а для составляющих шума в ошибке и возмущения -

1 + S

si + s + Ks

Пусть спектральная плотность составляющей случайного шума в возмущении равна

Так как система управления относится к типу I, математическое ожидание входного сигнала равно m =me=0. Диспер-

nft)

N(s)

а

±

C(s)

Рис. 3.7-5. Блок-схема сервосистемы с позиционным управлением (пример 2).-

сия ошибки и одновременного входного сигнала нелинейности задается соотношением

,2 2 1 f 1 t

- ° - W 3 + S -t- Ks s--s + Ks ~ 2Ks

Так как ти = 0, статистический коэффициент усиления идеального реле для составляющей шума равен

k k

Следовательно,

щающе = 0,707.

Стандартное отклонение возмущающей переменной равно

V2

Чем больше величина k, тем в большей степени система подавляет шум. Например, при k = 5 стандартное отклонение ае=0,1, в то время как стандартное отклонение возмущающей переменной az=0,707.

ЛИТЕРАТУРА

1. Казаков И. Е. Приближенный метод статистического исследования нелинейных систем. Труды ВВИА им. Н. Е. Жуковского. 1954, вып. 394.

2. Booton R. С. The Analysis of Nonlinear Control Systems with Random Inputs, Proc. Symposium on Nonlinear Circuit Analysis. Polytechnic Institute of Brooklyn. N. Y.. 1953. v. II, pp. 369-391.

3. Booton R. C. Nonlinear Control Systems with Random Inputs, Trans. IRE, 1954. РОСТ CT-1, pp. 9-18.

4. Booton R. C. Mathews M. V.. Seiferr W. W. Nonlinear Servomechanisms with Random Inputs, Report 70, Dynamic Analysis Control Laboratory, MIT. Cambridge Mass.. 1953.

5. Chuang K., Kazda L. F. A Study of Nonlinear Systems with Random Inputs, Trans. AIEE. 1959, Pt. II, pp. 100-105.

6. Middelton D. Response of Biased Saturated Linear and Quadratic Rectifiers to Random hfoise, J. Appl. Phys., 1946, 17, pp. 778-801.

7. Bennett W. R. Methods of Solving Noise Problems, Proc. IRE, 1956. 44, pp. 609-638.

8. Пупков К. A. Метод исследования точности существенно нелинейных систем автоматического управления при помощи эквивалентной передаточной функции, Автоматика и телемеханика, 1960, 21. № 2, cTf). 191-198.

9. Csaki F., Somlo J. Altalanos modszer szakaszosan linearis rendszerek

IF If

vizsgalatara, Statisztikus linearizalas, MTA AKI Kozlemenyek, 1967. 4.

10. Atherton D. P. The Evaluation of the Response of Single-Valued Nonlinearities to Several Inputs, Proc. lEE, 1962, C-109, № 15. pp. 146-157.

11. Atherton D. P. Rapid Evaluation of the Autocorrelation Function of the Output of Single-Valued Nonlinearities in Response to Sinusoidal and Gaussian Signals, Proc. lEE. 1962, C-109, № 16. pp. 656-664.

12. Axelby G. S. Random Noise with Bias Signals in Nonlinear Devices, IRE Trans. Autom. Control, 1959. ЛС-4. № 2, pp. 167-172.

13. Barrett J. F.. Coales J. F. An Introduction to the Analysis of Nonlinear Control Systems wilh Random Inputs, Proc. lEE. 1955, C-103, № 3, pp. 190-199.

14 Culver W. J.. Mesarovic M. D. Dynamic Statistical Linearization. Joint Automatic Control Conference, paper 14-5. New Yorlc. University. N. Y., 1962.

15 Douce J. L. A Note on tlie Evaluation of the Response of a Nonlinear Element to Sinusoidal and Random Signals. Proc. [EE, 1958. C-105, № 7.

pp. 88-92.

16. Douce J. L., King R. E. The Effect of an Additional Nonlinarity on the Performance of Torque-Limited Control Systems Subjected (o Random Inputs. Proc. lEE, 1960. C.107, N2 12. pp. 190-197.

17. Gibson J. E.. Sridhar R. The Response of Nonlinear Closed-Loop Systems to Random Inputs. Trans. ASME J. Basic Eng., 1964. E-86, № 1. pp. 132-138.

18. Гусев M. И.. Определение влияния регулярной динамики сигнала при методе статистической линеаризации, Автоматика и телемеханика, 1961, 21, № 11, стр. 10921100.

19. Катковник В. Я., Первоаванский А. А. Релейная система в режиме

автоколебаний при стохастической помехе. Автоматика и телемеханика, 1962, 22, № 5, стр. 517-523.

20. Казаков И. Я. Вероятностный анализ точности действия существенно нелинейных автоматических систем, Автоматика и телемеханика, 1956, 17, № 5, стр. 385-409.

21а. Казаков И. Е. Некоторые вопросы теории статистической линеаризации

и ее приложений, Труды I Конгресса ИФАК, Москва, 1960. 21Ь. Казаков И. Е. Проблемы теории статистической линеаризации и ее приложений, Труды I Конгресса ИФАК, Москва, I960.

22. Кислов Б. Д. Приведенный эквивалентный коэффициент усиления нели-

нейного элемента в присутствии помехи. Автоматика и телемеханика, 1961,21, W° 8, стр. 804-809.

23. Kwatny Н. О. An Investigation of the Limit Cycle Characteristics of Nonlinear Systems in the Presence of a Random Noise, M. S. Thesis. Massachusetts Institute of Technology, Department of Aeronautics and Astronautics, 1962.

24. Leland H. R. Input-Output Cross-Correlation Functions for Some Merao-rytype Nonlinear Systems with Gaussian Inputs, AIEE Trans.. 1960, 79, Pt. II, № 49. pp. 219-223.

25. Levadi V. S., Cosgriff R. L. A Describing Function for Nonlinear Systems with Memory Subject to Random Input. [EE Trans.. 1952, 71, Pt. II, pp. 73-76.

26. Mahalanabis A. K., Nath A. K. On the DIDFs of a Nonlinear Element with Memory. IEEE Trans. Autom. Control. 1966. АС-П, № 1. pp. 138-139.

27. Merchav S. J. Equivalent Gain of Single-Valued Nonlinearities with Multiple Inputs. IRE Trans. Autom. Control. 1962. AC-7, № 5. pp. 122-124.

28. Меркулова E. п. Проблемы оптимизирующих систем, содержащих существенно нелинейные элементы. Автоштика и телемеханика, i960, 20, № 10, стр. 1303-1313.

29. Моросанов И. С. Влияние флуктуации на релейные экстремальные системы в автоколебательном режиме. Автоматика и телемеханика. 1960, 21, № 9, стр. 884-890.

30. Nikiforuk Р. N. Response of а Particular Nonlinear Control System to Random Signals. AIEE Trans., 75. 1956. Pt. II. pp. 419-422.

31. Nikiforuk P. N.. West J. C. The Describing Function Analysis of a Nonlinear Servomechanism Subject to Stochastic Signals and Noise. Proc. IBB, 1957. C-104, № 5. pp. 193-203-

32 Nuttall A H. Theory and Application of the Separable Class of Random Processes. MIT. Res. Lab. Electronics. Report 343. 1958.

33. Oldenburger R., Sridhar R. Signal Stabilization of a Control System with Random Inputs. AIEE Trans.. 1961. 80, Pt. II. pp. 260-267.

34. Pastel M. P. Analyzing Nonlinear Systems with Random Inputs. Control Eng., 1962, 8, pp. 113-117.

35. Попов E. П. 06 оценке качества нелинейных aBT0iMaTH4eCKiix систем при случайной помехе, Автолштика и телемеханика. 1960, 20, № 10, стр. 1281-1287.

36. Пятницкий Г. И. Влияние стационарного случайного процесса на автоматические системы регулирования, содержащие существенно нелинейные элементы. Автоматика и тележханика, 1960, 21, № 4, стр. 328-332.

37. Sawaragi Y., Takahashi S. Response of Control Systems Containing Zeromemory Nonlinearity to Sinusoidal and Gaussian Inputs. Proc. Heidelberg Conf. Autom. Control. 1956. pp. 271-274.

38. Smith H. W. The Applicability of Quasi-Linear Methods to Nonlinear Feedback Systems with Random Inputs, Proc. Second IFAC Congr. Basel, Switzerland, 1963.

39. Somerville M. J., Atherton D. P. Multi-Gain Representation for a Single-Valued Nonlinearity with Several Inputs and the Evaluation of Their Equivalent Gains by a Cursor Method. Proc. lEE. 1958, C-105, № 8. pp. 537-549.

40. Sridhar R., Odenburger R. Stability of a Nonlinear Feedback System in the Presence of Gaussian Noise. Trans. ASME J. Basic Eng., 1962. E-84, pp. 61-70.

41. Thompson W. E. The Response of a Nonlinear System to Random Noise. Proc. lEE, 1956, C-102, № 1. pp. 46-48.

42. Цыпкин Я. 3. Влияние случайной помехи на периодический режим в релейных автоматических системах. Советская физика. 1962, 6, № 7, стр. 562-564.

43. Van der Velde W. E. A Nonlinear Method of Automatic Control in the Presence of Random Noise, Sc. D. Thesis, Massachusetts Institute of Technology, Department of Aeronautical Engineering, 1956.

44. West C. J., Nikiforuk P. N. The Response of Remote-Position Control Systems with Hard-Spring Nonlinear Characteristics to Step Function and Random Inputs, Proc. lEE. 1954, B-102, № 5, pp. 575-593.

45. Fieguth W.. Atherton D. P. Double-Valued Relays with Random Inputs. Proc. lEE, 1968. 115, pp. 355-361.

46. Yen-San Lin, Linearization and Optimization of Stochastic Systems with Bounded Control. IEEE Trans. Autom. Control. 1970, AC-15, pp. 49-52.

4. КОМБИНИРОВАННЫЕ ОПИСЫВАЮЩИЕ ФУНКЦИИ

При рассмотрении описывающих функций, определенных с помощью гармонической и статистической линеаризации, предполагалось, что на входе нелинейности действует одна синусоидальная или стохастическая переменная. Теперь изучим поведение статического нелинейного устройства при действии на него входного сигнала, состоящего из двух сигналов. При этом теоретически возможны три случая: входная переменная может состоять из двух синусоидальных сигналов [1, 2], одного синусоидального и одного случайного сигнала [3, 4] или из двух случайных сигналов. Однако третий случай можно не рассматривать, поскольку можно показать, что сумма двух нормально распре-

деленных сигналов имеет нормальное распределение (результирующая дисперсия равна сумме двух дисперсий). Поэтому достаточно обсудить только первые два случая [1-35].

4.1. ДУАЛЬНЫЕ ОПИСЫВАЮЩИЕ ФУНКЦИИ

Обычная гармоническая описывающая функция определена в общем случае только для одного синусоидального входного сигнала. Вест и др. [1, 149*] обобщили данный метод на случай комбинированного входного сигнала, состоящего из двух синусоидальных сигналов, предположив, что частота одного синусоидального сигнала является целым кратным частоты другого:

M(/) = i5sin(co/f-f ф)-ЬЖ81птш/, (4.1-1)

где т-целое число или число, обратное целому. Пусть выходная переменная нелинейности записывается в виде

у (t) = Bi sin (Ы + ф) + Л, cos (ш/ -Ь ф) -Ь

+ sin rmat -Ь Z, cos тш/ -f (4.1 -2)

Тогда можно определить две описывающие функции: одну для основной составляющей сигнала

N,{B, М, ф, т) = [ВЛВ, М, ф, т) +jAi(B, М, ф, т)]

и другую для гармонической составляющей

М, ф, т) = -Ж, (5, М, ф, m)+jL, (B, М, ф, т)].

Наличие двух описывающих функций значительно усложняет исследование. Вычисление описывающих функций представляет собой трудоемкий процесс, так как эти функции зависят от четырех переменных. Однако при решении некоторых проблем метод дуальных описывающих функций оказывается очень полезным (разд. 4.2). Рассмотрим пример, в котором показано, как определяются дуальные описывающие функции.

Пример. Пусть стационарная характеристика нелинейности задана кубической функцией

Если входной сигнал равен м(/) = fisin ш^, то g {и)=К^В^ sin ш/ 4 г, ~ Т л^ Зш/,

и обычная описывающая функция имеет вид

N{B)=\kB\

Пусть теперь входной сигнал будет представлен в виде u(t) = В sin (Ы + <р) + Ж sin тЫ.

В этом случае

g(u) = К^[В sin (ш/ + + ж sin mwt]

После возведения в куб и тригонометрических преобразований получаем

= 4 iv (В' + 2М^) В sin (ш^ + ф) +

+4 /Cv (25 + Ж2) М sin mmt-\ KjB sin 3 (ш^ + ф) -

- т w - 4 /v [sin ((m - 2) - 2ф) + +sin ((m + 2) + 2ф)] + -J [sin ((2m - 1) - ф) -

- sin((2m-M)co/ + )].

Значения m = V3 1 и 3 рассмотрены ниже. Кроме того, можно установить, что дуальная описывающая функция для частоты ш равна

Л^, {В, М, т) = 4 /Сд,(5 + 2М%

а для частоты тш равна

Л^ , (5, Ж, т) = 4 /л' (22 +

Обе описывающие функции не зависят от фазового угла ф и поэтому действительны. Если т = 3, то

Im [Ny {В, М, ф, 3)5 ехр/(ш/ + ф)} =

= 4 nB К^ + 2Ж2) sin (ш/ + ф) - 5Ж sin (ш^ - 2ф) ],

Im {Л^з(5, М, ф, 3)ЖехруЗш/} =

= 4 л' (25 + Ю М sin Зш/ - I /Cyfi sin (Зш + Зф).

Записывая правую часть в виде

fii sin (соЛ + ф) -f Л1 cos (со + ф), fiasinStc/f + ЛзС08 3ш^,

получим

N,(BJB)+JiAJB) и N, = {Bs/M)+J{AslM),

где

= Т /v + 2Ж2) - 5Ж cos Зф],

К^ВМ sin Э^,

М 4 n

3(252 + Ж2)--со8 3ф

3 1 т^

4 м

sin Зф.

Если m = 1, то к исходной описывающей функции добавляется функция

Л^, (В, М, ф, 1) = 4 Kj,{B + 2Ж2),

которую можно определить так же, как и раньше, из условия

Im{7V;(i5, М, ф, l)AfexpyWl =

= KjM [(252 j2) sin + sin (ш^-ф) + В2 sin (ш/ + 2ф)]. Если т = /з'

1т{Л^,(5, М, ф, >/з)5ехру(ш^ + ф)} =

= 4 iv + 2Л12) 5 sin (ш^ + ф) - 4 /yv sin

N~u (В, М, ф, Va) = tnCB + Ж2).

Функция N4, действительна, а функция

N, (В, М, ф, Vs) = /4/л' (5 + 2Ж2) /C/v cos ф +

+yAyV-g 81Пф

является комплексной.

Задача. Показать, что коэффициенты А^, L, М„ можно определить из условия

J (y~yi,m)dwt = min,

где

y=g{u)

и

yi.m = Bl sin (ш/ + Ф) + Л1 COS {wt + -f Ж, sin m Ы + L cos тЫ.

4.2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ

Рассмотрим кратко некоторые задачи, при решении которых с успехом применяются дуальные описывающие функции.

1. Дуальные описывающие функции используются для исследования устойчивости вынужденных колебаний. Устойчивость

f(t)

r(t)

u(tj

y(t)

c(ij

Рис. 4.2-1. Блок-схема разомкнутой системы управления.

линейных систем можно изучать с помощью нулевой эталонной переменной, так как устойчивость является одним из свойств системы. В нелинейных же системах начальные условия и эталонная переменная могут критически влиять на устойчивость. Поэтому проверка устойчивости осуществляется теоретически следующим образом.

Воздействуя эталонной входной переменной/-( =Вд sin (со/-Ь -fa) на систему с жесткой обратной связью (рис. 4.2-1), получим на входе нелинейного элемента сигнал (О = В sin (со/-biji). Затем, разрывая цепь управления перед нелинейностью и подавая сигнал u(t)=Bsin{iut+-) на вход нелинейного элемента, сделаем основную составляющую сигнала обратной связи f(t) равной u(t). Добавим сигнал MsinitKot с малой амплитудой к входному сигналу нелинейного элемента, т. е. пусть

u{t) = B sin (ш/f + 6) + Ж sin mu)/. (4.2-1)

Для однозначной симметричной нелинейности сигнал обратной связи равен

f{t) = В, sin (ш/ + ф + ср) -f sin m(co/ + [х) + ... . (4.2-2)

Допуская, что второй член в выражении (4.2-2) обусловлен исключительно вторым членом выражения (4.2-1), когда остальные гармоники не учитываются и изменяется частота со, с помощью дуальных описывающих функций можно определить для различных значений т инфинитезимальные траектории или диаграммы Найквиста разомкнутой цепи

В этом случае предполагается, что М мало. В пределе при М^О описывающая функция Nm не зависит от амплитуды М:

N-=N ,(B, ф, т).

Инфинитезимальная частотная реакция разомкнутой цепи равна /VmGi,(/co), где СьЦси) является частотной реакцией линейной части. Следовательно, ее можно определить, когда все инфинитезимальные траектории содержат точку -1 комплексной плоскости или когда все траектории обходят ее. В последнем случае синусоидальный эталонный входной сигнал вызывает устойчивые вынужденные колебания замкнутой системы. Если же инфинитезимальные траектории содержат точку -1, колебания будут неустойчивыми.

При этом можно также использовать любой из методов двойных траекторий, но в случае вынужденных колебаний инфинитезимальная описывающая функция выбирается в качестве основной.

2. Дуальную описывающую функцию или иифинитезималь-ную траекторию можно использовать для демонстрации явления резонанса. В этом случае надо положить т=1 и М^В. Построив кривые, обратные инфинитезимальной описывающей функции, с амплитудой В в качестве параметра, получим критические значения амплитуды в точках соприкосновения этих кривых с графиком частотной реакции линейной части. Даже небольшое увеличение амплитуды ведет к колебаниям с возрастающей амплитудой. Однако в некоторых случаях при очень больших амплитудах кривая, обратная инфинитезимальной описывающей функции, и кривая частотной реакции линейных элементов могут ие пересекаться.

3. Устойчивость условно устойчивых систем можно проверить с помощью метода обычных описывающих функций, хотя при этой проверке нельзя установить величину амплитуды синусоидального эталонного входного сигнала, которая вызывает пре-

дельный цикл. Эту задачу можно решить с помощью метода дуальных описывающих функций: при установленной частоте со вынужденных колебании вычерчивают иифинитезимальную диаграмму Найквиста или определяют иифинитезимальную траекторию описывающей функции при амплитудах М<В и различных значениях т, а затем используют обычные критерии устойчивости.

4. При исследовании субгармонических колебаний составляющая М cos тсо/ постоянной частоты и амплитуды должна считаться фиксированной. Тогда можно определить описывающую функцию и обычным способом исследовать предельные циклы по отношению к составляющей В sin (со-Ьг);) с переменными амплитудой, частотой и фазовым углом.

Для пояснения допустим, что нелинейная система устойчива при нулевом эталонном входном сигнале. Кроме того, предположим, что угловая частота тсо эталонной переменной велика по сравнению с собственной частотой линейной системы. Тогда амплитуда синусоидального выходного сигнала линейной системы управления будет мала. В нелинейной системе эталонное воздействие с угловой частотой тсо изменит коэффициент усиления нелинейного элемента по отношению к другим переменным и в общем случае приведет к фазовым сдвигам для целых значений т. Таким образом, дуальная описывающая функция для составляющей S sin(co/-fal;) будет комплексной. Субгармонические колебания часто не возникают самопроизвольно, хотя они и могут быть вызваны внешними возмущениями.

5. Метод дуальных описывающих функций можно применять также для изучения гармонических составляющих вынужденных колебаний. Высшие гармоники при этом подавляются линейными элементами в значительно большей степени, чем субгармоники.

6. Метод дуальных описывающих функций можно использовать для проверки метода обычных описывающих функций.

7. Наконец методом дуальных описывающих функций можно исследовать системы управления, содержащие две нелинейности.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. В системе управления, показанной на рис. 4.2-1, характеристика нелинейности является кубической функцией. Исследуем условия возникновения устойчивых вынужденных колебаний.

Если тфЗ, тф\ и М<В, инфинитезимальная описывающая функция действительна (см. пример в разд. 4.1):

N{B, т)К^В\