Пример 3. Решим задачу управления, сформулированную в примере 1, при известных ограничениях относительно величины управляющих переменных. Используя предельный переход, получим при

и| = тах[ 2{01. з(01] <fAi = f. 0<<Г. Применительно к рассматриваемому случаю будем иметь

л

II w 111 = minIIWII, = min f [u +-Уг -f -rOt + Vs

Этот интеграл достигает минимума для значений

7 ..п згз

2 - 32 причем

1111, = [Г+ 8].

В соответствии с формулой (3.2-29) минимальное значение времени Т° находится из условия

llw , = <g[ro + 8]=.=-L.

Теперь определим координаты оптимального управления:

и? = Ж sign (----f), 0<t<T,

о = Ж sign (-f - ) , 0<<Го.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фельдбаум А. А. Оптимальные процессы в системах автоматического регулирования. Автоматика и телемеханика. 195-3, 14, № 6.

2. Bellman R., Glicksljerg I., Gross О. On the Bang-Bang Control Problem, Quart. Appl. Math., 1956, 14, pp. 11-18.

3. Болтянский В. Г., Гамкрелидзе P. В., Понтрягин Л. С. К теории оптимальных процессов, ДАН СССР, 1956, 110, № 1, стр. 7-10.

4. Болтянский В. Г. Принцип максимума в теории оптимальных процессов, ДАН СССР, 1958, 119, Ws 6.

5. Гамкрелидзе Р. В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах, Изе. АН СССР, сер. мат., 1958, 22, стр. 449-474.

6. Понтрягин Л. С. Оптимальные процессы регулирования. Успехи мат. наук. 1954, 14, стр. .3-20.

7. Красовский Н. Н. К теории оптимального регулирования. Автоматика и телемеханика, 1957, 18, № 11, стр. 960-970.

8. Крейн М. Проблема Л в абстрактных нормированных пространствах, часть 4 книги Н. Ахиезера и М. Крейна Некоторые вопросы теории моментов , 1938.

9. Kulikowski R. On Optimum Control with Constraints, Bull. Polish. Acad. Sci.. 1959, 7, № 4. pp. 285-294.

10. Kulil<owsld R. Concerning the Synthesis of the Optimum Nonlinear Control. Bull. Polish. Acad Sci.. 1959, 7, № 6, pp. 391-399.

11. Kulikowski R. Synthesis of a Class of Optimum Control Systems, Bull. Polish. Acad. Sci., 1959, 7, № 11, pp. 663-671.

12. Kulikowski R. Optimizing Processes and Synthesis of Optimizing Automatic Control Systems with Nonlinear Invariable Elemsnts, Proc. IFAC Moscow Conf., Butterworth Scientific Publications, London, 1961, pp. 473-477.

13. Kranc G M, Sarachik P. E. An Application of Functional Analysis to the Optimal Control Problem. J. Basic Eng., 1963, 85, № 6, pp. 143-150.

14. La Salle J. P. Time Optimal Control Systems. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1959. 45, pp. 573-577.

15. Desoer C. A. The Bang-Bang Servo Problem Treated by Variational Techniques, Information and Control. 1959, 2, № 12, pp. 333-384.

16. Friedland B. The Structure of Optimal Control Systems, J. Basic Eng. Trans. ASME. 1962. Ser. D. 84, pp. 1-12.

17. Lee E. B. Mathematical Aspects of the Synthesis of Linear Minimum Response Time Controllers. Trans. PGAC, 1960, AC-5, № 9, pp. 283-289.

18. Красовский H. H. К теории оптимального регулирования, Прикладная мат. и мех.. 1959, 23, № 4.

19. Dreyfus S. Е. Dynamic Programming and the Calculus of Variations. Math. Anal, and Appl.. 1960, 1, pp. 228-239.

20. Kulikowski R. On the Synthesis of Adaptive Systems, Bull. Polish Acad. Sci., 1969, 7, № 12, pp. 697-707.

21. Kreindler E. Contributions to the Theory of Time-Optimal Control. J. Franklin Inst.. № 4, pp. 314-344

22. Kreindler E.. Sarachik P. E. On the Concept of Controllability and Observability of Linear Systems, IEEE Trans. Autom. Control. 1964, AC-9, pp. 129-136.

23. Lee E. B. On the Domain of Controllability for Linear Systems. IEEE Trans. Autom. Control. 1963, AC-8, pp. 172-173.

24. Barrett J. F. The Use of Functionals in the Analysis of Nonlinear Physical Systems. J. Electron. Control, 1963. 15, № 6, pp. 567-615.

25. Кириллова Ф. M. О предельном переходе в решении одной .задачи оптимального регулирования. Прикладная мат. и мех., 1960, 24, № 2, стр. 277-282.

26. Bertram J. Е., Sarachik P. Е. On Optimal Computer Control. Proc. IFAC Moscow Conference. Butterworth Scientific Publications. London, 1960, pp. 979-982.

27. Seierstad A. Local Reachability for Differential Control Systems with Ba-nachvalued Trajectories, Matheraatick Seminar Universitiet i Oslo, 1968.

28. Seierstad A. A Pontryagin Maximum Principle in Banach Space, IEEE Trans. Autom. Control, 1968. AC-13, p. 299.

29. Tzafestas S. G. A Minimum Princip e in Hilbert Space. Int. J. Control. 1970. 11, pp. 917-921.

30. Zlobec S. Asymptotic Kuhn-Tucker Conditions for Mathematical Programming Problems in a Banach Space, SIAM J. Control. 1970, 8, pp.505-512.

31. Porter W. A. Nonlinear Systems in Hilbert Resolution Spaces, Int. J. Control, 1971, 13, pp. 593-602.

32. Meyer G. H. On Fixed Time Control Problems in a Banach Space. SIAM J. Control, 1970, 8, pp. 383-395.

Часть IV. АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Адаптация (аккомодация) является основной реакцией живого организма. Она означает приспособление организма к изменяющимся внешним и внутренним условиям. Реализация этого принципа в системах управления, по-видимому, имеет много достоинств и иногда просто необходима.

В данной части сначала дается классификация адаптивных систем, затем приводятся некоторые характерные примеры адаптивных систем, после чего рассматриваются пассивная адаптация, адаптация по входным переменным, экстремальные и оптимальные системы, адаптация переменных и характеристик системы, адаптивные системы с большим коэффициентом усиления, адаптивные системы с эталонной моделью и т. д. Кроме того, обсуждаются некоторые оптимальные методы и типы оптимальных систем. Изложены теоретические основы адаптации, обучения и оптимизации с помощью теории стохастической аппроксимации.

1. ТИПЫ АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Поня1ие адаптации, или адаптивности, появилось впервые в литературе по управлению примерно в середине 50-х годов, когда Цьш [1] описал модель мозга человека, построенную Эшби [2*]. Приблизительно в то же время Беннер и Дреник [2] дали описание управляющего устройства адаптивного характера. С тех пор выражение адаптивный употреблялось для самых различных систем управления. Однако в некоторых работах, опубликованных в более ранний период и не использовавших термин адаптивный , по существу рассматривались адаптивные системы. Достаточно указать работы Дрэпера и Ли [3, 4].

Был предложен ряд определений адаптивных систем управления, сначала в довольно узком смысле, позднее в значительно более широком аспекте. Дошло до того, что Траксэл [12, 100*] понимал под адаптивной системой всякую систему управления, спроектированную и синтезированную проектировщиком

адаптивным путем. И до сих пор нет точного и общепринятого определения адаптивной системы.

Как известно, с помощью управления без обратной связи (разомкнутое управление) можно исключить влияние некоторых предсказуемых внешних возмущений при условии, что характеристики составных частей и отдельных элементов системы управления достаточно просты и их специфические свойства почти не изменяются.

Для устранения влияния непредсказуемых возмущений необходимо использовать управление с обратной связью (замкнутое управление). В этом случае также предполагается, что свойства элементов системы управления более или менее известны и меняются слабо. Хорошо известно, что поведение системы управления с обратной связью в некоторой частотной области более зависит от частотных характеристик управляющего устройства, а не самого объекта управления.

Например, в случае простого контура управления, в цепи обратной связи которого стоит устройство управления, частотная характеристика системы управления равна

ТГ7/ \ C\J )p\J } ,. ,

где Gp(yco) и GpiJiS))-частотные характеристики соответственно управляющего устройства и объекта (или процесса управления). Если

то W{j(i)) 1. Это предоставляет достаточную свободу проектировщикам систем управления. Однако из-за требований, предъявляемых к устойчивости системы, и других ограничений на рабочие характеристики параметры управляющего устройства должны быть всегда близки к параметрам объекта (или процесса управления).

Параметры объекта (коэффициент усиления, постоянная времени и т. д.) могут изменяться под влиянием внешней среды, внутренних условий или того и другого одновременно. Например, могут изменяться температура окружающей среды, ее давление, состав и т. д. Аналогичное влияние на выходную переменную могут оказывать и изменения во внутренней структуре, такие, как изменение степени нагретости или изменения, вызванные старением.

В любом из перечисленных выше случаев характеристики объекта управления подвергаются влиянию возмущений и изменяются. Очевидно, если необходимо поддерживать отклонение выхода системы в стационарном состоянии от заданного уровня

ниже некоторого предела, а некоторые характеристики (например, время стабилизации, перерегулирование и т. п.) должны быть постоянными, то управление также надо менять, т. е. оно должно приспосабливаться (подстраиваться) к объекту управления. Именно системы, способные к такому поведению, и рассматриваются как адаптивные.

Выше был приведен только пример адаптации. Однако существует три общих свойства, которые вместе характеризуют собственно процесс адаптации.

1. Рабочие характеристики всей системы находятся под постоянным контролем и управлением с помощью дополнительных элементов и устройств.

2. Наблюдаемое поведение выражается в виде некоторого показателя качества или числовой характеристики, т. е. характеристики и операции в системе оцениваются количественно.

3. Если показатель качества изменился, то для того, чтобы он достиг снова оптимального значения, с помощью соответствующих дополнительных устройств изменяют параметры устройства управления, что приводит к изменению параметров всей системы.

Описанные выше процессы встречаются в каждой адаптивной системе в более или менее ярко выраженной форме. Из-за дополнительных требований к управлению адаптивные системы всегда являются системами с обратной связью, но, конечно, не всякая система с обратной связью будет адаптивной.

Не претендуя на полную классификацию, адаптивные системы можно разделить подобно тому, как это сделано в работе [5], на следующие типы:

1. Пассивные адаптивные системы.

Адаптивная система называется пассивной, если она выполняет свои функции даже при значительных воздействиях на нее внешней среды, причем без изменения своей структуры и параметров.

2. Системы с адаптацией по входному сигналу. Параметры систем этой группы автоматически подстраиваются по информации, передаваемой входными переменными.

3. Экстремальные системы.

Экстремальные системы часто называются пиковыми, оптимальными или оптимальными поисковыми системами, так как они автоматически подстраиваются к экстремумам некоторых заданных функций или функционалов от нескольких переменных (или параметров).

4. Системы с адаптацией переменных системы.

В этих системах самонастройка основана на контроле и управлении некоторыми переменными системы. 5..Системы с адаптацией характеристик системы.

Процессы адаптации в подобных системах нацелены на коррекцию изменений передаточных характеристик.

Следует отметить, однако, что некоторые более сложные системы могут иметь свойства нескольких перечисленных выше типов адаптивных систем.

Приведенная классификация является некоторым обобщением разделения на чувствительность по входу , чувствительность обьекта и чувствительность критерия , предложенного в работе [6].

1.1. ПАССИВНАЯ АДАПТАЦИЯ

В работе [7] Лэнг и Хэм предложили систему с обратной связью, показанную на рис. 1.1-1. Ошибка е равна нулю только тогда, когда реакции объекта Gp и модели М. совпадают. Ука-

cCt)

m(t)

e(t)

c(t)

Рис. 1.1-1. Пассивная адаптивная система.

занный принцип обратной связи был использован при адаптивном управлении полетом самолета в изменяющихся аэродинамических условиях [8-10]. Линейная система, показанная на рис. 1.1-1, эквивалентна в данном случае системе, состоящей из элемента обратной связи Н и объекта Gp, к которой добавлен входной подстраивающийся элемент (фильтр) с передаточной функцией l + GjnH.

Кроме того, Лэнг и Хэм предложили использовать умножитель вместо сумматора в верхнем звене на рис. 1.1-1 и делитель в нижнем звене. Эта нелинейная система позволяет многими способами улучшать эксплуатационные условия.

Другим примером пассивной адаптивной системы служит сервомеханизм, предложенный в работе [11]. Его характеристики уже рассматривались.

В литературе [13-23] можно найти и другие примеры.

1.2. АДАПТАЦИЯ ПО ВХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Система с адаптацией по входной переменной была описана в работе [15]. Эта система минимизирует среднеквадратичную ошибку разности между входом и выходом в присутствии шума

Адто-корремятор

Адаптивное упраВляюи устроит.

Система

c(t)

Рис. 1.2-1. Блок-схема системы, адаптирующейся к стохастической входной переменной.

Упродитель

МаптиВное управляющее устройство

Система управления

c(t)

Рис. 1.2-2. Блок-схема системы, адаптирующейся к детерминированной переменной.

С известными статистическими характеристиками. Требуемое изменение параметров осуществляется с помощью адаптивного регулятора в цепи обратной связи, действующего на входе управляющего устройства (рис. 1.2-1). Регулировка основана на

Система упрабмения

Адаптивное управляющее устройство

e(t)

c(i)

Передающее звено

Рис.1.2-3. Блок-схема адаптивного управления.

расчете по короткому интервалу времени автокорреляционной функции входа r{t), состоящего из полезного сигнала s{t) и Шума n{t).

Дрэник и ШаСендер [16] рассматривали аналогичный сервомеханизм с входом, состоящим из полиномиального сигнала и Шума. Для оценки полезного входного сигнала на входе системы стоит упредитель Задэ - Рагазини, который служит для передачи

эталонных данных на адаптивное устройство управления (рис. 1.2-2). Так как в приведенных примерах адаптация выполняется с помощью регулировки в цепи обратной связи, закон управления должен быть известен заранее.

Третий вариант адаптивной системы рассматриваемого типа был предложен Батковым и Солодовниковым [17]. В этой системе (рис. 1.2-3) модель или вычислительная машина определяет оптимальную реакцию, которая минимизирует квадрат интеграла от ошибки и взвешенной среднеквадратичной величины шума. Тогда разность между выходом модели и объекта включает в действие адаптивное управление, которое соответствующим образом изменяет параметры. Такое замкнутое адаптивное управление не требует каких-либо априорных знаний о входных данных, хотя структура должна быть заранее известна.

1.3. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ, ИЛИ ОПТИМАЛЬНЫЕ, СИСТЕМЫ

Адаптивным системам оптимального, или экстремального, типа, осуществляющим поиск некоторого оптимума, было уделено больше внимания в литературе, чем системам каких-либо других типов. Принципы экстремальной адаптации были введены Дрэпером и Ли [13]. Теоретически осуществим целый ряд оптимальных систем. Во всех этих системах можно различить два процесса: так называемый основной процесс, используемый для подхода к экстремуму, и поисковый процесс, используемый для определения направления развития основного процесса. Оптимальные системы обычно классифицируют по характеристикам поискового процесса. Их классификация и описание даны в разд. 3 данной части.

1.4. АДАПТАЦИЯ ПЕРЕМЕННЫХ СИСТЕМЫ

Гомеостат, построенный Эшби [2*], представляет собой устройство, способное изменять свои параметры случайным образом всякий раз, когда один из входных сигналов превышает некоторый уровень (рис. 1.4-1). Регулировка продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие устойчивости работы.

В работе [18] описана система с логическим переключателем вместо случайной процедуры Эшби. Авторы работы предложили получать информацию для действия переключателя с помощью управляемых переменных, воздействующих ошибок и их производных (рис. 1.4-2).

В работе [2] описана система, способная следить за двумя переменными с помощью двух различных устройств управления. Эта система изменяет свои параметры всякий раз, когда воздействующая ошибка превышает некоторую величину (рис. 1.4-3).

в работе [19] предложено регулировать параметры по минимуму среднеквадратичной ошибки, используя заранее опреде-

r(t)

Система

c(t)

Логический переключа-тель

Обратная сВязь

Рис. 1.4-1. Адаптивная система Эшби. Рис. 1.4-2. Адаптивная система, предложенная Флюгле - Лотцем и Тэйло-ром.

ленную связь между измеряемой воздействующей ошибкой и требующимися изменениями параметров. Маркузен и Келлер

r(t)

Адаптивное

упраВляюие

устройство

e(t)

Управляющее устройстдо

mit)

05ъект

Рис. 1.4-3. Адаптивная система, на.ходящаяся под воздействием возмущающей

переменной.

[20] описали управление траекторией полета с помощью эмпирического, а не статистического критерия. Таккер [21] дал описание адаптивного управления влажностью.

1.5. АДАПТАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМЫ

В ряде адаптивных систем регулирование осуществляется на основе измерений импульсной переходной и передаточной функций системы управления. В работе [22] рекомендуется использовать цифровую вычислительную машину для определения весовой и передаточной функций. Регулятор подстраивается до тех

пор, пока импульсный сигнал не приведет к ошибке, обращающейся в нуль за минимальное время. Построение весовой функции по входным и выходным данным становится невозможным, как только ошибка обращается в нуль. Однако это практически никогда не происходит (рис. 1.5-1).

Адаптидная подстройка параметров

Управляющее устройство

c(t)

Рис. 1.5-1. Адаптивная система, действующая на основе подстройки весовой и передаточной функций.

В работе [23] предложено использовать взаимную корреляцию для определения весовой функции. Характеристики качества получаются из реакции на входной импульс путем формирования взвешенной суммы из членов для положительной и отрицательной областей:

Ж = Л+ + Со-. (1.5-1)

Если вес Qo выбран соответствующим образом, то М будет изменять знак при требующемся коэффициенте затухания, что может быть использовано для запуска переключателя адаптивной системы.

1.6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В предыдущих разделах предпринята попытка описать первые усилия для построения адаптивных систем в виде исторического обзора. В следующих двух разделах некоторые адаптивные системы рассмотрены подробно. В данном разделе мы приведем общую блок-схему произвольной адаптивной системы (рис. 1.6-1). Для определения импульсной переходной или пере-