получим

TAi = АЧ. (2.6-15)

Повторяя описанную процедуру, придем к соотношению

ТА = А Т. (2.6-16)

Умножая справа выражение (2.6-10) на вектор Ьл и используя выражение (2.6-11), можно показать, что

ТАГЬо = А'Ъ. (2.6-17)

Пусть т принимает все целые значения между нулем и п-1. Объединим соотношения (2.6-17) для различных целых т в одно матричное равенство

Т [А!Г'Ъо, АГЬо,..., АоЬо, bo] = [A -b, A -b,..., Ab, bj. (2.6-18)

Сокращенно это соотношение можно переписать следующим обоазом:

ТСо = С, (2.6-19)

где С и Со-матрицы управляемости фазовых уравнений и уравнений состояния. При наличии полной управляемости эти матрицы невырожденны и, следовательно, матрица

Т = ССо^ (2.6-20)

В результате несложных преобразований найдем матрицу Со:

1 О О ... О О

1 О ... О О

1 ... о о

п-1

-щ -Оз -а4 -а, -02 -аз

1 О 1

(2.6-21)

Подставив эту матрицу в равенство (2.6-20), получим матрицу, определяемую соотношениями (2.6-9) и (2.6-8).

ЛИТЕРАТУРА

1. Kalman R. Е.. Bertram J. Е. General Synthesis Procedure for Computer Control of Single-Loop and Multiloop Linear Systems (An Optimal Sampling System). Trans. AIEE. 1958, 77, Pt. II, pp. 602-609.

2. Kalman R. E. On the General Theory of Control Systems, Proc. First IFAC. Moscow, 1960. Butterworths, London, 1961.

3. Kalman R. E. Canonical Structure of Linear Dynamical Systems. Proc. Nat. Acad. Sci. US. 1962, 48, pp. 596-600.

4. Ho Y. C. What Constitutes a Controllable System, IRE Trans. Autom. Control. 1962. AC-7, p. 76.

5. Kalman R. E.. Ho Y. C. Narendra L. S. Controllability of Linear Dynamical Systems, Contributions to Differential Equations, Interscience Publishers Inc. N. Y.. 1962. pp. 189-213.

6. Brockett R. W., Mesarovic M. D. Rynthesis of Linear Multivariable Systems. AIEE Trans. (Applications and Industry), 1962. 81, Pt. П. pp. 216- 221.

7. Попов В. М. Решение HOBOit проблемы усто11чивостн для регулируемых систем. Автоматика и телемеханика, 1963, 24, № 1.

8. Gilbert Е. G. Controllability and Observability in Multivarilble Control Systems. J. Soc. Ind. Appl. Math., 1963, Ser. A. pp. 128-151.

9. Lee E. B. On the Domain of Controllability for Linear Systems, IRE Trans. Autom. Control, 1963, AC-8, pp. 172-173.

10. Kalman R. E. Mathematical Description of Linear Dynamical Systems, J. Soc. Ind. Appl. Math.. 1963. Ser. A. pp. 152-192.

11. Raue D. S. A Simplified Transformation to Phase Variable Form. IEEE Trans. Autom. Control, 1963, AC-8, pp. 608-619.

12. Morgan B. S. The Synthesis of Single Variable Systems by State Variable Feedback. Proc. Allerton Conf. on Circuit and System Theory 1963. University of Illinois, Urbana.

13. Kreindler E., Sarachik P. E. On the Concepts of Controllability and Obser-vabilitv of Linear Systems, IEEE Trans. Autom. Control. 1964, AC-9. pp. 129-137.

14. Johnson C. D., Wonham W. M. A Note on the Transformation to Canonical (Phase-Variable) Forms. IEEE Trans. Autom. Control, 1964. AC-9, pp. 312-313.

15. Butman S., Swan R. On Cancellations, Controllability and Observability, IEEE Trans. Autom. Control, 1954, AC-9, pp. 317-318.

16. Balakrishnan A. V. On the State-Space Theory of Nonlinear Systems, в книге Caianiello (ed.). Functional Analysis and Optimization, Academic Press. 1954.

17. Morgan B. S. The Synthesis of Linear Multivariable Systems using State Variable Feedback, Preprint Joint Automatic Control Conference, Stanford, Calif.. 1964.

18. Chang A. An Algebraic Characterization of Controllability, IEEE Trans. Autom. Control. 1965, AC-10, № 1. pp. 112-113.

19. Bass R. W., Gura I. High Order Systems Design via State-Space Consideration, Preprint of Joint Automatic Control Conference 1955, Troy, N. Y.

20. Silverman L. M. Transformation of Time-Variable Systems to Canonical (Phase-Variable) Form. IEEE Trans. Autom. Control. 1966. AC-11, pp. 300-303.

21. Chidambara M. R. Relation between State Variables, Outputs and their Derivatives, Control, 1965, p. 107.

22. Mufti I. H. On the Reduction of a System to Canonical (Phase-Variable) Form. IEEE Trans. Autom. Control, 1965, AC-10, pp. 206-207.

23. Silverman L. M., Meadows H. E. Degrees of Controllability in Time Variable linear Systems. Proc. NEC, 1965. 21, pp. 689-693.

24. Brockett R. W.. Poles. Zeros and Feedback. IEEE Trans. Autom. Control. 1965, AC-10, pp. 129-135.

25. Ellis J. K.. White G. W. T. An Introduction to Modal Analysis and Control. IEEE Trans. Autom. Control, 1965, AC-10, pp. 193-197. 262-266, 317-321.

26. Tnel W. C. Canonical Form for Linear Systems, IBM Research Rept.. RJ 375. 1965.

27. Tuel W. C. On the Transformation to (Phase-Variable) Canonical Form, IEEE Trans. Autom. Control. 1966, AC-11, p. 607.

Chidambara M. R. Comment on .On the Transformation to (Phase-Variable) Canonical Form . IEEE Trans. Autom. Control. 1966. AC-11, pp. 607-608,

29. Kalman R. E. On Structural Properties of Linear Constani Multivariable Systems, Proc. of the 3rd IFAC Congress, London, 1966.

30. Chen C. F.. Chu H. A Matra for Evaluating Schwarzs Form. IEEE Trans. Autom. Control, 1966, AC-11, pp. 303-305.

31. Slivinsl<y O. R. Linear Systems Design Using State-Variable Feedbacl<, MS thesis, university of Arizona, Tucson. Ariz., 1966.

32. Balakrishnan A. V. Foundations of the State Space Theory of Continuous Systems, J. of Computer and System Sciences. 1966, 1, № 1.

33. Balakrishnan A. V. On the State Space Theory of Linear Systems, J. of Math. Anal, and Appl., 1966, 7.

34. Balakrishnan A. V. On the Controllability of a Nonlinear System. Proc. Nat. Acad. Sci., 1966. 55, pp. 465-468.

35. Luenberger D. G. Canonical Forms for Linear Multivariable Systems, IEEE Trans. Autom. Control. 1967. AC-12, pp. 290-293.

36. Rosenbrock H. H. Least Order of System Matrices, Electronics Letters, 1967, 3, pp. 58-59.

37. Rosenbrock H. H. Connection between Network Theory and the Theory of Linear Dynamical Systems, Electronics Letters. 1967. 3, pp. 296-297.

38. Rosenbrock H. H. Reduction of System Matrices, Electronics Letters, 1967, 3, p. 368.

39. Rosenbrock H. H. On Linear System Theory, Proc. lEE, 1967, 114, pp. 1353-1359.

40. Reis G. C. A Matrix Formulation for the Inverse Vandermonde Matrix, IEEE Trans. Autom. Control, 1957, AC-12, p. 793.

41. Herring J. E. Design of Linear and Nonlinear Control Systems via State Variable Feedback, Doctoral dissertation. University of Arizona, Tucson, Ariz., 1967.

42. Melsa J. L. A Digital Computer Program for the Analysis and Desing of State Variable Feedback Systems, University of Arizona, Engineering Experiment Station Report, 1967.

43. White R. C. Sensitivity and State Variable Feedback, MS thesis. University of Arizona, Tucson, Ariz., 1967.

44. Mayne D. O. Computional Procedure for the Minimal Realisation of Tran-sfer-Funciion Matrices, Proc. IEEE. 1968, 115, pp. 1363-1368.

45. Loo S. G. A Simplified Proof of a Transformation Matrix Relating the Companion Matrix and the Schwarz Matrix, IEEE Trans. Autom. Control, 1968, AC-13, pp. 309-310.

46. Mantey P. E. Eignevalue Sensitivity and State-Variable Selection, IEEE Trans. Autom. Control, 1968. AC-13, pp. 263-269.

47. Oauvrit M. H., Gueguen C, Frossard A. Construction dune representation minimale en variables detats. IFAC-Symposium iiber Mehrgrossen-Regel-systeme Dusseldorf, 1968. Band 1, Preprints of the Papers, 1, pp. 1-10.

48. Gauvrit M. H., Gueguen C, Frossard A. Une representation intermediaire des Systemes multidimensionnels, IFAC-Symposium uber Mehrgrossen-Regelsysteme Dusseldorf, 1968, Band 1, Preprints of the Papers, 1, pp. 1-10.

49. Mac Farlaine A. G. J. Mapping of the State Space into the Complex Plane, IFAC-Symposium uber Mehrgossen-Regelsysteme Dijsseldorf, 1968, Band 1, Preprints of the Papers, 1, pp. 1-13.

50. Menahem M. Notes sur la theorie des systemes multidimensionnels. La factorisation matricielle, IFAC-Symposium fiber Mehrgr6ssen-Regelsy.steme Dijsseldori, 1968, Band 1, Preprints of the Papers. 1, pp. 1-16.

51. Rosenbrock H. H. Discussion Remarks on Papers of Gueguen-Frossard-Gauvrit and that of Menahem, IFAC-Symposium uber Mehrgrossen-Regel-systeme Dusseldorf. 1968, pp. 40-46.

52 RamasAami В., Ramar K. Transformauon fo the Phasa-Variable Canonical Form. IEEE Trails. Autom. Control, 1968. AC-13, pp. 746-747.

53. Dorf К. С. State Variables Smooth the Way for Designing Comolex Svs. tems, Electronics. 1967, pp. 102-106. 6 s н оуь

54. Kaufman I. The Inversion of the Vandermonde Matrix and the Transformation to the Jordan Canonical Form. IEEE Trans. Autom. Control. 1969 AC-14, pp. 774-777. .

55. Seal C. E., Stubberud A. R. Canonical Forms for Multiple-Input Time-Variable Systems, IEEE Trans. Autom, Control. 1969, AC-14, pp. 704-707

56. Ramaswami В.. Ramar K. On the Transformation of Time-Variable Systems to the Phase-Variable Canonical Form. IEEE Trans. Autom. Control. 1969 AC-14, pp. 417-419.

57. Porter W. A. Diagonalization and Inverses for Non-Linear Systems. Int J Control, 1970, 11, pp. 67-76.

58. Ramaswami В., Ramar K. On the Transformation of Time-Variable Systems to the Phase-Variable Canonical Form, IEEE Trans. Autom. Control, 1969, AC-14, pp. 417-419.

59. Ramar K- Ramaswami B. Transformation of Time-Variable Multi-Input Systems to a Canonical Form, IEEE Trans. Autom. Control, 1971, AC-16, pp. 371-374.

60. Bonivento C, Ouidorzi S. Canonical Input-Output Description of Linear Multivariable Systems Ricerche di Automatica, 1971. 2, pp. 72-83.

3. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ

Применяя метод фазовых переменных и переменных состояния, можно понизить порядок линейного дифференциального уравнения, приведя его к векторному дифференциальному уравнению первого порядка. Ниже рассмотрено решение этого уравнения [36*, 135*, 145*, 151*].

3.1. СТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Найдем решение однородного стационарного (автономного) дифференциального уравнения первого порядка

х = Ах. (3.1-1)

Вначале рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение

х = ах (3.1-2)

с начальным условием x{Q). Разделяя переменные, получим

J = aj. (3.1-3)

x(Q) 0

Интегрируя, будем иметь

1п^} = а/. (3.1-4)

Отсюда следует, что

X {t) = e-t X (0) = 2 ж ()* (0). (3.1-5)

ft=0

Для решения векторного дифференциального уравнения (3.1-1) попробуем воспользоваться аналогичной формулой:

ft=0

(Абсолютная сходимость матричных рядов, составленных из rfi скалярных рядов, проверяется непосредственно.) Дифференцируя по времени, находим

= 2 (0) = А 2 (АО*- X (0), (3.1-7)

где ki = k-1. Из сопоставления формул (3.1-7) и (3.1-6) следует, что выражение (3.1-6) действительно удовлетворяет векторному дифференциальному уравнению (3.1-1) и, следовательно, определяет формулу общего решения векторного дифференциального уравнения. Таким образом, это решение можно выразить формулой типа (3.1-5), или в матричном виде

х(0 = еА*х(0), (3.1-8)

где по аналогии со скалярной функцией

x{t)=~ е^х (0) = ке X (0) = Ах {{).

Матричную функцию е** обычно называют фундаментальной-, или переходной, матрицей системы и обозначают через Ф{{). Таким образом, решением уравнения (3.1-1) является векторная функция

х(0 = Ф(Ох(0), (3.1-9)

где Ф(0 = ехр А^.

Отметим важное свойство фундаментальной матрицы:

ф(0) = еАо еО = 1. (3.1-10)

После того как фундаментальная матрица определена, можно записать решение x{t) дифференциального уравнения, отвечающее произвольному вектору начальных условий х(о)

х(0 = еА(-о)х(о) = е**е-°х(о) = е'х(0), (3.1-11)

где х(0) = е-А' х(о). а х (о) = х (0). Обозначив разность <-о через t, обнаружим еще одно свойство переходной

матрицы:

Ф(0 = Ф(ОФ(о)- (3.1-12)

Третье важное свойство состоит в том, что

ф-1() = ф( ). (3.1-13)

Система, задаваемая векторным дифференциальным уравнением, является устойчивой, если каждое собственное значение Si (i=l, 2, ..., п) матрицы А является либо отрицательным числом, либо имеет отрицательную действительную часть.

Наконец отметим, что фундаментальную матрицу можно определить с помощью разложения в бесконечные ряды:

ф () = еА* 2 АПК (3.1-14)

ft = 0

Для этого необходимо определять степени матрицы А, чего следует избегать; для решения поставленной задачи удобнее пользоваться методами, излагаемыми в разд. 3.2.

3.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ

Определение фундаментальной матрицы с помощью преобразования Лапласа. Определим преобразование Лапласа в случае векторного дифференциального уравнения (3.1-1):

sX(s)-x(0) = AX(s). (3.2-1)

Если зфв^, где S; {i= 1, 2,п) - собственные значения матрицы А, то

X(s) = [sI-A]-ix(0). (3.2-2)

Взяв обратное преобразование, найдем

X (t) = S-i [[si - А]- X (0)] = S-i [ [si - A]-i ] X (0).

Отсюда в силу единственности решения дифференциального уравнения следует, что

ф (i) = е^ = [ [si - A]-i ] = S-i [Ф (s)]. (3.2-3)

Таким образом, фундаментальная матрица задается аналитическим выражением (3.2-3). Согласно этой формуле, фундаментальная матрица совпадает с матричной весовой функцией элемента, для которого передаточная матрица Ф(5)=[51 - A]-i.

Определение фундаментальной матрицы по теореме разложения Сильвестра. Во временной области фундаментальную маг

трицу можно определить с помощью теоремы разложения Сильвестра, согласно которой каждую матричную функцию квадратной матрицы А, заданную бесконечным рядом

Р(А) = Да,А*. (3.2-4)

можно представить выражением, аналогичным интерполяционной формуле Лагранжа (2.5-17):

Р(А) = Д/(5,)Р,(А) (3.2-5)

при условии, что все собственные значения матрицы А различны. Предполагается, что

/=(5)= 2 (3.2-6)

ft=0

т. е. F{s) -аналитическая функция в некоторой области с центром в начале координат; такая функция может быть представлена в виде степенного ряда, сходящегося в этой области. Если все собственные значения принадлежат области регулярности, то переменную s можно заменить матрицей А. В результате такой замены равенство (3.2-6) перейдет в равенство (3.2-4). Многочлены Рг(А) в равенстве (3.2-5) аналогичны многочленам в выражении (2.5-18) и получаются из них заменой скалярной переменной s матрицей А:

Р.(А) = П77:г^- (3-2-7)

Эти многочлены не зависят от вида функции F(A). Если F(A) = eA< то из выражения (3.2-5) найдем, что фундаментальная матрица

Ф(1) = е-(е^11\ (3.2-8)

Равенство (3.2-8) совпадает по форме записи с утверждением теоремы Сильвестра.

Докажем вначале аналогичную формулу для произвольного многочлена R(A) матрицы А, степень которого не выше п-Ь

R (А) = ГоИ- riA -Ь ... -t- r iA -4 (3.2-9)

Этот многочлен матрицы А запишем в виде

п п

(3.2-10)

Так как под знаком произведения фигурируют/г-1 сомножителей, то R (А) - многочлен степени п-1, в записи которого (3.2-10) использовано п коэффициентов с^. Эти коэффициенты однозначно определяются п коэффициентами Го, г^,..., r i. Пусть при 1=1, 2, .... п есть п различных собственных векторов матрицы А. Умножая обе части равенства (3.2-10) на собственные векторы v, получим

R(A)v,= I>c,Jl[A-Sjl]v,

(3.2-11)

Так как - sv = О, т. е. [А - sj] = О, все члены этой суммы, кроме i-ro слагаемого, обратятся в нуль. Отсюда после несложных преобразований находим

R(A)v,=

c,n[A-Sjl]

Vi. (3.2-12)

Так как все собственные значения матрицы А различны, полученное выражение можно переписать следующим образом:

R(A)v, = /?(s,)v

где

Ris) = ro + r,s+ ... + r iS - . Очевидно также, что

(3.2-13) (3.2-14)

(3.2-15)

Подставляя это выражение в равенство (3.2-10) и заменяя индекс k на индекс /, получим

П [A-sjl]

R(A)=2/?(s,)

/ = 1 ~

(3.2-16)

П {Si-Sj)

Ниже с помощью теоремы Кели-Гамильтона показано, что функция F(A), заданная сходящимися бесконечными рядами, совпадает с некоторым многочленом R (А), степень которого не превосходит я - 1. Поэтому выражение (3.2-16) действительно приводит к формулам (3.2-5) и (3-2-7). Заметим, что равенство (3.2-16) можно также записать в виде

(А)-2 д;:;. (3.2-17)

/=1

где

K(s) = \sl-A\. (3.2-18)

Метод, основанный на теореме Кели - Гамильтона. Еще

один метод определения функций от матриц основан на теореме Кели - Гамильтона. Очень часто этот способ оказывается значительно проще методов, рассмотренных выше.

Пусть Р(А)-многочлен от квадратной матрицы порядка пХп, степень которого больше п, а iC(s)-характеристический многочлен матрицы А. Разделим P(s) на K(s). Получим

где (s)-остаток. Умножая на многочлен K{s), придем к равенству

P(s)-Q (S) Kis) + R is). (3.2-20)

Если K{s) = 0, то

PiS)=RiS). (3.2-21)

Аналогично

Р (А) = Q (А) К (А) + R (А). (3.2-22)

По теореме Кели-Гамильтона К(А) = 0, следовательно,

P(A) = R(A). (3.2-23)

Например, для дифференциального уравнения х + 3х + 2 = и характеристический многочлен имеет вид

Kis) = s + 3s + 2.

Матрица фазового уравнения

О Г -2 -3

Найдем теперь значение полинома

Р (Ао) = АЙ + Ag -f Аб -f Ао + I,

не пользуясь операцией возведения в степень. Так как К (Ло) = Ао + ЗАо + 21, то простым делением найдем

Р(Ао) = -10Аэ-91 = и, следовательно,

P(Ao) = R(Ao) =

О -10 +20 +30

-9 О О -9

-9 20

-10 21

Описанный выше метод можно распространить также на случай, когда функция F (А) не является многочленом.

Пусть F(s)-функция комплексного переменного s, аналитическая в некоторой области с центром в начале координат. В этом случае F(s) можно разложить в ряд, сходящийся в этой области. Если Q(s) - аналитическая в рассматриваемой области функция, то

Fis) = Qis)K (s) + R is), (3.2-24)

где

R{s) = ro + r,s+ ... + r is -i (3.2-25)

-многочлен степени л-1. Подставляя собственные значения 5], 2, s в формулу (3.2-24), найдем коэффициенты г„, г .. ...,/ ]. Так как /C(sj=0, /=1, 2, п, то п неизвестных коэффициентов г,- (г = О, 1, п-\) могут быть однозначно определены из системы линейных уравнений

FiSi) = Ris,) (/=1-, 2, п).

(3.2-26)

Из равенства (3.2-24) вытекает, что Q(s) действительно является аналитической функцией в области регулярности функции F(s). По определению, функция F(s) не имеет полюсов в этой области, поэтому, согласно формуле (3.2-24),

(3.2-27)

Нули многочлена K(s) являются также нулями числителя, и, следовательно, полюсы Q(s) совпадают с полюсами F(s). Таким образом, Q(s) является также аналитической функцией в обла сти регулярности функции F(s) и равенство (3.2-24) выполняется при произвольном значении аргумента s из этой области. Если собственные значения матрицы А принадлежат области регулярности, то в выражении (3.2-24) переменную s можно заменить матрицей А:

F (А) = Q (А) К (А) + R (А). (3.2-28)