) = Сех (0), 0<t<T. (5.4-6)

Для у-й компоненты вектора у (t) имеет место равенство

yjit) = S г,(0сТА^х(О) = Д/-,(0wT,x(0)= 21уЛ(0. (5.4-7) где, по методу Кели-Гамильтона,

ATii). (5.4-8)

Коэффициенты r{t) в равенстве (5.4-8) могут отличаться знаком от коэффициентов г^{х) в равенстве (5.3-4).

По определению, вектор х(0) является решением системы уравнений (5.4-5). Допустим, что найдется еще одно решение х'(0), отличное от х(0). Тогда из соотношения (5.4-7) следует,

что левая часть равенства

уЛ/) = Сех'(0) (5.4-9)

совпадает на интервале времени О < / < Г с управляемой переменной и поэтому у,г(0 не может однозначно определять состояние х(0). Отсюда вытекает, что вектор х(0) является единственным решением системы уравнений (5.4-5).

Если состояние х(0) наблюдаемо, то оно однозначно определяется по реализации у,; (/) = С (ехр А/) х (0) на произвольном интервале времени (О, Т) при {Т > 0).

Система является полностью наблюдаемой тогда и только тогда, когда каждый вектор х(0) представляется линейной комбинацией векторов-столбцов Wy. Множество наблюдаемых состояний совпадает с линейной оболочкой векторов Wy . Другими словами, состояние х(0) наблюдаемо тогда и только тогда, когда оно является линейной комбинацией векторов Wy;.

Пусть

[С , А'Ст, ..., (А') -1 С ] (5.4-10)

- гиперматрица порядка tiXnq. Система полностью наблюдаема тогда и только тогда, когда ранг матрицы G равен п, или когда матрица G содержит п линейно независимых векторов-столбцов.

В случае одномерного объекта управления, когда имеется только одна управляемая переменная и матрица С является вектором-строкой- с^, необходимое и достаточное условие наблюдаемости системы состоит в невырожденности матрицы

Go=[c, А'с,..., (а') -с] (5.4-11)

порядка пХп.

Допустим, что А - диагональная матрица, все диагональные элементы которой различны. В этом случае необходимое и достаточное условие наблюдаемости объекта состоит в том, чтобы матрица С не содержала нулевых столбцов.

5.5. НОРМАЛЬНЫЕ ОБЪЕКТЫ

Многомерный объект управления

х(0 = Ах(0 + Ви(0, (5.5-1)

у(0=Сх(0 (5.5-2)

называется нормальным тогда и только тогда, когда он полностью наблюдаем и управляем и, кроме того, каждый подобъект вида

i(0 = Ax(0 + by y(0, (.со.

также является полностью управляемым и наблюдаемым. Здесь by-у-й вектор-столбец матрицы В, Uy-у-я координата вектора и. Управляемость означает, что

I Ну 1:0, Vy=l, 2...., г, (5.5-4)

с

где матрица

Ну=[Ьу, АЬу,..., А -1Ьу1. (5.5-5)

Если через cJ обозначить г-ю вектор-строку матрицы С, а через у^-/-Ю выходную переменную, то полная наблюдаемость означает, что

\Gi\0, V/= 1, 2,..., д, (5.5-6)

аЧ...,(аТ-

И

(5.5-7)

Управляемая и

УпраВля Аеупра Шя и не >\/ляемаяи наВлюда-/КнаБлюаае-емая /Ж\ г^ал НеупраВ. емаяинена-тдаемая

Следовательно, для многомерных объектов нормальность является более сильным свойством, чем рассматриваемые совместно характеристики управляемости и наблюдаемости. Однако в одномерном случае управляемость и наблюдаемость объекта означают также и его нормальность.

На рис. 5.5-1 схематически представлены различные случаи возможных комбинаций характеристик управляемости и наблюдаемости. Любую систему (или объект управления) S можно разбить на четыре части: управляемую и ненаблюдаемую подсистему управляемую и наблюдаемую подсистему ( ), неуправляемую и наблюдаемую подсистему {IU) и, наконец, подсистему которая является неуправ-

ляемой и ненаблюдаемой.

Рис. 5.5-1. Разбиение системы на части.

ЛИТЕРАТУРА

1. Kalman R. Е. On the General Theory of Control Systerh, Proc. First IFAC, Moscow. 1960, Butterworths. London, 1961.

2. Ho Y. C. What Constitutes a Controllable System. IRE Trans. Autom. Control, 1962, AC-7, p. 76.

8. Kalman R. E., Ho Y. C. Narendra K. S. Controllability of Linear Dynamical Systems, Contributions to Differential Equations, Interscience Publishers Inc. New York, 1962, pp. 189-213.

4. Попов В. М. Решение новой проблемы устойчивости для регулируемых систем. Автоматика и телемеханика, 1963, 24, № 1.

5. Gilbert E. G. Controllability and Observability in Multivariable Control Systems. J. Soc. Ind. Appl. Math., 1963. Ser. A. pp. 128-151.

6. Lee E. B. On the Domain oi Controllability for Linear Systems. IRE Trans. Autom. Control, 1963, AC-8, pp. 172-173.

7. Kreindler E.. Sarachik P. E. On the Concepts of Controllability and Observability of Linear Systems, IEEE Trans. Autom. Control, 1964. AC-9, pp. 129-137.

8. Butman S.. Swan R. On Cancellations. ControllabilUy and Observability. IEEE Trans. Autom. Control. 1964, AC-9, pp. 317-318.

9. Chang A. An Algebraic Characterization of Controllability, IEEE Trans. Autom. Control. 1965. AC-10, № 1. pp. 112-113.

10. Silverman L. M., Meadows H. E. Degrees of Controllability in Time Variable Linear Systems, Proc. NEC. 1965. 21, pp. 689-693.

11. Balakrishan A. V. On the Controllability of a Nonlinear System, Proc. Nat. Acad. Set.. 1966. 55, pp. 465-468.

12. Falb P. L., Athans M. A Direct Proof of the Criterion for Complete Con-trollabilhy of Time Invariant Linear Systems. IEEE Trans. Autom. Control. 1964, AC-9, pp. 189-190.

13. Wang P. K. C. Invariance Uncontrollability in Dynamical Systems, IEEE Trans. Autom. Control. 1965, AC-10, pp. 366-367.

14. Silverman L. M. Asymptotic Controllabi ity. IEEE Trans. Autom. Control, 1969, AC-14, pp. 78-80.

15. Vldyasagar M. A Characterization of e* and a Constructive Proof of the Controllability Criterion, IEEE Trans. Autom. Control, 1971, АС-1в, pp. 370-371.

6. ФАЗОВЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

Для импульсных систем понятия фазовых переменных и переменных состояния аналогичны родственным понятиям для непрерывных систем. Они обладают рядом особенностей, обусловленных спецификой рассмотрения [1-4, 36*, 102*, 122*, 145*].

6 1. ОДНОРОДНЫЕ ФАЗОВЫЕ УРАВНЕНИЯ

Запишем однородное дифференциальное уравнение

d x , d -ix , , dx , п /г. , 14

<п- + <п-1-арг-г+ (6.1-1)

В импульсных системах доступная по величине сигнала информация поступает в дискретные моменты времени; в этом случае вместо производных при.ходится рассматривать отношения разностей

х^х (кТ), dx x{kT) - x{kT-T)

~1Г--т- (6.1-2)

dx x(kT) - 2x(kT-T) + x{kT - 2T) dt - 72

Допустим для простоты, что промежуток времени между наблюдениями равен единице {Т=1). Введем левый разностный оператор V:

S/jc{k)xik)-x{k-\), (6.1-3)

оператор смещения Е и обратный ему оператор E~h

Ef (t + kT)/(i + kT + Т), (6.1 -4)

E-/it + kT)f{t + kT-T). (6.1-5)

При Г = 1 получаем

Ех{к)х{к+1), (6.1-G)

E-x{k)=x{k-l). (6.1-7)

Заменяя в дифференциальном уравнении (6.1-1) производные их разностями, получим конечно-разностную аппроксимацию в виде разностного уравнения

%V x(k) + сс ,V - x(k)+ ... +aiVx{k) + cx(k) ~ 0, (6.1 -8)

где, например,

Vx (k) = V iVx ik)) = V (jc () - jc ( - D) = = X (k) - 2x{k - l) + x(k - 2) =

= X (A) - 2E-x (k) + E-x (k). (6.1 -9)

Так как

V = \-E- (6.1-10)

и

S/ =={\-E-y, (6.1-11)

в общем случае имеем

V x()= 2(-1) . E-ix{k). (6.1-12)

\J I

Разложим левую часть равенства (6.1-8) по степеням Е К Используя равенство

E-ix{k) = xik-j), (6.1-13)

преобразуем полученное разложение и разделим его на коэффициент при х{к). В результате найдем уравнение

x{k) + a iX(k-l)+ ... -\-ax{k-n+l) + %x{k-n)=0, (6.1-14)

которое можно записать в виде

где

-линейный разностный оператор, а

(/ = 0, 1, 2, .... я).

Введем новые фазовые переменные

JCi(A + l) = JC(A-ft+l). JC2( + l) = JC(A- + 2)

х„( + 1) = .х(А). Из этих формул следует, что

1) = JC2(), Х2(+ 1) = .Хз() .

+ 1) = - 0-1 () - 1.2 () - - {Щ-

Соотношения (6.1-19) запишем в матричном виде

х( + 1) = АоХ(),

где и

X - \X\i 2, . . .,

О О

1 О

о о

О

О

о

- -1

Очевидно, что матрица До совпадает с матрицей фазовых уравнений для непрерывных систем, хотя переменные, записанные в виде формул (6.1-19), не имеют ничего общего с фазовыми переменными непрерывных систем.

Используя различные матричные преобразования фазовых переменных, можно перейти к более общим переменным состоя-

ния. Заметим, что вместо соотношений (6.1-2) для замены производных часто используются следующие выражения:

х=::х {кТ), dx x(kT+ T) - x(kT)

i ~ Т (6.1-23)

dx xjkT + 2T) - 2x(kT + Т)+ xjkT) dfi ~ 72

Полагая опять Г=1 и пользуясь правым разностным оператором

x{k) = x{k + l)-x{k) = {E-\)x (к), (6.1-24) получим вместо выражения (6.1-8) соотношение вида

a x{k) + % l-x{k)+ ... +ollx{k) + ax{k)=0, (6.1-25) в котором

X{k)= ]( 1):-/(МяХ(). (6.1-26)

Последнее соотношение получено с учетом того, что

А = £-1 (6.1-27)

и

Д =(£ !) . (6.1-28)

Разложим левую часть равенства (6.1-25) по степеням EL Используя равенство

Bx(k) = x{k+J), (6.1-29)

преобразуем найденное разложение и разделим его на коэффициент при х(к-{-п). В результате получим уравнение

x( k + n) + a . iX{k + n-\)-\- ... +aiJc(-f 1) + аоЛ() = 0.

(6.1-30)

которое можно записать в виде

L{E)x(k) = 0, (6.1-31)

где

L(Е) = Я -f а„ :Я -1 + ... +aiE+ao (6.1 -32) -линейный разностный оператор, а

ау= bAZ (-1)[]<х, (У = 0, 1, я-1, я). (6.1-33)

Введем новые фазовые переменные

X, {k + l) = x{k + l),

x {k + l)=x{k + n). Из этих формул следует, что x,{k+l) = xAk),

X2{k+l) = X,{k)

(6.1-34)

х„ (А+1) = - а^х, (к) - a,JC2 (А) - ... - а„ х„ {к).

Формально эту систему можно записать в матричном виде, аналогичном соотношению (6.1-20) При этом коэффициенты Оо, -. .. ., ап-\, а следовагельно, и элементы матрицы Ао будут другими. Из приведенных рассуждений следует, что существует по крайней мере два различных типа фазовых уравнений.

6.2. ПОЛУЧЕНИЕ ФАЗОВЫХ УРАВНЕНИИ ПО ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

Предполагается, что читатель знаком с основными свойствами г-преобразования [30*, 64*, 102*, 122*, 139*, 140*]. Пусть импульсная передаточная функция линейного импульсного объекта имеет вид

т

Ш-п-. п<п, (6.2-1)

14-Дд у^

где U{z) и Y(z) есть г-преобразования входного и выходного сигналов. Введем новую переменную. Для этого выражение (6.2-1) запишем в виде

. =---= X(г), (6.2-2)

i=0 /=1

откуда следует, что

X{z)U{z)~ tan-jZ-X{z) (6.2-3)

т

y{z)= b ,,z-X{z). (6.2-4)

1 = 0

(6.2-8)

Во временной области будем иметь

X (кТ) = и (кТ) - а„ , х (кТ-Т)-а„2 х {кТ~2Т) - ...

... ~aix(kT-nT + T)-aoX(kT-nT) (6.2-5)

и

у {кТ) = Ь^х (кТ) + Ь^ , х{кТ-Т)+ ...

... +Ь^х{кТ-тТ+ Т) + Ьох(кТ-тТ). (6.2-6)

Введем фазовые переменные

Xj (кТ) = х{кТ - пТ), х^{кТ) = х(кТ- пТ + Т)

: (6.2-7)

х,{кТ) = х{кТ-Т).

Из соотношений (6.2-7) и (6.2-5) получим

X, {кТ -f Г) = Х2 {кТ\ Х2{.кТ+Т) = х^{кТ)

Хп{кТ Л-Т) = и(кТ)- Ofi (кТ)- а,Л2(кТ)- ... ... -a iX {kT).

Полагая /и = -1, запишем равенство (6.2-6) в следующем виде:

у(кТ) = Ь^, {кТ + Т) + biX2{кТ + Г)+ ... + b ix (кТ + Т).

(6.2-9)

Используя соотношения (6.2-8) и (6.2-9), находим

у {кТ) = с^х, (кТ) + с^х^ (кТ) + ... + с„х„ (кТ) + du (кТ), (6.2-10)

где с, = - & iao. О = - -i y-i. /== 2, 3, ..., и do =& i.

Уравнения (6.2-8) и (6.2-10) можно также записать в матричном виде

х{кТ+Т)АоХ{кТ) + Ъои(кТ),

y{kT)clx{kT) + dou{kT), (-2

где матрица Аэ и вектор х определяются формулами (6.1-22) и (6.1-21), Ьо=[0, О,..., Iji -вектор-столбец размером XI. Со = [с Cg,с„]-вектор-строка размером 1 X , rfo-скалярная величина.

Результат не изменится, если числитель и знаменатель импульсной и передаточной функции в выражении (6.2-10) умно-

жить на 2 . При этом соответствующие фазовые переменные системы примут вид

Хг{к) = х{к), X2{k) = x(k + \),..., x {k) x(k + п-I).

В заключение заметим, что период квантования Т во многих случаях можно считать равным 1. При таком выборе Т векторные уравнения (6.2-П) запищутся в виде

x(A-f 1) = Аох(А) + Ьои(А),

y{k) = clx{k) + d,u{k). (-

6.3. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

В наиболее общем виде уравнения состояния нелинейных многомерных импульсных объектов можно записать следующим образом [2-4]:

х(/,+,) = Цх(а и(а 4).

где первое равенство представляет собой некоторое разностное уравнение, а второе аналогично уравнению.для непрерывных систем. Эти уравнения обычно записывают также в виде

X..: = f(x.U a

Рассмотрим широко распространенный случай, когда интервал квантования Т является постоянной величиной. При этом вместо уравнений (6.3-1) будем иметь

X (АГ -f Г) = f (X (АГ), U {кТ), кТ), у {кТ) = g (X {кТ), U (кТ), кТ),

или, если Т -I,

x{k+l)==i{x{k), Х1(к), к),

y(A) = g(x(A), п{к), к). -

в общем виде уравнения состояния линейных стационарных импульсных систем или объектов задаются системой соотношений

х(/,+,)= Ax(/,)-f Ви(у,

y(/,)=Cx(/,)-f Du(a

или

х,+, = Ах, + Вщ, y, = Cx,-fDu,. (-3-6)