п

go °и) = 00 {гп, ) + 2 bigi (/и„, о„), (3.5-5)

п

К1{т^, °u) = Ksu{m, а„)4- bsiim, (3.5-6)

Ак(те , aJ=/Ci/o(m , a )-f 1,biKvi{m, з„), (3.5-7)

goo и) = i g (и) ( )

- ОО ОО

gol ) = .С g (W) Я; ( ) jPi ( ) йГИ,

ATso (/n , о„) =

м2р (и) йгы Ksc (/п„, о„) = Kso{m, о„) X

со оо ;

j (м) я,- ( ) р (и) rf - 2googci j и^я; (м) rfM I

Л'и(те , о„) =

g(u)up(u)du

- ОО ОО

j g{u)uHi(u)p(u)du

-оо

j 2, (и) сг - оо

j up(u)du :

. I

j tflHi{u)piu)du

3.6. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕКОТОРЫХ ТИПИЧНЫХ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ

В табл. 3.6-1 представлены статические характеристики некоторых типичных нелинейностей [75*, 119*]. Для единообразия в обозначениях символы, определяющие точки излома, отличаются от тех, которые использовались в разд. 2, ч. III. Ниже

ТаБлица3.д-1

Нелинейная характеристика

У-М

Нелинейная i уарактперистиш

У

И > 6

-e-d

d е -к

у-<

-dsu-se a-s-d u->d

ii>0

й<0

d \ y;

y=0, если Mia yK (u-d), u>d

У'\ если yJS если

У'к, У'-к, У К,-

u>h u<h

u<.-h

й>0

й<0

-t-d

г

ц-0, US.0

y=Kf,u, и^О

если У'к, и>В

U-D, sO

* если

н

у-О, если lulSe/

и-0; , и&О

приведены выражения для коэффициентов усиления, полученные при статистической линеаризации двенадцати нелинейностей. При этом были использованы следующие обозначения:

/п„ ГПи ГПи °и °ш °й °и -

ZJ}-

е

b d е h

1. Ограничение или насыщение:

{l-m)e

1 /1 + тч2

+ (1 +m)e

1 /1 - г\2 1

2 (. о j

2. Зона нечувствительности, холостой ход, порог:

(1 + m)W ii)- (1 -m)W (-!)

1 /1-тч2 1 ,1 + т.Ч

т

KsKn

J. / + \2

- т\р. 2 I о ;

3. Ограничение с зоной нечувствительности:

( + , 5, (i±Ji) + Ф to) +

1 , 1+m ч2 1 Л-тч2 1 ftn + y. I itn-ixa \

о Ч\ с ) -е Л ч ) g 2 К о 2(0 ) [

fkK (1 + - m -2i,) -o2 1 + m

(1 (j.)2

(1- V 0 ; (1-[1)2 * V 0 ;

+--> + ° F()--i- [(1 +m-2,.)e- C-X

(1-(л)2 С / (1 ]a27c

1 1 + пгч2 1 m+p.>2

V(i±ii)+5r(itji)

4. Нелинейность третьего порядка:

. = ад[15 + Зб(-)Ч9(-)]

/.= зад[1 + {);.

5. Идеальное двухпозиционное реле:

АГ5 = -

6. Идеальное трехпозиционное реле (двухпозиционное реле с зоной нечувствительности):

е 2 I а ; 2l а ;

7. Трехпозиционное реле с гистерезисом:

1 1 + /п ч и 1 / I - m

е~ 2 I о ; 2 {~~)

1 /1 - т.2

2 1. а J 1 Ч. \ ч )

1 .ц -

8. Двухпозициоиное реле с гистерезисом:

е 2 V ; + g 2 ( <! ;

9. Квадратичная параболическая характеристика:

10. Идеальный выпрямитель с линейной характеристикой:

5 = /V

11. Идеальный выпрямитель с квадратичной характеристикой;

12. Асимметричное двухпозициоиное реле:

3.7. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИСТЕМ

Коэффициент усиления Ks=OylGu, найденный путем статистической линеаризации, можно использовать также при анализе нелинейных систем [141*]- Предполагая процессы стационарными и эргодичными, автокорреляционную функцию пере-

. Рис. 3.7-1. Блок-схема линейной системы.

менной u(t), полученную осреднением по множеству и по времени, можно записать соответственно в виде [29*, 83*, 105*]

ОО ОО

, <Р ()= J 1 щщр^{щ, )duiduk (3.7-1)

- со -со

tp (т) = lim \и (О и ( -f т) dt. (3.7-2)

С помощью преобразования Фурье от корреляционной функции получаем спектральную плотность

ф Л = Uunb)e-i-dz. (3.7-3)

Обратное преобразование от спектральной плотности дает снова корреляционную функцию

= i J ф„ ( е^ < - (3.7-4)

Для нулевого сдвига по времени ( = 0) корреляционная функция дает среднеквадратичную величину переменной или, если т„ = О, дисперсию

?,ш(0) = и^(0 = Ч0 = 4. (3.7-5)

Среднеквадратичную величину или дисперсию сигнала можно выразить также через спектральную плотность

с?,=)=7 = ]ф„ (Уш)ш. (3.7-6)

Между спектральными плотностями выходного и входного сигналов линейной системы, показанной на рис. 3.7-1, существует связь

*vy (М = (уш) (-уш) Ф„ (уш), (3.7-7)

которая называется правилом изменения индекса [29*J. Дисперсия выходного сигнала равна

4 = yM0 = ?W = i l%yU)dw. (3.7-8)

Выще было показано, что одним из методов статистической линеаризации можно найти связь между стандартными отклонениями на входе и выходе нелинейного статического элемента

4 = К%о1 (3.7-9)

Это позволяет распространить статистический анализ и на нелинейные системы.

Если передаточные функции и характеристики разомкнутой системы известны, то целью анализа является определение статистических характеристик (например, стандартные отклонения при нулевых средних значениях переменных, которые требуется найти в различных точках замкнутой цепи).

Пример 1. Нелинейность в системе управления, показанной на рис- 3.7-2, а и б, представляет собой ограничитель с Kn=\, k=b = 2.

Входной сигнал r(t) замкнутой системы можно записать следующим образом:

r{t) = m, + n,ii),

где гпг - математическое ожидание входной переменной, а Пг(0 - случайный шум с нулевым математическим ожиданием. Так как процесс стационарен, математическое ожидание не зависит от времени. Входной сигнал распределен по нормальному закону со средним значением Шг (рис. 3.7-3). Пусть спектральная плотность шума на входе равна

nnU) - 1 + 2 - 1 + Jm 1-у

Изучим сначала влияние математического ожидания входного сигнала на замкнутую систему управления. Передаточная функция, определяющая вход ограничителя, равна

= W (S)

для полезной составляющей сигнала и

s + KKs

для шума, так как нелинейность можно рассматривать как статистический элемент с коэффициентами усиления Км и Ks соот-

Рис. 3.7-2. Блок-схема системы управления (пример 1).

ветственно для полезной составляющей и шума. Математическое ожидание входного сигнала u{t) нелинейного элемента

Рис. 3.7-3. Плотность вероятностей входного сигнала.

равно нулю. Легко видеть, что система управления принадлежит к типу 1, и поэтому стационарное значение ошибки равно нулю. Следовательно, в стационарном состоянии полезный сигнал не проходит через нелинейность.

Рассмотрим теперь влияние стандартного отклонения входного сигнала. Учитывая спектральную плотность и передаточ-

ОЛ 0.2

0 12 3 -

Рис. 3.7-4. Характеристики ограничителя (пример 1).

ную функцию шума, а также равенство s=/© для спектральной плотности на входе нелинейности, получим

~ s + KKs l + s -s + KeKs Т=Т~ KeNs -KeNs

s2 -t- (1 -t- KeKs)s + KeKs - (1 + KeKs) s + KeKs

Следовательно, дисперсия входного сигнала равна

Вычисляя интеграл по теореме о вычетах или с помощью таблицы, получим после извлечения квадратного корня

На рис. 3.7-4 приведены характеристики Ks{ou/k) ограничителя (сплошная линия) и зависимость от Ks

для ряда значений N и при Ке-=4, Kn=1, b = k - 2 (пунктирные линии). Значения статистических коэффициентов усиления Ks нелинейности в замкнутой системе управления для случайного шума и стандартных отклонений Ои на входе нелинейности соответствуют точкам пересечения указанных кривых (табл. 3.7-1).

Таблица 3.7-1

Стандартное отклонение эталонного входа r(t) замкнутой системы определяется выражениями

о; ==

1 -(- S 1 - S

а^ = Л^/]/2 = 0,707Л/:

Стандартное отклонение ошибки равно аеОи/Кв. Стандартное отклонение ошибки в системе без ограничителя имеет вид

а; = ;v/i/2(i-b/Ся).

Из результатов, приведенных в табл. 3.7-1, видно влияние ограничения.

Пример 2. Исследуем сервосистему с позиционным управлением (рис. 3.7-5). Момент относительно вала мотора будем считать возмущающей переменной Изучим влияние этой переменной на сисгему управления. Эталонную переменную r(t) примем равной нулю. Нелинейность представляет собой идеальное реле. Передаточная функция для математических ожиданий ошибки и возмущения равна

1 -bs