По теореме Кели-Гамильтона К(А) = 0, следовательно,

F(A) = R(A) (3.2-29)

Сравнение методов. Сравним эти три метода определения фундаментальной матрицы с помощью простого численного примера. Пусть

Г О 1]

А= 2 з Si = -1, S2 = -2.

Используя метод преобразования Лапласа, получим И-А]

Обратная матрица

S -1 2 S + 3

S + 3 1

-2 S

Обратное преобразование Лапласа приводит к равенству

- 2е- - е- - е~2

-2 (е- - -(е- - 2е-)

ф() = еА/

Пользуясь же теоремой разложения Сильвестра, получим из формулы (3.2-8)

0() = eA< g-

И наконец, применяя метод Кели - Гамильтона, найдем частное, которое в данном случае является многочленом первого порядка:

Для функции F{s)=e и собственных значений 5i = - 1, S2 = - 2 система уравнений (3.2-26) примет вид

е- = Гп - г,

= Го-2Г1.

Решая ее, найдем

Го = 2е--е- п

Откуда, пользуясь свойством (3.2-21), получим, как и прежде.

ф (/) = = F (А)=(2е- - е-О

1 О О 1

+ (е-< е-2/)

О 1 -2 -3

в этом примере наиболее простым оказался метод разложения по теореме Сильвестра; не следует, однако, думать, что это имеет место во всех случаях.

Покажем, как можно найти матрицу перехода методом разложения в бесконечные ряды. Степени матрицы А можно определить последовательным умножением:

1 О О 1. -2 -3 6 7

О Г

-2 -3

-14 -15

Умножая каждую из матриц в соответствии с (3.1-14) на множители 1, t, Р/2\, t/3\ и складывая, получим

1 --2t +

2ti j 63

3! 143

32 7

+ ... 1-3/ +

+ ...

Теперь требуется найти функции, разложением которых являются эти бесконечные ряды; в этом состоит основной недостаток и трудность предлагаемого метода. Однако для рассматриваемого примера искомые функции определяются легко и полученный результат совпадает с предыдущими решениями.

3.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ В СЛУЧАЕ КРАТНЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ

Если некоторые из собственных значений совпадают, вычисление фундаментальной матрицы усложняется. В методе преобразования Лапласа вместо обращения выражения для случая простых собственных значений

i s s.

(3.3-1)

/(0 =

требуется обратить выражение, отвечающее собственному значению кратности тг = т>1:

(3.3-2)

В данном случае суммирование производится для различных собственных значений, а каждое множество кратных собствен-

ных значений учитывается только один раз. Применение теоремы разложения Сильвестра приводит к выражению

R(A) =

(т - 1)! ds(m -1)

R is) Adj [si - A] His - s,ri

L ГЛ

(3.3-3)

в котором сумма берется по всем собственным числам, причем кратные значения учитываются только один раз. Последнее выражение можно переписать в следующем виде:

R(A) =

i ft=l

: /?->(s,.)Pl -)(A)

где

- Adj [51-А] R(s-s,fJ

(3.3-4) (3.3-5) (3.3-6)

Индекс i у многочлена Р относится к кратному собственному значению s а индекс k обозначает порядок производной.

При использовании метода Кели - Гамильтона в систему п уравнений (3.2-24) для определения коэффициентов г, должны входить уравнения, отвечающие собственному значению кратности mi = m:

dF(s) ds

Например, для матрицы

(А = 0. 1,.... те - 1). (3.3-7)

фундаментальная матрица имеет вид

е' О

3.4. СТАЦИОНАРНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ Рассмотрим неоднородное векторное дифференциальное

уравнение

к(0 = Ах(0 + Ви(/).

(3.4-1)

Умножив обе части на e-, получим

е- А' x{t) = е- Ах (t) + е- Bu (/). (3.4-2)

Так как

-А< = е- А'А = - Ае- (3.4-3)

из выражения (3.4-2) следует, что

е- А< X it) - Ае-А'х (О = е-*Ви it). (3.4-4) Сопоставляя формулы (3.4-4) и (3.4-3), получим

[е-*х(0] = е-* Ви(0. (3.4-5)

Интегрируя обе части в пределах от О до t, придем к равенству

е-х it) - X (0) = Je-* Bu (x)£fx. (3.4-6)

о

Отсюда и из формулы будем иметь

X(t) = е^х (0) -f е^ Je-*Buix)dx, (3.4-7)

или

X it) = ex (0) + J Bu (t) й?т. (3.4-8)

Найденное решение можно записать в виде

xit)Фit)xiO) + Ч>it), (3.4-9)

где Ф() - фундаментальная или переходная матрица, а (fit) - вектор возмущенного движения:

<Р (О = IФ ( - т) Bu (т) dx. (3.4-10)

Аналогичную формулу решения можно получить, применяя преобразование Лапласа к неоднородному уравнению (3.4-1):

sX (S) - X (0) = АХ is) + BU is), (3.4-11)

X is) = \s\ - A]-i X (0) -f [si - A]- BU is). (3.4-12)

Возьмем обратное преобразование Лапласа и воспользуемся

замкнутой относительно фундаментальной матрицы формулой

(3.2-3). При обратном отображении произведение преобразований Лапласа перейдет в интеграл свертки от соответствующих функций времени, и мы опять получим выражение (3.4-8) или (3.4-9) и (3.4-10).

ЛИТЕРАТУРА

1. Kalman R. Е. Mathematical Description of Linear Dynamical Systems. J Soc. Ind. Appl. Math.. 1963. Ser. A, pp. 152-192.

2. Chidambara M. R. Relation between Slate Variables, Outputs and their Derivatives. Control. 1965, 9, p. 107.

3. Ellis J. K., White O. W. T. An Introduction to Modal Analysis and Control. Control, 1965, 9, pp. 193-197. pp. 262-266, pp. 317-321.

4. Balakrishnan A. V. On the State Space Theory of Linear Systems, J. of Math. Anal, and Appl., 1966.

5. Vidyasagar M. A Novel Method of Evaluating e*- in Closed Form, IEEE Trans. Autom. Control, 1970, AC-15, pp. 600-601.

6. Cullen C. G. Remarks on Computing e*. IEEE Trans. Autom. Control. 1971, AC-16, pp. 94-95.

7. Vidya Sagar M. Characterization of e* and a Constructive Proof of the Controllability Criterion, IEEE Trans. Autom. Control. 1971. AC-16. pp. 370-371.

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Распространим полученные выше результаты на изменяющиеся во времени (так называемые неавтономные) системы, описываемые дифференциальными уравнениями с пере?ленными коэффициентами [1-4, 6, 7, 18].

4.1. РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим однородное уравнение

x{t)=-A{t)x{t). (4.1-1)

Допустим, что его решение можно представить в виде

х(0 = Ф(, о)х(о). (4.1-2)

где

Ф(, о) = 1- (4.1-3)

Очевидно, что и в этом случае задача состоит в определении фундаментальной, или переходной, матрицы Ф(, to). Так как матрица системы меняется во времени, решение явно зависит от начального момента времени.

Для стационарного уравнения нет необходимости учитывать время 1о в выражении фундаментальной матрицы: в этом случае решение зависит только от интервала времени между моментом и и данным моментом t. Разумеется, решения для стационарной системы можно было бы также выразить, заменив х(0) на х(о), а t на разность t - to. Однако это необязательно; без потери общности в стационарном случае можно положить 0=0. В выражении переходной матрицы нестационарной системы часто, но не всегда можно считать, что значение /о=0. Например, если момент U является множителем в знаменателе некоторых элементов переходной матрицы, то значение о=0 недопустимо.

Продифференцируем предполагаемую формулу решения (4.1-2)

X (О = Ф (t, to) X (to) = Ф {t, to) X (o) (4.1-4)

и умножим слева обе части выражения (4.1-2) на матрицу А(0. С учетом равенства (4.1-1) получим

k{t)==A{t)Фit,to)x(to). (4.1-5)

Из последних двух соотношений вытекает, что

Ф (t, to) X (to) = А (О Ф it, to) X ito). (4.1-6)

Это уравнение должно выполняться при произвольном начальном условии, следовательно,

Фit, to) = Ait)Фit, to). (4.1-7)

Таким образом, переходная матрица задается матричным дифференциальным уравнением, аналогичным исходному векторному дифференциальному уравнению (4.1-1). Уравнение (4.1-7) можно также использовать для рекуррентной аппроксимации переходной матрицы. Из единственности решения дифференциальных уравнений следует, что любому векторному дифференциальному уравнению отвечает только одна переходная матрица. Если же переменная матрица Af) приводится к постоянной матрице А, тогда Ф(, о) можно привести к матрице Ф(-о) = ехр А(-а

Свойства переходной матрицы Ф(, о) аналогичны свойствам экспоненциальной матрицы Ф it) = ехр At:

Фito,to)==l, еА(. -ад = ,

Ф (2. о) = Ф (4. А) Ф (1. 4). - =

Ф-Htг, 4) = Ф(2. А). е-А(- = еА(<,- .

На рис. 4.1-1 представлено геометрическое истолкование перечисленных выше свойств матрицы перехода.

\(t)=<(t,t,)x(t,)

а

x(to) = (U,U)x(to)=lx(to)

\(tzh (U. to) X (to) x(tz)=t,) (ti)

(Ct t,)(t tJx(to)

(t,) = (t to)%(to)

>\(tг)(t,Л) S(ti)

X(t,)=ft tJS(t,} (tz.t,)f((tz!

Рис. 4.1-1. Три основных свойства матрицы перехода.

Первое характеристическое свойство уже приведено в выражении (4.1-3). Второе свойство можно вывести, сопоставив следующие соотношения:

Х(/2) = Ф(4. l)x(a

х(1) = Ф(1, to)xito).

Таким образом,

Х(2) = Ф{4. А)Ф(1. о)х(о)

и в то же время

Х(2) = Ф(2- to)x{to).

Пользуясь произвольностью начального условия х(4), получим второе свойство

Ф (2. Q = Ф (2. i) Ф (1. о)- (4.1 -8)

Наконец, чтобы установить третье свойство, рассмотрим следующие выражения:

х(4) = Ф(4, t,)x(ti)

и

х(А) = Ф(А, 4)х(4)-

Умножая последнее соотношение на матрицу, обратную переходной матрице, получим

Ф-ЧЛ. 4)x(/i) = x(y.

Сравнив первое равенство и третье, получим третье свойство переходной матрицы

Ф-Ч^1. 2) = ©fe А)- (4.1-9)

4.2. РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Для решения неоднородного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами

X (О = А (О X (О + В (t) U it) (4.2-1)

применяется метод вариации постоянных (метод Лагранжа). Предполагается, что в решении однородного уравнения

x{t)=0(t, to)c(t) (4.2-2)

постоянная с, определяемая начальным условием, зависит от времени. Продифференцируем равенство (4.2-2):

i (О = Ф (i, io) с it) + Ф it, to) С (t). (4.2-3)

Используя это выражение и выражение (4.1-7), получим

X (О = Ф it, to) с (О + А it) Ф it, to) с it). (4.2-4)

Подставим предполагаемую формулу решения (4.2-2) в дифференциальное уравнение (4.2-1):

X (О = А it) Ф it, to) С (О + В it) U it). (4.2-5)

Из сравнения последних двух уравнений находим

Фit, to)cit) = it)t4t). (4.2-6)

Умножая на обратную переходную матрицу и применяя третье свойство переходной матрицы (4.1-9), получим

Qit) = ®ito, t)Bit)uit). (4.2-7)

Интегрируя по времени, будем иметь .0 ( t

tfc == J с (х) rfi: = J Ф (0, х) В (т) U (х) rfT. (4.2-8)

0 to

Замечая, что с (о) = х (/о), получим

с (О = X (о) + J Ф (0, ) в (х) U (х) б?х. (4.2-9)

Подставляя полученное выражение в выражение (4.2-2) и используя второе свойство переходной матрицы, получим общее решение в виде

X (О = Ф(i, Q X (g + JФ(, х)в (х) u(х)d-z. (4.2-10)

Этот результат можно также записать в виде

X (О = Ф {t, to) X (о) + <Р (t, to), (4.2-11)

где

Ф {t, g = IФ (, x) В (x) u (x) dx. (4.2-12)

4.3. СОПРЯЖЕННЫЕ СИСТЕМЫ

Пусть нестационарное однородное дифференциальное уравнение состояния имеет вид

kit) = \(t)\it). (4.3-1)

Уравнение состояния

z(0 = ~AT(Oz(0, (4.3-2)

где А'(О-матрица, транспонированная по отношению к матрице А, называется сопряженным дифференциальным уравнением. Решение уравнения (4.3-1) задается формулой

xit) = Oit, to)x(to), (4.3-3)

а решение сопряженного уравнения имеет вид

z(t) = V{t, to)zito). (4.3-4)

Покажем, что для любого момента времени t переходные матрицы этих уравнений связаны соотношением

Из первого свойства (4.1-3) вытекает, что это равенство справедливо при t = to:

Wito, to)Ф{to, to) = U=-l (4.3-6)

Произведение матрицы (t, tq), транспонированной к сопряженной переходной матрице W{t, to), на переходную матрицу Ф(/, о) можно также рассматривать как некоторую фундаментальную матрицу по переменной yf{t), для которой

V (t) = (t, to) Ф (t, to) V (to). (4.3-7)

Дифференцируя по времени, получим

V it) = [Ч^ (i, to) Ф it, to) + FT {t, to) Ф (t, to)\ V {to). (4.3-8)

По определению и в соответствии с равенством (4.1-7) фундаментальные матрицы удовлетворяют однородным дифференциальным уравнениям

{t,to)=-K4t){t.to) (4 3.9)

®{t, to) = Ht)Ф{t, to).

Транспонируем обе части первого уравнения. Результат транспонирования и второе из уравнений (4.3-9) подставим в равенство (4.3-8). Выполнив эти преобразования, придем к соотношению

V it) = [- it, to) A it) Ф it, to) + FT {t, to) A it) Ф it, to)] V (o)-

(4.3-10)

Матрица в правой части полученного выражения равна нулю. Следовательно, функция v(t) является решением дифференциального уравнения

v(0 = 0 (4.3-11)

с начальным условием v{t):

v(0 = lv(a (4.3-12)

Сравнивая выражения (4.3-7) и (4.3-12), найдем, что

FT it, to) Ф (t, to) V (o) = Iv (o). (4.3-13)

Так как начальное условие v(to) может быть произвольным, доказываемое соотношение (4.3-5) между двумя фундаментальными матрицами установлено. Кроме того, из тождества

Ф-Ч^, о)Ф(. о) = 1 (4.3-14)

и третьего свойства фундаментальной матрицы (4.1-9) будем иметь

Ч^т = ф-1 ф (, (4.3.15)