Матрицы si-А и А-si называются характеристическими матрицами, а уравнения /<(s)= si-А = О или D{s) = A-si 1=0- характеристическими уравнениями. Корни s,(/=l, 2, п) характеристических уравнений называются характеристическими числами (собственными значениями) матрицы А. По основной теореме алгебры матриц характеристические (собственные) векторы Уг(/=1, 2, п) матрицы А удовлетворяют векторным уравнениям

Av, = SiV, (/= 1, 2, .... /г), (1.1-16)

которые используются для нахождения этих векторов.

Согласно фундаментальной в теории матриц теореме Кели- Гамильтона, каждая матрица А удовлетворяет своему собственному характеристическому уравнению, т.е. К{А) = 0. (В характеристическом уравнении К(s) = О каждый членя заменяется на А'(/= 1, 2, .... я), а s на А° = 1.)

Матрица порядка пхг называется правосторонней обратной матрицей прямоугольной матрице порядка гхп, если произведение этих двух матриц равно единичной матрице гхг. Аналогично матрица порядка гХп называется левосторонней обратной матрицей прямоугольной матрице порядка пХг, если произведение этих двух матриц равно единичной матрице гХг. Однако в этом случае обратная матрица определяется уже не единственным образом.

1.2. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Выражение вида

(х, у) = У*Тх (1.2-1)

называется билинейной формой. Квадратичная форма определяется равенством

Q(x) = xARx. (1.2-2)

В обоих случаях значения этих выражений являются скалярными величинами. Здесь у*(х*) -вектор-строка, транспонированный и комплексно сопряженный к вектору-столбцу у(х), а Т и R - прямоугольные или квадратные комплексные матрицы. Если все элементы матрицы R и вектора х действительные числа, то квадратичную форму можно выразить в виде

Q(x) = xrRx, (1.2-3)

где R~симметрическая матрица: R=R. Действительно, квадратичная форма, соответствующая кососимметрической матрице, тождественно равна нулю, и, следовательно, в общем разложе-.

НИИ произвольной несимметрической матрицы достаточно использовать только симметрическую матричную компоненту. Иногда квадратичную форму обозначают через II х r. Любую квадратичную форму можно выразить в виде (1.2-3). Ранг квадратичной формы равен рангу г матрицы R. Ранг матрицы равен г, если наивысший порядок отличного от нуля определителя, который получается отбрасыванием некоторого числа строк и (или) столбцов этой матрицы, равен г при условии, что все определители порядка г+ I равны нулю. Квадратичная форма называется вырожденной, если г</г, и невырожденной, если г=п.

Пусть,L - невырожденная матрица. Введем преобразование

x=Lz. (1-2-4)

Тогда

xTRx = zTLTRLz. (1.2-5)

Следовательно, в новых переменных матрица квадратичной формы определяется произведением LRL. Две квадратичные формы называются эквивалентными, если одна из них может быть преобразована в другую с помощью некоторого преобразования координат. Если матрица L ортогональна, т. е. LL = LL = I (или в случае комплексных матриц L*L=LL*= I), то две квадратичные формы называются ортогонально эквивалентными.

Если различные собственные числа матрицы R, т. е. корни характеристического уравнения

sI-R = 0, (1.2-6)

обозначить через Si(i=l, 2, .. ., п) (в написанном уравнении две вертикальные черты обозначают определитель матрицы [si - R]), то действительная квадратичная форма x Rx ортогонально эквивалентна квадратичной форме

zSz = % Sizf, (1-2-7)

где

S = diag [s ..., s )].

1.3. НОРМЫ

За евклидову норму вектора с действительными координатами принимают выражение

lxlSl/xfbr=l/irf = l/ 2Д (1.3-1)

г 1 = 1

которое представляет абсолютную величину или длину вектора. Если некоторые координаты вектора х комплексны, то евклидова норма определяется равенством

IIX WYl = I л, р. (1.3.2)

Иногда используются другие нормы. Например,

п

x = xTsign х= (1.3-3)

где signX = [signXi, signx \ и

l,x>0.

sign л: Д

-l,x<0.

По аналогии евклидова норма действительной квадратной матрицы конечной размерности равна

IIАII = YWAJA = / i Д аЬ. (1.3-4)

Для комплексной матрицы А операция транспонирования заменяется транспонированием комплексно-сопряженной матрицы. Иногда также используют матричную норму, задаваемую равенством

1А| = Д^а -. (1.3-5)

Известным обобщением -мерного евклидова пространства является бесконечномерное гильбертово пространство [53*, 120*, 129*, 131*, 150*], в котором (действительном или комплексном) определено скалярное (внутреннее) произведение. Это пространство обладает обычными алгебраическими свойствами, норма вводится с помощью скалярного произведения аналогично тому, как это сделано для векторов евклидова пространства; кроме того, это пространство полное. Рассматривая координаты вектора гильбертова пространства счетной размерности как элементы некоторой последовательности, придем к выводу, что это пространство содержит такие численные последовательности, цля которых

х^х = 5 I X, р.

1

Распространяя выражение (1-3-2) на случай гильбертова про-

странства Н, получим следующее определение нормы вектора х:

IIX IIД А X = ]/ i (xif. (1.3-6)

Если координаты вектора действительные числа; то

x = V = j/ 2 х?< ОО. (1.3-7)

Следовательно, бесконечный ряд, составленный из координат этого вектора, квадратично суммируем. Для двух векторов бесконечной размерности выполняются также известные неравенства Шварца и треугольника:

уАх|<у|х|. (1.3-8)

lly-l-xJKIIyJU-llxll. (1.3-9)

Линейное преобразование А гильбертова пространства называется непрерывным, если из покоординатной сходимости последовательности векторов х„ к вектору х следует, что последовательность векторов уп = Ах сходится покоординатно к вектору у. Линейное преобразование называется ограниченным, если для любого вектора х гильбертова пространства

II Ах К ЖIIXII. (1.3-10)

Наименьшее значение М, для которого все еще выполняется неравенство (1.3-10), называется нормой преобразования А, и, следовательно,

Ах<А|х|. (1.3-11)

Преобразование А непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено. Говорят, что последовательность векторов х„ слабо сходится к вектору х*, если для любого вектора гильбертова пространства

Иш vx = vx*.

Оператор А называется компактным или вполне непрерывным, если для любой слабо сходящейся последовательности х„ последовательность у„ = Ах сходится сильно, т. е. имеет место сходимость по норме

Иту„-у* 11 = 0.

2 i I fly р < >.

то ограниченный оператор А принадлежит к классу так называемых операторов Гильберта - Шмидта и является компактным. Единичный же оператор Е непрерывен, но свойством компактности не обладает.

Гильбертово пространство является частным случаем более общих банаховых пространств [120*, 123*, 129*, 130*, 150*]. Действительное или комплексное векторное пространство называется нормированным, если в нем определена норма вектора, для которой

1) 1х|>0;

2) х + у|<х|-1-у|;

3) II йХ II = I а III х|, где а-скалярная величина;

4) II X 11=0 тогда и только тогда, когда х=0. Нормированное векторное пространство называется полным, если для любой последовательности векторов Хп, такой, что

II х„ - х„ IIО, п, т-оо, найдется вектор х*, для которого

х„- X* при ое,

т. е. х„-х*1К0.

Полное нормированное векторное пространство называется банаховым.

Действительная или комплексная функция/(х) называется линейным функционалом, если /(ах -h Ру) = а/(х) + р/(у). Функционал /(х) непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен, т. е. найдется такая положительная величина М, что

/(х)КЖх| (1.3-12)

для любого вектора х банахова пространства. Другими словами, каждый непрерывный линейный функционал ограничен. Наименьшая постоянная М в неравенстве (1.3-12) называется нормой функционала / и обозначается

Одной из возможных реализаций банахова пространства является пространство Lp=Lp(a, Ъ). Это действительное (или комплексное) векторное пространство образуется из скалярных функций x(t), определенных на фиксированном интервале а^й (а и 6 необязательно конечны) и удовлетворяющих неравенству

\\x{t)\Pdt<, (1.3-13)

а

где 1</7< ОО.

Две функции x{f) и y{t) в пространстве Lp считаются равными, если даже x{t)фy(,t) в конечном числе Точек t, при

условии, что

Аналогично можно определить пространство V = LP{a,b) ft-мерных векторных функций

для которых

x(0 = [xi(4 xi), ...,х„(ОГ.

b п а ( 1

(1.3-14)

Пространство является нормированным вектором. По определению.

Их (О Hp:

а i = l

(1.3-15)

LP можно считать частным случаем пространства V. По определению,

Uxit)\Pdt

(1.3-16)

Пространство Lp или Lp является полным, если ему принадлежат интегрируемые по Лебегу функции; если рассматриваются только те функции, которые интегрируемы по Риману, то это пространство является неполным. В практических приложениях наиболее важными являются нормы д.пя значений р = 1, 2 и оо. Отметим очень важное в теории банаховых пространств неравенство Гёльдера:

J x{t)y{t)dt < Ux{t)y{t)\dt<

b p/p г b

UxiOi dt Ily(OI

(1.3-17)

которое можно считать обобщением неравенства Шварца. Здесь

+ = 1.

(1.3-18)

Интеграл, стоящий в левой части неравенства (1.3-17), принято называть скалярным произведением x(t) и y(t), которое обозначается <х, у> или (х, у). Из неравенства Гёльдера следует, что абсолютная величина скалярного произведения двух функций не превосходит произведения их норм, дополнительных

в CMbicie равенства (1.3-18). Неравенство Гёльдера для сумм имеет вид

п

2 I а J

i = l

(1.3-19)

Наконец,- применяя неравенство

/ it) у (О Л < / хт (О у () I < / i I X, (О у, (О 1

с с а 1=1

и неравенство (1.3-19), получим

b п

а 1 = 1 а

г = 1

1/Р

li\yiit) F

Следовательно, в пространстве V

\x{t)yit)dt

; 11x11;, II у 11.

(1.3-20) (1.3-21)

Неравенство Гёльдера для скалярных функций (1.3-17) является частным видом общего неравенства Гёльдера (1.3-21) ввек-торном варианте. Из последнего неравенства следует, что интеграл скалярного произведения векторов-функций хС) и уС) не превосходит по абсолютной величине произведения их норм 1х|р и llyllg, дополнительных в смысле равенства (1..3-18).

Аналогичное по значению неравенство Минковского является обобщением неравенства треугольника. Для скалярных функций это неравенство можно записать в виде

II x{t) + y it) \ < IIX it) % + II у it) l\p, (1.3-22)

а для векторных функций -в виде

IIX (Ю + У (О \\р < IIX (t) Wp + II у it) Wp. (1.3-23)

1.4. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

В векторном анализе евклидова пространства [63*, 128*] в добавление к так называемым скалярным функциям скалярного аргумента

g-g(x) (1.4-1)

рассматриваются также скалярные функции векторного аргумента

и векторные функции векторного аргумента

g = g(x). (1.4-3)

Перечисленные типы функций представляют различные частные случаи наиболее общего, но сравнительно менее распространенного понятия матричной функции матричного аргумента или тензора

G = G(X). (1.4-4)

Перечисленные выше функции могут зависеть от нескольких аргументов, например

/=/(х, к); /=/(х, и); f = f(x, и), (1.4-5)

а также от независимой переменной t:

ff{x, и, t); ffix, u, 0; f = f(x, u, 0- (1.4-6)

Установим важные правила дифференцирования. Совсем просто определяется производная по скалярному аргументу, например:

х(0 =

~1Гdt

huii), a,2(0, .... ai (0

A() =

= [a:i, ... , x lT = i,

(1.4-7)

mi(0. я.2(0. .... amnii).

(1.4-8)

В физике широко используются понятия градиента, дивергенции и ротора. Градиент скалярной функции векторного аргумента есть вектор-столбец, определяемый равенством

gradg(x)

dgjx)

(1.4-9)

Дивергенция векторной функции векторного аргумента есть скалярная функция, определяемая формулой

d,vg(x)S+iS+...+*

(1.4-10)

Ротор векторной функции векторного аргумента есть вектор-столбец, определяемый равенством

rotg(x) =

dgs dg2 dgi dg dg2 dgj

(1.4-11)

dxo дхз дхз дх дх дх Широко используется также матрица из частных производных,

известная как якобиан:

J = J(g, х)о

(1.4-12)

и так называемый оператор набла, введенный Гамильтоном:

д 1Т

(1.4-13)

С помощью этого оператора приведенные формулы можно записать следующим образом:

graug{x) = Vg{x), (1.4-14)

div g (X) = V [g (X)] = [g (x)l [g (х)Г V, (1.4-15)

rot g (X) = V3 X [g (X)] = - [g (X)] X V3, (1.4-16)

J(g-x) = [g(x)lV\ (1.4-17)

В этих формулах точкой обозначено скалярное, или внутреннее, произведение, а косой крест служит для обозначения векторного, или внешнего, произведения.

Векторное произведение имеет смысл только для векторов трехмерного пространства, и, следовательно, оператор набла, входящий в векторное произведение, определяется тремя операторами частного дифференцирования. Встречающиеся в технике автоматического управления и регулирования векторы обычно принадлежат -мерному евклидову пространству поэтому нет необходимости подробно останавливаться на свойствах функции roig(x). Вместо оператора набла часто используют эквивалентный оператор векторного дифференцирования

(1.4-18)

дх, дх2

дхп

Записав оператор, транспонированный к дифференциальному оператору, в виде

(1.4-19)

можно переписать равенства (1.4-14), (1.4-15) и (1.4-17) еле-

дующим образом:

gradg(x)=g-(x) = -.

J(g. x) = g(x)

Для удобства обозначений запищем якобиан в виде

J(g,x)S,.*ffl..

В этих обозначениях транспонированная матрица Транспонированный к градиенту вектор

[gradg(x)]T =

dg(x)

(1.4-20) (1.4-21) (1.4-22)

(1.4-23)

(1.4-24)

(1.4-25)

a дивергенция определяется формулой (1.4-21) или выраже нием

divg(x) = trJ(g, x) = tr.

(1.4-26)

Для векторной функции нескольких векторных аргументов, например f(x, и), в обозначениях оператора набла используется нижний индекс, т. е. в этом случае вводится оператор частного дифференцирования:

~ <5х ~

V

dxj дх

д д

(1.4-27) (1.4-28)

Например, операторам частного дифференцирования скалярной функции /(X, U, i) или векторной функции f(x, и, t) соответствуют матрицы-столбцы

df(x. U, t) df{x. u, t) дх ди

или матрицы Якоби

di (X. U. f) dt (X. u. t)